同济大学 线代 4 答案04

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

第四章 向量组的线性相关性

1? 设v1?(1? 1? 0)T? v2?(0? 1? 1)T? v3?(3? 4? 0)T? 求v1?v2及3v1?2v2?v3?

解 v1?v2?(1? 1? 0)T?(0? 1? 1)T

?(1?0? 1?1? 0?1)T

?(1? 0? ?1)T?

3v1?2v2?v3?3(1? 1? 0)T ?2(0? 1? 1)T ?(3? 4? 0)T ?(3?1?2?0?3? 3?1?2?1?4? 3?0?2?1?0)T ?(0? 1? 2)T?

2? 设3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)? 求a? 其中a1?(2? 5? 1? 3)T? a2?(10? 1? 5? 10)T? a3?(4? 1? ?1? 1)T? 解 由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得

a?1(3a1?2a2?5a3) 6

?1[3(2, 5, 1, 3)T?2(10, 1, 5, 10)T?5(4, 1, ?1, 1)T] 6 ?(1? 2? 3? 4)T? 3? 已知向量组

A? a1?(0? 1? 2? 3)T? a2?(3? 0? 1? 2)T? a3?(2? 3? 0? 1)T? B? b1?(2? 1? 1? 2)T? b2?(0? ?2? 1? 1)T? b3?(4? 4? 1? 3)T? 证明B组能由A组线性表示? 但A组不能由B组线性表示? 证明 由

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

?0?1(A, B)??2??3?1?0~ ?0??0r30122301204?1?24?111??213??1r?~ ?00??0031?24?32204?

1?6?15?7??2?8?17?9??1?0~ ?0??0r

031?24?1?6?15?7?0205?1525??041?35?031?24?1?6?15?7?

041?35??00000?知R(A)?R(A? B)?3? 所以B组能由A组线性表示? 由

?204??102??1?1?24?r?0?22?r?0B??~~111??01?1??0?????13??01?1??0?202?1?1? 00??00?知R(B)?2? 因为R(B)?R(B? A)? 所以A组不能由B组线性表示?

4? 已知向量组

A? a1?(0? 1? 1)T? a2?(1? 1? 0)T?

B? b1?(?1? 0? 1)T? b2?(1? 2? 1)T? b3?(3? 2? ?1)T? 证明A组与B组等价? 证明 由

??11301?r??11301?r??11301?(B, A)??02211?~?02211?~?02211??

?11?110??02211??00000???????知R(B)?R(B? A)?2? 显然在A中有二阶非零子式? 故R(A)?2? 又R(A)?R(B? A)?2? 所以R(A)?2? 从而R(A)?R(B)?R(A? B)? 因此A组与B组等价?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

5? 已知R(a1? a2? a3)?2? R(a2? a3? a4)?3? 证明 (1) a1能由a2? a3线性表示? (2) a4不能由a1? a2? a3线性表示?

证明 (1)由R(a2? a3? a4)?3知a2? a3? a4线性无关? 故a2? a3也线性无关? 又由R(a1? a2? a3)?2知a1? a2? a3线性相关? 故a1能由a2? a3线性表示?

(2)假如a4能由a1? a2? a3线性表示? 则因为a1能由a2? a3线性表示? 故a4能由a2? a3线性表示? 从而a2? a3? a4线性相关? 矛盾? 因此a4不能由a1? a2? a3线性表示?

6? 判定下列向量组是线性相关还是线性无关? (1) (?1? 3? 1)T? (2? 1? 0)T? (1? 4? 1)T? (2) (2? 3? 0)T? (?1? 4? 0)T? (0? 0? 2)T?

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A? 因为

??121?r??121?r??121?A??314?~?077?~?011?? ?101??022??000???????

所以R(A)?2小于向量的个数? 从而所给向量组线性相关? (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B? 因为

2?10|B|?340?22?0?

002

所以R(B)?3等于向量的个数? 从而所给向量组线性相无关?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

7? 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1?(a? 1? 1)T? a2?(1? a? ?1)T? a3?(1? ?1? a)T? 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A? 由

a11|A|?1a?1?a(a?1)(a?1)

1?1a知? 当a??1、0、1时? R(A)?3? 此时向量组线性相关? 8? 设a1? a2线性无关? a1?b? a2?b线性相关? 求向量b用a1? a2线性表示的表示式?

