20【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——数列

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2010年高考数学试题分类汇编——数列

（2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；

(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 解析：(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)

6

n n a a --=

-，

又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；

(2) 由(1)知：1

51156n n a -??

-=-? ?

??，得1

51156n n a -??

=-? ?

??

，从而

1

575906n n S n -??

=?+- ?

??

(n ∈N *)；

由S n +1>S n ，得1

5265

n -??

<

?

??

，5

6

2log 114.9

25

n >+≈，最小正整数n =15．

（2010湖南文数）20.（本小题满分13分） 给出下面的数表序列：

其中表n （n=1,2,3 ）有n 行，第1行的n 个数是1,3,5， 2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（I ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）； （II ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12 ，记此数列为

{}n b 求和：

32412

23

1

n n n b b b b b b b b b +++

+

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（2010全国卷2理数）（18）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+ ． （Ⅰ）求lim

n n n

a S →∞； （Ⅱ）证明：1

2222312n

n a a a n +++…＞．

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第 4 页 共 29 页 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式11(1)(2)n n

n s n a s s n -=?=?-≥?的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.

【参考答案】

【点评】2010年高考数学全国I 、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

（2010陕西文数）16.（本小题满分12分）

已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.

（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n .

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解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得

121

d +＝

1812d d

++，

解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n .

(Ⅱ)由（Ⅰ）知2m

a =2n

，由等比数列前n 项和公式得

S m =2+22

+23

+ (2)

=

2(12)12

n

--=2n+1-2.

（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）

已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且

121

2

112(

)a a a a +=+，3453

4

5

11164(

)a a a a a a ++=++

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2

1()n n n

b a a =+

，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

【解析】本题考查了数列通项、前n 项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于

1

a 与d 的方程求得

1

a 与d ，可求得数列的通项公式。

（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。

（2010江西理数）22. （本小题满分14分） 证明以下命题：

（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得222

a b c ，，成等差数列。

（2） 存在无穷多个互不相似的三角形△n ，其边长n n n a b c ，，为正整数且222

n n n

a b c ，，成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证222

2a c b +=，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值222

1,5,7满足等差数列，只需取b=5a ，c=7a ，对一切正整数a 均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当222n n n a b c ，，成等差数列，则2222

n n n n b a c b -=-，

分解得：()()()()n n n n n n n n b a b a c b c b +-=+-

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选取关于n 的一个多项式，24(1)n n -做两种途径的分解

2

2

2

4(1)(22)(22)(22)(22)n n n n n n n n -=-+=-+2

4(1)n n -

对比目标式，构造222211(4)21n n n

a n n

b n n

c n n ?=--?

=+≥??=+-?，由第一问结论得，等差数列成立，

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。 任取正整数m ，n ，若△m

，

△

n

相似：则三边对应成比例

2

2

2

22

22112121

1

21

m m m m m n n n n n --++-=

=--++-，

由比例的性质得：111

1

m m m n n n -+=?=-+，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

（2010安徽文数）（21）（本小题满分13分)

设12,,,,n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线

33

y x =

相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互

外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列. (Ⅰ)证明：{}n r 为等比数列；

（Ⅱ）设11r =，求数列{}n n

r 的前n 项和.

【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.

【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设n C 的圆心为(,0)n λ，得2n n r λ=，同理得112n n r λ++=，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{}n r 中1

n r +与n r 的关系，证明{}n r 为等比数列；（2）利用（1）的结论求{}n r 的通项公式，代入数列n

n r ，

然后用错位相减法求和.

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n

n n n n n

n+1n+1n+1n n n+1n+1n n n+1n n

n 1

1n

n n n

n 1

2

331,sin ,

3

3

2

r 12r 2

2r r r 2r 2r r 3r r q 3n r 1q 3r 3n *3

r 12.....r r x C θθλλλλλλλ--=====++====∏=====

+++解：（1）将直线y=的倾斜角记为,则有tan =

设的圆心为（，0），则由题意得知

，得；同理

，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。

（）由于，，故，从而

，

记S 1

2

1n 1

2

1n 1

2

1n 11,r 12*33*3

......*3

1*3

2*3......(1)*3

*3

313

3

...3*331333*3

()*3

,

22

23

9139(23)*3

()*3

4

2

2

4

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n n n n n n n n n S n ----------------=+++=+++-+-=++++--=

-=-+

-+∴=

-

+

=

则有

S S ①②,得

2S

【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项n a 与1n a +之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n 项和n S 乘以公比，然后错位相减解决.

（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）

已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；

（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .

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（2010浙江文数）（19）（本题满分14分）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足56S S +15=0。

（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1；

（Ⅱ）求d 的取值范围。

（2010重庆理数）（21）（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分） 在数列{}n a 中，1a =1，()()1121*n n n a ca c

n n N ++=++∈，其中实数0c ≠。

（I ）

求{}n a 的通项公式； （II ） 若对一切*k N ∈有21k zk a a ->，求c 的取值范围。

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（2010山东文数）（18）（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .

