第八章 三维对象的表示

计算机图形学———三维对象的表示

曾

智软件学院

勇

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自由曲线和曲面是指那些形状比较复 杂、不能用初等解析函数直接表示出来的 曲线和曲面。汽车车身、飞机机翼和轮船 船体等的曲线和曲面均属于这一类。一般 情况下，它们需要利用插值或逼近的方法， 对型值点进行拟合，得到拟合曲线和曲面。

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8.1 曲线曲面的参数表示及连续性 8.1.1曲线曲面的参数表示如果用u表示参数，二维空间自由曲线的参数方程可以记为： x﹦x(u),y﹦y(u) u [0,1] 二维空间曲线上一点的参数表示为： P(u)﹦[x(u),y(u)] 三维空间自由曲线的参数方程表示为： x﹦x(u),y﹦y(u),z﹦z(u);u [0,1] 曲线上一点的参数表示为： P(u)﹦[x(u),y(u),z(u)] 同样，如果用u,w表示参数，二维空间自由曲面的参数方程 表示为： x﹦x(u,w),y﹦y(u,w) u,w [0,1] 曲面上一点的参数表示为： P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w)] 三维空间自由曲面的参数方程表示为： x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w);u,w [0,1] 曲面上一点的参数表示为： P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w),z(u,w)]。

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8.1.2 插值、逼近和拟合 给出一组有序的型值点列，根据应用的要求来得 到一条光滑曲线，通常采用两种不同的方法，即插 值方法和逼近方法。 插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。 曲线插值方法有多项式插值，分段多项式插值，样 条函数插值等。 逼近方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不 一定要求通过每个点。逼近方法有最小二乘法， Bezier方法，B样条方法等。 用插值或逼近来构造曲线的方法通称为曲线拟合 方法。

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8.1.3 参数连续性条件 0阶导数连续性，记作C0连续，是指曲线相连。即第一 个曲线段在u﹦1处的x,y,z值与第二个曲线段在u﹦0处的 x,y,z值相等。 一阶导数连续性，记作C1连续，指两个相邻曲线段在 交点处有相同的一阶导数。 二阶导数连续性，记作C2连续，指两个相邻曲线段在 交点处有相同的一阶和二阶导数。高阶参数连续性可类 似定义。 0阶几何连续性，记为G0连续，与0阶导数连续性相同。 即两个曲线段在公共点处有相同的坐标。 一阶几何连续性，记为G1连续，指一阶导数在两个相 邻段的交点处成比例，而大小不一定相等。 二阶几何连续性，记为G2连续，指两个曲线段在相交 处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续下，两个曲线段在 交点处的曲率相等。

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8.1.4 参数样条曲线 1.样条曲线 在计算机图形学中，术语样条曲线指由多项式 曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特 定连续条件。而样条曲面可用两组正交样条曲线 来描述。样条用来设计曲线和曲面形状，典型的 CAD应用包括汽车、飞机和航天飞机表面设计以 及船壳设计。 2.参数样条表示 在计算机图形

学应用中使用几种不同的样条描 述。每种描述是一个带有某特定边界条件多项式 的特殊类型。

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例如空间一条曲线用三次参数方程可以表示如下： x(u)﹦axu 3﹢bxu 2﹢cxu﹢dx y(u)﹦ayu 3﹢byu 2﹢cyu﹢dy z(u)﹦azu 3﹢bzu 2﹢czu﹢dz u [0,1] 或 P(u)﹦au 3﹢bu 2﹢cu﹢d u [0,1] 如果曲线的边界条件设定为端点处满足给定坐标值 P(0)和P(1),同时端点处的导数也满足给定值P’(0) 和P’(1)。这四个边界条件对决定上式中方程的系数 是充分条件。例如已知x(0)、x(1)、x’(0)和x’(1), 则ax、bx、cx和dx就可以求出。解出各个系数后的上) 式就是一种确定的三次参数样条表示式。

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8.2 三次样条插值曲线 实际上，通常使用的是三次样条曲线。这是因 为三次多项式曲线是能使曲线段的端点通过特定的 点，并能使曲线段在连接处保持位置和斜率连续性 的最低阶次的多项式。与更高次多项式相比，三次 多项式只需较少的计算和存储且较稳定，而更低次 多项式又难以用来描述复杂形状的曲线。 如果想使用三次样条获得一条通过各个型值点 的连续曲线，需要利用三次样条分段插值得到通过 每个型值点的分段三次样条曲线。对n+1个型值点， 分段插值时段与段之间要建立合适的边界条件，既 能使各段之间平滑连续，又可建立起足够的方程数， 求出所有的系数。