解 因为a1?b? a2?b线性相关? 故存在不全为零的数?1? ?2使

?1(a1?b)??2(a2?b)?0? 由此得 设c??b???1?1??2a1??2?1??2a2???1?1??2a1?(1??1?1??2)a2?

?1?1??2? 则

b?ca1?(1?c)a2? c?R?

9? 设a1? a2线性相关? b1? b2也线性相关? 问a1?b1? a2?b2是否一定线性相关？试举例说明之? 解 不一定?

例如? 当a1?(1? 2)T, a2?(2? 4)T, b1?(?1? ?1)T, b2?(0? 0)T时? 有

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

a1?b1?(1? 2)T?b1?(0? 1)T, a2?b2?(2? 4)T?(0? 0)T?(2? 4)T? 而a1?b1? a2?b2的对应分量不成比例? 是线性无关的?

10? 举例说明下列各命题是错误的?

(1)若向量组a1? a2? ? ? ?? am是线性相关的? 则a1可由a2? ? ? ?? am线性表示?

解 设a1?e1?(1? 0? 0? ? ? ?? 0)? a2?a3? ? ? ? ?am?0? 则a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 但a1不能由a2? ? ? ?? am线性表示? (2)若有不全为0的数?1? ?2? ? ? ?? ?m使

?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm?0

成立? 则a1? a2? ? ? ?? am线性相关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性相关? 解 有不全为零的数?1? ?2? ? ? ?? ?m使

?1a1? ? ? ? ??mam ??1b1? ? ? ? ??mbm ?0?

原式可化为

?1(a1?b1)? ? ? ? ??m(am?bm)?0?

取a1?e1??b1? a2?e2??b2? ? ? ?? am?em??bm? 其中e1? e2? ? ? ?? em为单位坐标向量? 则上式成立? 而a1? a2? ? ? ?? am和b1? b2? ? ? ?? bm均线性无关?

(3)若只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式

?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm?0

才能成立? 则a1? a2? ? ? ?? am线性无关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性无关?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

解 由于只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式

由?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm ?0

成立? 所以只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式

?1(a1?b1)??2(a2?b2)? ? ? ? ??m(am?bm)?0

成立? 因此a1?b1? a2?b2? ? ? ?? am?bm线性无关?

取a1?a2? ? ? ? ?am?0? 取b1? ? ? ?? bm为线性无关组? 则它们满足以上条件? 但a1? a2? ? ? ?? am线性相关?

(4)若a1? a2? ? ? ?? am线性相关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性相关? 则有不全为0的数? ?1? ?2? ? ? ?? ?m使

?1a1? ? ? ? ??mam?0? ?1b1? ? ? ? ??mbm?0

同时成立?

解 a1?(1? 0)T? a2?(2? 0)T? b1?(0? 3)T? b2?(0? 4)T?

?1a1??2a2 ?0??1??2?2? ?1b1??2b2 ?0??1??(3/4)?2?

??1??2?0? 与题设矛盾?

11? 设b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a4? b4?a4?a1? 证明向量组b1? b2? b3? b4线性相关? 证明 由已知条件得

a1?b1?a2? a2?b2?a3? a3?b3?a4? a4?b4?a1? 于是 a1 ?b1?b2?a3 ?b1?b2?b3?a4

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

?b1?b2?b3?b4?a1? 从而 b1?b2?b3?b4?0?

这说明向量组b1? b2? b3? b4线性相关?

12? 设b1?a1? b2?a1?a2? ? ? ?? br ?a1?a2? ? ? ? ?ar? 且向量组a1? a2? ? ? ? ? ar线性无关? 证明向量组b1? b2? ? ? ? ? br线性无关? 证明 已知的r个等式可以写成

?1?0(b1, b2, ? ? ? , br)?(a1, a2, ? ? ? , ar)??????011???0????????????1?1?? ?????1?上式记为B?AK? 因为|K|?1?0? K可逆? 所以R(B)?R(A)?r? 从而向量组b1? b2? ? ? ? ? br线性无关?

13? 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组?