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（2010北京文数）（16）（本小题共13分） 已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。 （Ⅰ）求||n a 的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。 因为366,0a a =-=

所以112650

a d a d +=-??+=? 解得110,2a d =-=

所以10(1)2212n a n n =-+-?=- （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-

所以824q -=- 即q =3

所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n

n

n b q S q

-=

=--

（2010北京理数）（20）（本小题共13分）

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已

知

集

合

12

1

{|(,,),

{0,

1},

1

,

2

,

n n S X

X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…

A 与

B 之间的距离为111

(,)||i d A B a b -=

-∑

（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ?，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d

(P).

证明：

d

（P ）≤

2(1)

m n m -.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ 因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈

又1

(,)||||||n

i

i i i i d A C B C a

c b c =--=

---∑

由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;

当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-

所以1

(,)||(,)n

i

i i d A C B C a

b d A B =--=

-=∑

(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ (,)d A B k =

，(,)d A C l =，(,)d B C h =.

记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知

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第 14 页 共 29 页

(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A

l

=--=-= (,)(,)d B C d B A C

A h

=

-

-=

所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的

个数为l 。

设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，

即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。

（III ）2

,1()(,)A B P

m d P d A B C

∈=

∑

,其中

,(,)A B P

d A B ∈∑

表示P 中所有两个元素间距离的总和，

设P 种所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0

则

,(,)A B P

d A B ∈∑

=1

()n

i i i t m t =-∑

由于i t ()i m t -2

(1,2,...,)4

m

i n ≤

=

所以

,(,)A B P

d A B ∈∑

2

4

nm ≤

从而2

2

2,1()(,)42(1)

A B P

m m

nm m n d P d A B C

C

m ∈=

≤

=

-∑

（2010四川理数）（21）（本小题满分12分）

已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有 a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2 （Ⅰ）求a 3，a 5；

（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *

)，证明：{b n }是等差数列；

（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.

解：(1)由题意，零m ＝2,n －1,可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6

再令m ＝3,n ＝1，可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20………………………………2分 (2)当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得

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第 15 页 共 29 页 a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8

于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8

即 b n ＋1－b n ＝8

所以{b n }是公差为8的等差数列………………………………………………5分

(3)由(1)(2)解答可知{b n }是首项为b 1＝a 3－a 1＝6,公差为8的等差数列 则b n ＝8n －2，即a 2n +=1－a 2n －1＝8n －2

另由已知(令m ＝1)可得

a n ＝211

2n a a ++-(n －1)2.

那么a n ＋1－a n ＝2121

2

n n a a +-+－2n ＋1 ＝82

2n -－2n ＋1

＝2n

于是c n ＝2nq n －1.

当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋……＋2n ＝n (n ＋1)

当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋……＋2n ·q n －1

. 两边同乘以q ，可得

qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋……＋2n ·q n . 上述两式相减得

(1－q )S n ＝2(1＋q ＋q 2＋……＋q n －1)－2nq n

＝2·11n q q --－2nq n

＝2·11(1)1n n n q nq

q

+-++-

所以S n ＝2·12(1)1

(1)n n nq n q q +-++-

综上所述，S n ＝12(1)(1)

(1)12(1)(1)n n n n q nq n q q q ++=??-++?≠?-?

…………………………12分

（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）

在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记2

222323n n n T a a a =+++ ，证明n 32n T 2n 2<-≤≥（2）.

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第 16 页 共 29 页

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，

54412a a =+=， 65618a a =+=。

从而

655

4

32

a a a a =

=

，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。

（II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈

所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441 (41)

k k =+-+

+?

()21,*k k k N =+∈.

由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.

所以数列{}n a 的通项公式为221

,2

,2

n n n a n n ?-??=????为奇数为偶数

或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。 （III ）证明：由（II ）可知()2121k a k k +=+，2

22k a k =，

以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈

若1m =，则2

2

22n

k k

k

n a =-=∑

，

若2m ≥，则

()

()

()

2

2

222

1

1

2

2

1

1

1

1

221

2214441221n

m

m m

m k k k k k k

k

k k k k

k k k a a a k

k k --=====++++=

+

=

+

+∑

∑

∑

∑

∑

()

()21

1

11441

111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==??+??

??=++=+

+-?? ???++-???

???∑∑

()113

12211222

m m n m n

??

=+-+

-=-

-

???

.

