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幻方常规解法汇总

按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。 奇数阶幻方（罗伯法）

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：

把1（或最小的数）放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格；

2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。 例，用该填法获得的5阶幻方：

17 24 1 23 5 4 6 7 8 15 14 16 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 双偶数阶幻方（对称交换法）

所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数 。如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数 ；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数 。 双偶数阶幻方的对称交换解法：

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

1 5 9 2 6 3 7 4 8 10 11 12 13 14 15 16 内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，

11）（7，10）互换即可。

16 2 5 9 4 3 13 11 10 8 7 6 12 14 15 1 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 以8阶幻方为例：

(1) 先把数字按顺序填。然后，按4×4把它分割成4块（如图） 1 9 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 (2) 每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。

64 2 9 3 61 60 6 7 57 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1 单偶数阶幻方（象限对称交换法） 以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2

（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。

（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)， 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进

行交换，就形成幻方。

下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1

延伸阅读

据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为\洛书\，即现在的三阶幻方。

我国南宋时期数学家杨辉是世界上第一个从数学角度对幻方进行详尽研究的学者，并取得了丰硕成果。他总结出了洛书幻方构造的方法，可以用下图解释：

九子斜排 上下对易 左右相更 四维挺出

法国数学家巴赫特创造了一种构造奇数阶幻方的方法——阶梯法也叫楼梯法。把正方

2

形从四周向外扩展成阶梯状，然后把1～n个自然数顺阶梯方向先码放好，再把正方形以外的部分平移到正方形以内其对边部分中去，即构成幻方。以三阶幻方为例：

幻方不仅有奇数阶幻方，还有偶数阶幻方，但偶数阶幻方没有中心点，因此构造较复杂，且并非任意偶数阶幻方都存在。

下图是在德国著名艺术家兼数学家迪勒﹝1471-1528﹞1514年的一幅版画上出现的四阶幻方图，据说是欧洲第一幅完整的四阶幻方图。

正因为幻方中蕴含着奇妙的数学美，因此吸引了很多人的兴趣。幻方还被数学家建议作为与“外星人”联系的特殊语言之一呢！

幻方诗情

诗歌使人巧慧，数学使人灵敏。在艺术中，与数学最接近的就是诗歌了。许多数学家认为，不能在心灵上作为一个诗人就不能成为一位数学家。九宫图是一首迷人的诗，那么四阶幻方也是一首完美的诗，一首震憾人们心灵的诗。四阶完美幻方共有三类。它所具有的幻性是十分丰富的，其分布规律，其结构关系，表现出惊人的和谐对称性，及整齐一律的美，并蕴含深奥的哲理思想。在我们的心灵中四阶完美幻方就是一首有严格韵律的四句诗，它激起了我们想象空间的升华，我们用它的数字结构进行诗歌艺术的创作，所创作成的每首诗歌，宛如新生的绿树，盛开着文学艺术和数学理趣的并蒂花。

九宫图8种变式配八首诗歌

4 3 8 9 5 1 2 7 6 ①鸟语花香

四季九花二重开，三杨五柳七处栽。 八哥一唱六鸟应，九宫奇境仙人来。 ②英雄奇才

八方三才游四海，一将五战胜九怪。 六女七拜杨二郎，九宫奇才谁不爱。

③哥妹团圆

二探七哥六妹愁，九望五峰一路陡。 四河三桥八停留，半月十五才到头。

④预测大师

六路七星二神通，一算五行九宫明。 八卦三爻四象生，天地人间事事语。

⑤流行《九妹》

二唱九妹四座惊，七颜五色三面捧。 六女一转八来风，唱遍祖国处处春。

⑥数字之美

点六一八黄金比，数七五三差等级。 二数除九余加四。十全十美真有趣。

⑦读书人生

八科一生学六回，三书五经读七春。 四年九创书二本，读书人生奏强音。

⑧纪念领袖

四祝三八妇女节，九庆五一劳动节。 二节逢上七六年，痛失领袖哭岁月。

四阶完美幻方

1．别离情

四哥探望十四姐， 七转石岭九道砭。 十五月亮一夜圆， 十二月逢六天面。 十诉别情八回怨， 十三云月三重天。 五作别诗十一首， 两地相望十六年。

{注解}：此诗所用数字构成一个四阶完美幻方，其四行四列及八条泛对角线所含四数之和都等于34。而且每一正方形，每一等腰梯形（如14，7，10，3）。每一平行四边形（如4，15，13，2）上的四个角，所含四数之和均为34。每一交*十字点上，画一个“X”向四边沿伸使其各有两个数字，那么每组两数之差均相等，如15-8=9-2=11-4=13-6=7，这种性质称为河图特性。

4 15 10 5 14 1 8 11 7 12 13 2 9 6 3 16 第一类四阶完美幻方

图6-1

这首《别离情》诗，惟妙惟肖地描述了四哥与十四姐的别离后的思念之情。他们每年只有六天见面时间，每逢一次总要穿山越岭，有一个艰难的旅程。离愁别恨，望着浓浓的云月，触发思念情绪，作诗感叹，就这样两地相望已十六年了。此诗不仅能够将和谐美妙的数字巧妙地砌入诗中，而且又能真切地表达别离思情，为人们留下了文理共赏的绝妙好词。

2．少年学艺

六面围墙九米高，四季苦练十五招， 三更始练十六套，五转飞空十分妙。 十三少年两手高，十一寻师八方找， 十二学艺七师教，十四内藏一身宝。

{注解}：此诗所用数字构成第二类四阶完美幻方，其性质与第一类相同。这里描写了一个少年学艺的过程，他11岁就八方云游寻找师父，12岁就有七位老师给他教功夫，13岁就有两手高招。他每天三更开始苦练各种套路招式，一年四季，住在九米高的围墙中天天如此，到14岁已身藏绝技很了不起了。此诗巧妙地将幻方中11—14各数字，用作少年成长的过程。一个志高的少年被表现的活灵活现，算是一首千古绝唱的诗了。

3．山湖园林景色秀

四方园林五桥连，十六叠峰九重天。 十五长廊十里街，三岸杨柳翠六砭。 一湖山色八洞险，十三楼阁十二殿。 十四花坛十一色，二重观光时七月，

{注解}：此诗所用数字构成第三类四阶完美幻方。其性质也与第一类相同。这首诗描写了一个山湖园林的景色。重峦叠峰中，五桥连着四方的园林，街头长廊，杨柳翠砭，湖中山色映出八个险洞，十分壮观迷人，楼阁宫殿，花坛草坪，分布在湖岸边上，一个美妙秀丽的景色历历在目，时值七月，正是景色最秀丽的时候，这是作者第二次到这里观光了。

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