(1)a1?(1? 2? ?1? 4)T? a2?(9? 100? 10? 4)T? a3?(?2? ?4? 2? ?8)T? 解 由

9?2??19?2??1?1?2100?4?r?0820?r?0(a1, a2, a3)??~~?1102??0190??0?????4?8??0?320??0?49?2?10?? 00??00?

知R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1与a2的分量不成比例? 故a1? a2线性无关? 所以a1? a2是一个最大无关组?

(2)a1T?(1? 2? 1? 3)? a2T?(4? ?1? ?5? ?6)? a3T?(1? ?3? ?4? ?7)?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

解 由

1??141??141??14?2?1?3?r?0?9?5?r?0?9?5?? (a1, a2, a3)??~~1?5?4??0?9?5??000???????3?6?70?18?10000??????

知R(a1T? a2T? a3T)?R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1T与a2T的分量不成比例? 故a1T? a2T线性无关? 所以a1T? a2T是一个最大无关组?

14? 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组?

解 因为

?25?75?75??25319494321743?53132?54134??2048?r2?3r1r3?3r1r4?r1?25?75(1)?75??25319494321743?53132??

54134??2048?

~?25311743??0123??0135???0135??r4?r3r3?r2~?25311743??0123??0013?? ??0000??所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

?1?0(2)?2??11201213025?141??1?? 3???1? 解 因为

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

?1?0?2??11201213025?141??1?3???1?r3?2r1r4?r1~?11221??0215?1??0?2?1?51????00?22?2?r3?r2r3?r4~?1?0?0??012210?20021?5?1?? 2?2??00?所以第1、2、3列构成一个最大无关组?

15? 设向量组

(a? 3? 1)T? (2? b? 3)T? (1? 2? 1)T? (2? 3? 1)T

的秩为2? 求a? b?

解 设a1?(a? 3? 1)T? a2?(2? b? 3)T? a3?(1? 2? 1)T? a4?(2? 3? 1)T? 因为

13?r?1113??12a2?r?11(a3, a4, a1, a2)??233b?~?01a?1?1?~?01a?1?1??

?1113??01??1b?6??????002?ab?5?

而R(a1? a2? a3? a4)?2? 所以a?2? b?5?

16? 设a1? a2? ? ? ?? an是一组n维向量? 已知n维单位坐标向量e1? e2?? ? ?? en能由它们线性表示? 证明a1? a2? ? ? ?? an线性无关? 证法一 记A?(a1? a2? ? ? ?? an)? E?(e1? e2?? ? ?? en)? 由已知条件知? 存在矩阵K? 使

E?AK?

两边取行列式? 得

|E|?|A||K|?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

可见|A|?0? 所以R(A)?n? 从而a1? a2? ? ? ?? an线性无关?

证法二 因为e1? e2?? ? ?? en能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 所以

R(e1? e2?? ? ?? en)?R(a1? a2? ? ? ?? an)?

而R(e1? e2?? ? ?? en)?n? R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 所以R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 从而a1? a2? ? ? ?? an线性无关?

17? 设a1? a2? ? ? ?? an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是? 任一n维向量都可由它们线性表示? 证明 必要性? 设a为任一n维向量? 因为a1? a2? ? ? ?? an线性无关? 而a1? a2? ? ? ?? an? a是n?1个n维向量? 是线性相关的? 所以a能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 且表示式是唯一的? 充分性? 已知任一n维向量都可由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 故单位坐标向量组e1? e2? ? ? ?? en能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 于是有

n?R(e1? e2? ? ? ?? en)?R(a1? a2? ? ? ?? an)?n?

即R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 所以a1? a2? ? ? ?? an线性无关?

18? 设向量组a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 且a1?0? 证明存在某个向量ak (2?k?m)? 使ak能由a1? a2? ? ? ?? ak?1线性表示? 证明 因为a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 所以存在不全为零的

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

数?1? ?2? ? ? ?? ?m? 使

?1a1??2a2? ? ? ? ??mam?0?

而且?2? ?3?? ? ?? ?m不全为零? 这是因为? 如若不然? 则?1a1?0? 由a1?0知?1?0? 矛盾? 因此存在k(2?k?m)? 使

?k?0? ?k?1??k?2? ? ? ? ??m?0?

于是

?1a1??2a2? ? ? ? ??kak?0?

ak??(1/?k)(?1a1??2a2? ? ? ? ??k?1ak?1)?