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第 17 页 共 29 页

所以2

2

3122

n

k k

k

n a n

=-=

+

∑

，从而

2

2

322,4,6,8, (2)

n

k k

k

n n a =<-

<=∑

（2） 当n 为奇数时，设()21*n m m N =+∈。

()

()

()

2

2

22

22

2

21

21213142

221n

m

k k k

k

m m m k

k

m a a a m

m m ==+++=

+

=-

-

+

+∑

∑

()

1131422

212

1

m n m n =+

-

=-

-

-+

所以2

2

3122

1

n

k k

k

n a n =-=++∑

，从而2

2

322,3,5,7, (2)

n

k k

k

n n a =<-

<=∑

综合（1）和（2）可知，对任意2,*,n n N ≥∈有32 2.2

n n T <-≤

（2010天津理数）（22）（本小题满分14分）

在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈.21k a -，2k a ，21k a +成等差数列，其公差为k d 。 （Ⅰ）若k d =2k ，证明2k a ，21k a +，22k a +成等比数列（*k N ∈） （Ⅱ）若对任意*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等比数列，其公比为k q 。

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。 （Ⅰ）证明：由题设，可得*

4,21

21

a a

k k N k k -=∈+-。

所以131()()...()2121

21

2123

a

a a

a

a

a

a a k k k k k -=-+-++-++---

=44(1)...41k k +-++? =2k(k+1) 由1a =0，得2

2

2(1),22,2(1).21

221

22

a

k k a

a

k k a

k k k

k k =+=-==++++从而

于是1121222221

,,221212a

a a a

k k k k k k a k a k a a k k k k

++++++===++所以。

所以*

2,,,221

22

k d k k N a

a

a

k

k k =∈++时，对任意成等比数列。

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第 18 页 共 29 页

（Ⅱ）证法一：（i ）证明：由2,,2121k a

a a

k k -+成等差数列，及,,221

22

a

a

a

k

k k ++成

等比数列，得212112,2221

21

221

k

a

a

k k a

a

a

q k

k k a a q k k k -+=+=

+

=+-+-

当1q ≠1时，可知k q ≠1，k ∈*N 从而

111111,1(2)1

1

11

1

1

1

21

1

k q q q q k k k k q k ==

+-

=≥-------

--即

所以11q k ??

????-????

是等差数列，公差为1。

（Ⅱ）证明：10a =，22a =，可得34a =，从而142,

2

q =

=111

q -=1.由（Ⅰ）有

*

1111,,1

k k k k q k N q k

k +=+-==∈-得

所以2

*2

22211221,,2122a a

a

k k k k k k N a

a k a k k k k

+++++=

==∈+（）

从而

因此，

2222*2222(1)222214...........22..

2(1),2212(1)(2)122242

k

a

a

a k k k

k k a a k a a k k k N k k a a a k k k

k k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n 为偶数时，设n=2m(*

m N ∈)

若m=1,则2

2

22n

k k

k

n a =-=∑

.

若m ≥2，则

22221

2

2

1

1

1

221

(2)(21)42n

m

m m

k k k k k

k

k k

k k k a a a k

-====++=

+

=

∑

∑

∑

∑

+

2

21

1

1

1

1

1

441441

111

2222(1)

2(1)2(1)21113122(1)(1)22

2.

m m m k k k k k k k m m k k k k k k k

k m m n m

n ---===??+++????=++=+

+-

?????++++?

??

?

??=+-+-

=-

-∑

∑

∑

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所以2

2

2

2

3132,22,4,6,8 (2)

2

n

n

k k k

k

k

k

n n n a n

a ==-=

+

<-

<=∑

∑

从而

(2)当n 为奇数时，设n=2m+1（*m N ∈）

2

22

2

22

2

21

(21)31(21)

42

22(1)

n

m

k k k

k

m k

k

m m m a a a m

m m ==+++=

+

=-

-

+

+∑

∑

1131422

2(1)

2

1

m n m n =+

-

=-

-

++

所以2

2

312,2

1

n

k k

k

n a n =-=

+

+∑

从而2

2

322,3,5,72

n

k k k

n n a =<-

<=∑

···

综合（1）（2）可知，对任意2n ≥,n N *

∈,有

2

2

3222

n

k k

k

n a =<-

≤∑

证法二：（i ）证明：由题设，可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-

2

12221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k k d q d +=

23221

112

22

22

221111k k k k k k k k k k

k

k k

k a a d d d q q a a q a q a q ++++++++-=

=

=+

=+

=+

由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。可得

111

111

1

1

1

k

k k k k q q q q q +-

=

-

=----，

所以11k q ????-??

是等差数列，公差为1。

（ii ）证明：因为120,2,a a ==所以1212d a a =-=。

所以3214a a d =+=，从而312

2a q a =

=，

11

11q =-。于是，由（i ）可知所以11k q ??

??-??

是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得

11

k q -= ()11k k +-=，故1k k q k

+=

。

从而

11k k k d k q d k ++==

。

所以1

21

12

1

1

2.........

.

......

12

1

k k

k k k d d d d k

k k d d d d k k ----=

=

=--，由12d =，可得

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第 20 页 共 29 页 2k d k =。

于是，由（i ）可知()2

21221,2,*k k a k k a k k N +=+=∈ 以下同证法一。

（2010全国卷1理数）（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==-

. （Ⅰ）设5

1,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围

.

（2010四川文数）（20）（本小题满分12分）

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第 21 页 共 29 页 已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S

（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；

（Ⅱ）令b n =21

1n a -(n ∈N *

)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 112721026

a d a d +=??+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22?=2n +2n 。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m20m.html