直线与圆知识点以及经典例题总结归纳

一. 知识框图：

?圆的有关性质?直线和圆的位置关系? 圆?

?圆和圆的位置关系??正多边形和圆??点和圆的位置关系（这是重点）?圆的定义??不在同一直线上的三点确定一个圆???轴对称性—垂径定理（这是重点）?? 圆的有关性质??圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ??圆心角定理?圆的有关性质????旋转不变性????圆周角定理（这是重点）?????圆内接四边形（这是重点）???相离???相交??切线的性质（这是重点） 直线和圆的位置关系? ??切线的判定（这是重点）?相切????弦切角（这是重点）???和圆有关的比例线段（这是重点难点）????外离?内含? 圆和圆的位置关系?相交

??内切（这是重点）?相切?????外切（这是重点）??两圆的公切线?正多边形定义???正多边形和圆?正多边形和圆????正多边形的判定及性质??正多边形的有关计算（这是重点） 正多边形和圆? ???圆周长、弧长（这是重点）???圆的有关计算?圆、扇形、弓形面积（这是重点）???圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）?

直线与圆的位置关系

教学目标:1. 了解直线与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直

线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法。 2.了解切线与割线的概念。

3.了解圆与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到圆心的距离的数量关系来确定圆与

圆的三种位置关系的方法。

重点： 理解直线与圆、圆与圆的相交、相切、相离三种位置关系。 难点：直线与圆、圆与圆的三种位置关系判断方法的运用； 【知识精要】

知识点1 直线与圆的位置关系的定义及有关概念

（1） 圆的割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。 （2） 圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，

唯一的公共点叫做切点。

（3） 直线和圆相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 例题1

下列说法正确的有（ ）

① 圆的切线只有一条； ② 若直线与圆不相切，则直线与圆相交； ③若直线与圆有公共点，则直线与圆相交；④过圆的内接三角形的顶点的直线是圆的切线。 （A）1个（B）2个（C）3个（D）0个 例题2

如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，点C在⊙O上。如果∠P=50那么∠ACB等于（ ） （A）40

0

0，

。O 图1 。O 。O L 图2 L 图2 L （B）50

0

（C）65

0

（D）130

0

B .O C A 知识点2 直线与圆的位置关系的性质和判定

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d，那么 （1）直线l与⊙O相交 d ＜r； （2）直线l与⊙O相切 d =r； （3）直线l与⊙O相离 d＞ r； 例题3

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表： 位置关系 公共点个数 数量关系 例题4

菱形对角线的交点O，以O为圆心，以O?到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为（ ）

A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 例题5

（2009年新疆）如图，?ACB?60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm．

相离 0 d＞r 相切 1 d＝r 相交 2 d＜r

P 知识点3 切线的判定及性质

1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

（注 由性质定理可得出以下结论（1）圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）切线与圆只有一个公共点；（3）切线与圆心的距离等于半径。）

2）切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （注证明圆的切线时，常用的添加辅助线的方法有①若所给直线与圆有公共点，则联接过公共点的半径，证半径与直线垂直，简记为联半径，证垂直；②若所给直线与圆没有公共点，则过圆心做直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，简记为做垂直，证半径。） 例题5

判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有 惟一公共点 的直线是圆的切线。 ②到圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线。 ③经过半径的外端点并且 垂直 于这条半径的直线是圆的切线。

切线的五个性质：①切线与圆只有 一个 公共点；②切线到圆心的距离等于圆的 半径 ；③切线垂直于经过切点的 半径 ；④经过圆心垂直于切线的直线必过 切点 。⑤经过切点垂直于切线的直线必过 圆心 。

例6

（2009年恩施市）如图，在等腰三角形ABC中，AB?AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE?AC交AC于E． （1）求证:DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O与AC相切于F，AB?AC?5cm，sinA?

3，求⊙O的半径的长． 5例题7 如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证AC与⊙O相切.

例8 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.

(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?

(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?

A ┐ C

B

例9、如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT＝AB．求证：AT是⊙O的切线．

自我检测

1．已知⊙O的半径为5㎝，点P到圆心O的距离为6㎝，那么点P的位置（ ） A.一定在⊙O的内部 C.一定在⊙O的上

B.一定在⊙O的外部

D.不能确定

2.如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，连结AD，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是（ ）

11A．AD?BC B．AD?AC C．AC?AB D．AD?DC

22

3.一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60?，则OP＝( )

A．50 cm B．253cm C．

503cm D．503cm 3

4.⊙O的半径为4㎝，若线段OA的长为10㎝，则OA的中点B在⊙O的____；若线段OA的长为7㎝，则OA的中点B在⊙O的____．外，

5.如图，等边三角形ABC的内切圆半径为3，则△ABC的周长为 ．

6.如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、1BO长为半径作⊙O，当射线

2BA绕点B按顺时针方向旋转 度时与⊙0相切．

7.如图，等腰△OAB中，OA?OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C．

求证：AC?BC．

自测答案：BAA 内 183 60或120

精选习题 一、填空题：

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以点C为圆心,6cm 的长为半径的圆与直线AB的位置关系是________.

2.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于____度.

AAEBDCAEOCDBPCOBP

(1) (2) (3)

3.如图2,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交⊙A于点D、E,交AB 于C.图中互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可).

4.已知⊙O的半径为4cm,直线L与⊙O相交,则圆心O到直线L的距离d 的取值范围是____. 5.如图3,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°,点C是优弧?AB上的一点,则∠ACB的度数为________. 6.如图,⊙O为△ABC的内切圆,D、E、F为切点,∠DOB=73°, ∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度. 二、选择题：

7.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与直线AB 的位置关系是( )

A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定

8.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

9.如L是⊙O的切线,要判定AB⊥L,还需要添加的条件是( )

A.AB经过圆心O B.AB是直径 C.AB是直径,B是切点 D.AB是直线,B是切点

AFODEBC10.设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( ) A.d=m B.d>m C.d>

mm D.d< 2211.在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心,1为半径的圆必与( ) A.x轴相交 B.y轴相交 C.x轴相切 D.y轴相切 12.如图,AB、AC为⊙O的切线,B、C是切点,延长OB到D, 使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于( ) A.70° B.64° C.62° D.51° 三、解答题：

13.如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,过C作半圆的切线,连接AC, 作直线AD,使∠DAC=∠CAB,AD交半圆于E,交过C点的切线于点D.

(1)试判断AD与CD有何位置关系,并说明理由;(2)若AB=10,AD=8,求AC的长.

DECADCOBAOB

14.如图,BC是半圆O的直径,P是BC延长线上一点,PA切⊙O于点A,∠B=30°. (1)试问AB与AP是否相等?请说明理由.(2)若PA=3,求半圆O的直径.

ABOCP

15.如图,∠PAQ是直角,半径为5的⊙O与AP相切于点T,与AQ相交于两点B、C. (1)BT是否平分∠OBA?证明你的结论. (2)若已知AT=4,试求AB的长.

QCOBP

TA

归纳总结： 1.垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD 2.切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN?OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线

OCOABCBADOED（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 3.切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

OBMAN即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA?PB

PO平分?BPA

PA4.三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三边高线的交点． 5.辅助线总结

圆中常见的辅助线 1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等． 2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明． 3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算． 4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．

5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．

8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．

9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．

10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点． 11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线． 12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．

13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．

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