即ak能由a1? a2? ? ? ?? ak?1线性表示?

19? 设向量组B? b1? ? ? ?? br能由向量组A? a1? ? ? ?? as线性表示为

(b1? ? ? ?? br)?(a1? ? ? ?? as)K? 其中K为s?r矩阵? 且A组线性无关? 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)?r? 证明 令B?(b1? ? ? ?? br)? A?(a1? ? ? ?? as)? 则有B?AK? 必要性? 设向量组B线性无关?

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质? 有 r?R(B)?R(AK)?min{R(A)? R(K)}?R(K)? 及 R(K)?min{r? s}?r? 因此R(K)?r?

充分性? 因为R(K)?r? 所以存在可逆矩阵C? 使KC?E???r??O?大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

为K的标准形? 于是

(b1? ? ? ?? br)C?( a1? ? ? ?? as)KC?(a1? ? ? ?? ar)?

因为C可逆? 所以R(b1? ? ? ?? br)?R(a1? ? ? ?? ar)?r? 从而b1? ? ? ?? br线性无关?

20? 设

??1? ?2??3? ? ? ? ??n??2??1 ??3? ? ? ? ??n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???n??1??2??3? ? ? ? ??n?1证明向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n等价? 证明 将已知关系写成

?0?1(?1, ?2, ? ? ? , ?n)?(?1, ?2, ? ? ? , ?n)?1??????1101???1110???1???????????????1?1?1?? ?????0?将上式记为B?AK? 因为

01|K|?1???1101???1110???1???????????????111?(?1)n?1(n?1)?0? ???0所以K可逆? 故有A?BK ?1? 由B?AK和A?BK ?1可知向量组?1?

?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n可相互线性表示? 因此向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n等价?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

21? 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x?3Ax?A2x? 且向量组x? Ax? A2x线性无关?

(1)记P?(x? Ax? A2x)? 求3阶矩阵B? 使AP?PB? 解 因为

AP?A(x? Ax? A2x) ?(Ax? A2x? A3x) ?(Ax? A2x? 3Ax?A2x)

?000??(x, Ax, A2x)?103??

?01?1???

?000?所以B??103??

?01?1???

(2)求|A|?

解 由A3x?3Ax?A2x? 得A(3x?Ax?A2x)?0? 因为x? Ax? A2x线性无关? 故3x?Ax?A2x?0? 即方程Ax?0有非零解? 所以R(A)?3? |A|?0?

22? 求下列齐次线性方程组的基础解系?

?x1?8x2?10x3?2x4?0?(1)?2x1?4x2?5x3?x4?0??3x1?8x2?6x3?2x4?0?

解 对系数矩阵进行初等行变换? 有 于是得

40??1?8102?r?10A??245?1? ~ ?01?3/4?1/4?? ?386?2??00?00????

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

?x1??4x3?x?(3/4)x?(1/4)x?234?

取(x3? x4)T?(4? 0)T? 得(x1? x2)T?(?16? 3)T? 取(x3? x4)T?(0? 4)T? 得(x1? x2)T?(0? 1)T? 因此方程组的基础解系为

?1?(?16? 3? 4? 0)T? ?2?(0? 1? 0? 4)T?

?2x1?3x2?2x3?x4?0?(2)?3x1?5x2?4x3?2x4?0? ??8x1?7x2?6x3?3x4?0

解 对系数矩阵进行初等行变换? 有 于是得

?x1??(2/19)x3?(1/19)x4?x??(14/19)x?(7/19)x?234?2?3?21?r?102/19?1/19A??354?2? ~ ?0114/19?7/19?876?3??0000?????? ??

?

取(x3? x4)T?(19? 0)T? 得(x1? x2)T?(?2? 14)T? 取(x3? x4)T?(0? 19)T? 得(x1? x2)T?(1? 7)T? 因此方程组的基础解系为

?1?(?2? 14? 19? 0)T? ?2?(1? 7? 0? 19)T?

(3)nx1 ?(n?1)x2? ? ? ? ?2xn?1?xn?0. 解 原方程组即为

xn??nx1?(n?1)x2? ? ? ? ?2xn?1?

取x1?1? x2?x3? ? ? ? ?xn?1?0? 得xn??n?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

取x2?1? x1?x3?x4? ? ? ? ?xn?1?0? 得xn??(n?1)??n?1? ? ? ? ?

取xn?1?1? x1?x2? ? ? ? ?xn?2?0? 得xn??2? 因此方程组的基础解系为 ?1?(1? 0? 0? ? ? ?? 0? ?n)T? ?2?(0? 1? 0? ? ? ?? 0? ?n?1)T? ? ? ??

?n?1?(0? 0? 0? ? ? ?? 1? ?2)T?

2 23? 设A????213??, 9?528??求一个4?2矩阵B, 使AB?0, 且

R(B)?2.

解 显然B的两个列向量应是方程组AB?0的两个线性无关的解? 因为

2?213?1/8??10?1/8A?? ~ ????? 9?52801?5/8?11/8????r

所以与方程组AB?0同解方程组为

?x1?(1/8)x3?(1/8)x4?x?(5/8)x?(11/8)x? ?234

取(x3? x4)T?(8? 0)T? 得(x1? x2)T?(1? 5)T? 取(x3? x4)T?(0? 8)T? 得(x1? x2)T?(?1? 11)T? 方程组AB?0的基础解系为

?1?(1? 5? 8? 0)T? ?2?(?1? 11? 0? 8)T?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

?1?5因此所求矩阵为B??8??0?1?11?? 0??8?

24? 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为

?1?(0? 1? 2? 3)T ? ?2?(3? 2? 1? 0)T ?

解 显然原方程组的通解为

?x1??0??3??x??1??2?2???k1???k2??, 21x?3??????3??0??x4??x1?3k2?x?k?2k2即?21? (k1? k2?R)?

x3?2k1?k2??x4?3k1消去k1? k2得

?2x1?3x2?x4?0?x?3x?2x?0?134?

此即所求的齐次线性方程组.

25? 设四元齐次线性方程组 I?

?x1?x2?0?x?x?0 ?24?x1?x2?x3?0?x?x?x?0? ?234? II?

求? (1)方程I与II的基础解系? (2) I与II的公共解? 解 (1)由方程I得??x1??x4? x?x?24

取(x3? x4)T?(1? 0)T? 得(x1? x2)T?(0? 0)T? 取(x3? x4)T?(0? 1)T? 得(x1? x2)T?(?1? 1)T? 因此方程I的基础解系为

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

?1?(0? 0? 1? 0)T? ?2?(?1? 1? 0? 1)T? 由方程II得??x1??x4?x2?x3?x4?

取(x3? x4)T?(1? 0)T? 得(x1? x2)T?(0? 1)T? 取(x3? x4)T?(0? 1)T? 得(x1? x2)T?(?1? ?1)T? 因此方程II的基础解系为

?1?(0? 1? 1? 0)T? ?2?(?1? ?1? 0? 1)T? (2) I与II的公共解就是方程 III?

?x1?x2?0?x2?x4?0?x?x?x?0

23?1?x2?x3?x4?0的解? 因为方程组III的系数矩阵

?1100??1r?010?1??0A?? ~ ?1?110?0????01?11??0010001?0?1?? 1?2??00?

所以与方程组III同解的方程组为

?x1??x4??x2?x4??x3?2x4?

取x4?1? 得(x1? x2? x3)T?(?1? 1? 2)T? 方程组III的基础解系为 ??(?1? 1? 2? 1)T?

因此I与II的公共解为x?c(?1? 1? 2? 1)T? c?R?

26? 设n阶矩阵A满足A2?A? E为n阶单位矩阵, 证明

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

R(A)?R(A?E)?n?

证明 因为A(A?E)?A2?A?A?A?0? 所以R(A)?R(A?E)?n? 又R(A?E)?R(E?A)? 可知

R(A)?R(A?E)?R(A)?R(E?A)?R(A?E?A)?R(E)?n?

由此R(A)?R(A?E)?n?

27? 设A为n阶矩阵(n?2)? A*为A的伴随阵? 证明

?n 当R(A)?n?R(A*)??1 当R(A)?n?1??0 当R(A)?n?2?

证明 当R(A)?n时? |A|?0? 故有 |AA*|?||A|E|?|A|?0? |A*|?0? 所以R(A*)?n?

当R(A)?n?1时? |A|?0? 故有 AA*?|A|E?0?

即A*的列向量都是方程组Ax?0的解? 因为R(A)?n?1? 所以方程组Ax?0的基础解系中只含一个解向量? 即基础解系的秩为1? 因此R(A*)?1?

当R(A)?n?2时? A中每个元素的代数余子式都为0? 故A*?O? 从而R(A*)?0?

28? 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系?

?x1?x2?5?(1)?2x1?x2?x3?2x4?1??5x1?3x2?2x3?2x4?3?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

解 对增广矩阵进行初等行变换? 有

?11005?r?1010?8?B??21121? ~ ?01?1013?? ?53223??00012????? 与所给方程组同解的方程为

?x1??x3?8??x2? x3?13??x4? 2?

当x3?0时? 得所给方程组的一个解??(?8? 13? 0? 2)T? 与对应的齐次方程组同解的方程为

?x1??x3??x2? x3??x4?0?

当x3?1时? 得对应的齐次方程组的基础解系??(?1? 1? 1? 0)T?

?x1?5x2?2x3?3x4?11?(2)?5x1?3x2?6x3?x4??1? ??2x1?4x2?2x3?x4??6

解 对增广矩阵进行初等行变换? 有

?1?52?311?r?109/7?1/21?B??536?1?1? ~ ?01?1/71/2?2?? ?2421?6??00000?????

与所给方程组同解的方程为

?x1??(9/7)x3?(1/2)x4?1?x?(1/7)x?(1/2)x?2? ?234 当x3?x4?0时? 得所给方程组的一个解

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

??(1? ?2? 0? 0)T?

与对应的齐次方程组同解的方程为

?x1??(9/7)x3?(1/2)x4?x?(1/7)x?(1/2)x?234?

分别取(x3? x4)T?(1? 0)T? (0? 1)T? 得对应的齐次方程组的基础解系

?1?(?9? 1? 7? 0)T? ?2?(1? ?1? 0? 2)T?

29? 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3? 已知

?1? ?2? ?3是它的三个解向量? 且

?1?(2? 3? 4? 5)T? ?2??3?(1? 2? 3? 4)T?

求该方程组的通解?

解 由于方程组中未知数的个数是4? 系数矩阵的秩为3? 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量? 且由于

?1? ?2? ?3均为方程组的解? 由非齐次线性方程组解的结构性质

得

2?1?(?2??3)?(?1??2)?(?1??3)? (3? 4? 5? 6)T

为其基础解系向量? 故此方程组的通解?

x?k(3? 4? 5? 6)T?(2? 3? 4? 5)T? (k?R)?

30? 设有向量组A? a1?(?? 2? 10)T? a2?(?2? 1? 5)T? a3?(?1? 1? 4)T? 及b?(1? ?? ?1)T? 问?? ?为何值时 (1)向量b不能由向量组A线性表示?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

(2)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一? (3)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式不唯一? 并求一般表示式? 解

??1?2?1?(a3, a2, a1, b)??112????4510?1??1???1?2?~ ?0?11????1?? ??004???3???r

(1)当???4? ??0时? R(A)?R(A? b)? 此时向量b不能由向量组A线性表示?

(2)当???4时? R(A)?R(A? b)?3? 此时向量组a1? a2? a3线性无关? 而向量组a1? a2? a3? b线性相关? 故向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一?

(3)当???4? ??0时? R(A)?R(A? b)?2? 此时向量b能由向量组A线性表示? 且表示式不唯一? 当???4? ??0时?

??1?2?41?(a3, a2, a1, b)??1120??4510?1????10?21?~ ?013?1?? ?0000???r

方程组(a3? a2? a1)x?b的解为

?x1??2??1??2c?1??x??c??3????1????3c?1?? c?R? ?2??1??0???cx???????3?

因此 b?(2c?1)a3?(?3c?1)a2?ca1? 即 b? ca1?(?3c?1)a2?(2c?1)a3? c?R?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

31? 设a?(a1? a2? a3)T? b?(b1? b2? b3)T? c?(c1? c2? c3)T? 证明三直线

l1? a1x?b1y?c1?0?

l2? a2x?b2y?c2?0? (ai2?bi2?0? i?1? 2? 3) l3? a3x?b3y?c3?0?

相交于一点的充分必要条件为? 向量组a? b线性无关? 且向量组a? b? c线性相关?

证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组

?a1x?b1y?c1?0??a2x?b2y?c2?0? ??a3x?b3y?c3?0?a1x?b1y??c1?即?a2x?b2y??c2 ??a3x?b3y??c3有唯一解? 上述方程组可写为xa?yb??c? 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a? b唯一线性表示? 而c能由a? b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a? b线性无关? 且向量组a? b? c线性相关?

32? 设矩阵A?(a1? a2? a3? a4)? 其中a2? a3? a4线性无关? a1?2a2? a3? 向量b?a1?a2?a3?a4? 求方程Ax?b的通解? 解 由b?a1?a2?a3?a4知??(1? 1? 1? 1)T是方程Ax?b的一个解?

由a1?2a2? a3得a1?2a2?a3?0? 知??(1? ?2? 1? 0)T是Ax?0的一个解?

由a2? a3? a4线性无关知R(A)?3? 故方程Ax?b所对应的齐次

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

方程Ax?0的基础解系中含一个解向量? 因此??(1? ?2? 1? 0)T是方程Ax?0的基础解系? 方程Ax?b的通解为

x?c(1? ?2? 1? 0)T?(1? 1? 1? 1)T? c?R?

33? 设?*是非齐次线性方程组Ax?b的一个解, ?1? ?2? ? ? ??

?n?r ?是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明?

(1)?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? (2)?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r线性无关?

证明 (1)反证法, 假设?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性相关? 因为?1?

?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? 而?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性相关? 所以?*可

由?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性表示? 且表示式是唯一的? 这说明?*也是齐次线性方程组的解? 矛盾?

(2)显然向量组?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r与向量组?*?

?1? ?2? ? ? ?? ?n?r可以相互表示? 故这两个向量组等价? 而由(1)知

向量组?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? 所以向量组?*? ?*??1?

?*??2? ? ? ?? ?*??n?r也线性无关?

34? 设?1? ?2? ? ? ?? ?s是非齐次线性方程组Ax?b的s个解? k1? k2? ? ? ?? ks为实数? 满足k1?k2? ? ? ? ?ks?1. 证明

x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

也是它的解.

证明 因为?1? ?2? ? ? ?? ?s都是方程组Ax?b的解? 所以 A?i?b (i?1? 2? ? ? ?? s)?

从而 A(k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s)?k1A?1?k2A?2? ? ? ? ?ksA?s ?(k1?k2? ? ? ? ?ks)b?b? 因此x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s也是方程的解?

35? 设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵的秩为r? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1是它的n?r?1个线性无关的解? 试证它的任一解可表示为

x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r?1? (其中k1?k2? ? ? ? ?kn?r?1?1). 证明 因为?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1均为Ax?b的解? 所以?1??2??1?

?2??3??1? ? ? ?? ?n?r?? n?r?1??1均为Ax?b的解?

用反证法证? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关?

设它们线性相关? 则存在不全为零的数?1? ?2? ? ? ?? ?n?r? 使得

?1?1? ?2?2? ? ? ? ? ? n?r ? n?r?0?

即 ?1(?2??1)? ?2(?3??1)? ? ? ? ? ? n?r(?n?r?1??1)?0? 亦即 ?(?1??2? ? ? ? ??n?r)?1??1?2??2?3? ? ? ? ?? n?r?n?r?1?0? 由?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1线性无关知

?(?1??2? ? ? ? ??n?r)??1??2? ? ? ? ??n?r?0?

矛盾? 因此?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r为Ax?b的一

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

个基础解系?

设x为Ax?b的任意解? 则x??1为Ax?0的解? 故x??1可由

?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性表出? 设

x??1?k2?1?k3?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r

?k2(?2??1)?k3(?3??1)? ? ? ? ?kn?r?1(?n?r?1??1)? x??1(1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r?1)?k2?2?k3?3? ? ? ? ?k n?r?1?n?r?1? 令k1?1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r?1? 则k1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r?1?1? 于是 x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r?1?

36? 设

V1?{x?(x1? x2? ?????? xn)T | x1? ?????? xn?R满足x1?x2? ???????xn?0}? V2?{x?(x1? x2? ?????? xn)T | x1? ?????? xn?R满足x1?x2? ???????xn?1}? 问V1? V2是不是向量空间？为什么？ 解 V1是向量空间? 因为任取

??(a1? a2? ?????? an)T ?V1? ??(b1? b2? ?????? bn)T ?V1? ???R? 有 a1?a2? ???????an?0? b1?b2? ???????bn?0?

从而 (a1?b1)?(a2?b2)? ???????(an?bn) ?(a1?a2? ???????an)?(b1?b2? ???????bn)?0? ?a1??a2? ????????an??(a1?a2? ???????an)?0? 所以 ????(a1?b1? a2?b2? ?????? an?bn)T?V1? ???(?a1? ?a2? ?????? ?an)T ?V1? V2不是向量空间? 因为任取

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

??(a1? a2? ?????? an)T ?V1? ??(b1? b2? ?????? bn)T ?V1? 有 a1?a2? ???????an?1? b1?b2? ???????bn?1?

从而 (a1?b1)?(a2?b2)? ???????(an?bn) ?(a1?a2? ???????an)?(b1?b2? ???????bn)?2? 所以 ????(a1?b1? a2?b2? ?????? an?bn)T?V1?

37? 试证? 由a1?(0? 1? 1)T? a2?(1? 0? 1)T? a3?(1? 1? 0)T所生成的向量空间就是R3. 证明 设A?(a1? a2? a3)? 由

011|A|?101??2?0?

110知R(A)?3? 故a1? a2? a3线性无关? 所以a1? a2? a3是三维空间R3的一组基, 因此由a1? a2? a3所生成的向量空间就是R3.

38? 由a1?(1? 1? 0? 0)T? a2?(1? 0? 1? 1)T所生成的向量空间记作V1,由b1?(2? ?1? 3? 3)T? b2?(0? 1? ?1? ?1)T所生成的向量空间记作V2, 试证V1?V2.

证明 设A?(a1? a2)? B?(b1? b2)? 显然R(A)?R(B)?2? 又由

?1?1(A, B)??0??010112?1330??11?r?0 ~ ??1?0???1??01?1002?3000?1?? 0??0?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

知R(A? B)?2? 所以R(A)?R(B)?R(A? B)? 从而向量组a1? a2与向量组b1? b2等价? 因为向量组a1? a2与向量组b1? b2等价? 所以这两个向量组所生成的向量空间相同? 即V1?V2.

39? 验证a1?(1? ?1? 0)T? a2?(2? 1? 3)T? a3?(3? 1? 2)T为R3的一个基, 并把v1?(5? 0? 7)T? v2?(?9? ?8? ?13)T用这个基线性表示. 解 设A?(a1? a2? a3)? 由

123|(a1, a2, a3)|??111??6?0?

032知R(A)?3? 故a1? a2? a3线性无关? 所以a1? a2? a3为R3的一个基. 设x1a1?x2a2?x3a3?v1? 则

?x1?2x2?3x3?5???x1?x2?x3?0??3x2?2x3?7?

解之得x1?2? x2?3? x3??1? 故线性表示为v1?2a1?3a2?a3? 设x1a1?x2a2?x3a3?v2? 则

?x1?2x2?3x3??9???x1?x2?x3??8??3x2?2x3??13?

解之得x1?3? x2??3? x3??2? 故线性表示为v2?3a1?3a2?2a3?

大学生校园网—VvSchool.CN努力打造大学生最实用的网络平台！

40? 已知R3的两个基为

a1?(1? 1? 1)T? a2?(1? 0? ?1)T? a3?(1? 0? 1)T? b1?(1? 2? 1)T? b2?(2? 3? 4)T? b3?(3? 4? 3)T? 求由基a1? a2? a3到基b1? b2? b3的过渡矩阵P? 解 设e1? e2? e3是三维单位坐标向量组? 则

?111?(a1, a2, a3)?(e1, e2, e3)?100??1?11????

?1

?111?(e1, e2, e3)?(a1, a2, a3)?100??1?11????123?(b1, b2, b3)?(e1, e2, e3)?234?

?143????

于是

?111??123??(a1, a2, a3)?100??234??

?1?11??143??????1由基a1? a2? a3到基b1? b2? b3的过渡矩阵为

?111??123??234?P??100??234???0?10?? ?1?11??143???10?1????????1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m1pr.html