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8.2.1 Hermite 样条插值曲线 Hermite样条插值(以法国数学家Charles Hermite 命名)使用型值点和型值点处的一阶导数建立边界条 件。设P和P为第K个和第K+1个型值点，Hermite样条 插值边界条件规定为： P(0) ﹦Pk P(1) ﹦Pk+1 P’(0)﹦Dk P’(1)﹦Dk+1 其中，Dk和Dk+1分别为Pk和Pk+1处的一阶导数。 将参数方程写成矩阵形式为：

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将边界条件P(0) ﹦Pk和P(1) ﹦Pk+1代入方程得： Pk ﹦d Pk+1﹦a﹢b﹢c﹢d一阶导数为：

将边界条件P’(0)﹦Dk和P’(1)﹦Dk+1代入方程得： Dk ﹦c Dk+1﹦3a﹢2b﹢c

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由边界条件构成的4个方程联立： Pk ﹦d Pk+1﹦a﹢b﹢c﹢d Dk ﹦c Dk+1﹦3a﹢2b﹢c 写成矩阵的形式为：

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解此方程得：

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称为Hermite矩阵，插值样条参数方程可以写成

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将上式展开写成代数形式为： P(u)﹦Pk(2u3﹣3u2﹢1)﹢Pk+1(-2u3﹢3u2) +Dk(u3﹣2u2﹢u)﹢Dk+1(u3﹣u2) ﹦PkH0(u)﹢Pk+1H1(u)﹢DkH2(u)﹢Dk+1H3(u)其中 H0(u)﹦2u3﹣3u2﹢1 H1(u)﹦-2u3﹢3u2 H2(u)﹦u3﹣2u2﹢u H3(u)﹦u3﹣u2 称为Hermite样条调和函数，因为它们调和了边界约束值， 使在整个参数范围内产生曲线的坐标值。调和函数仅与 参数u有关，而与初始条件无关，且调和函数对于空间的 三个坐标分量(x,y,z)是相同的。

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下图表示出Hermite样条曲线的调和函数随参数u变化的曲线

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还可将方程整理成如下形式： P(u)﹦(2Pk-2Pk+1+Dk﹢Dk+1)u3 ﹢(-3Pk﹢3Pk+1-2Dk

-Dk+1)u2+Dku﹢Pk 写成坐标分量形式则如下式： x(u)﹦(2xk-2xk+1+xk'﹢xk+1')u3 ﹢(-3xk﹢3xk+1-2xk'-xk+1')u2+xk'u﹢xky(u)﹦(2yk-2yk+1+yk'﹢yk+1')u3

﹢(-3yk﹢3yk+1-2yk'-yk+1')u2+yk'u﹢yk ﹢(-3zk﹢3zk+1-2zk'-zk+1')u2+zk'u﹢zk

z(u)﹦(2zk-2zk+1+zk'﹢zk+1')u3

如果是平面曲线，则只有x和y分量。

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例：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点， 从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具 体坐标位置如下：(100,300),(120,200),(220,200),(270,100), (370,100),(420,200),(420,300),(220,280), (100,300) 假定各点处的一阶导数数值如下： (70,-70), (70,-70), (70,-70),(70,-70), (70,70), (70,70), (-70,70),(-70,70),

(70,-70)用Hermite插值方法绘制曲线。

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Hermit三次曲线算法主要实现子程序实例void HermitCurve(HDC hdc) { int i; int arry1[9][2]={100,300,120,200,220,200,270,100,370,100,420,200,420,300,220,280,100,300}; int arry2[9][2]={70,-70,70,-70,70,-70,70,-70,70,70,70,70,-70,70,-70,70,70,-70}; for(i=0;i<8;i++) { SetColor(RGB(0,0,255),hdc); line(hdc,arry1[i][0],arry1[i][1],arry1[i+1][0],arry1[i+1][1]); SetColor(RGB(255,0,0),hdc); Hermit3(hdc,arry1,arry2,i,100); } } void Hermit3(HDC hdc,int arry1[2][2],int arry2[2][2],int n,int steps) { int i,x,y,k1,k2,k3,k4,m1,m2,m3,m4; float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3,dt,t,t2,t3; k1=arry1[n][0]; k2=arry1[n+1][0]; k3=arry2[n][0]; k4=arry2[n+1][0]; m1=arry1[n][1]; m2=arry1[n+1][1]; m3=arry2[n][1]; m4=arry2[n+1][1];

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MoveToEx(hdc,arry1[n][0],arry1[n][1],NULL); a0 = k1; a1 = k3; a2 = -3*k1+3*k2-2*k3-k4; a3 = 2*k1-2*k2+k3+k4; b0 = m1; b1 = m3; b2 = -3*m1+3*m2-2*m3-m4; b3 = 2*m1-2*m2+m3+m4; dt = 1.0/steps;

for(i=1;i<steps;i++) { t = i*dt; t2 = t*t; t3 = t*t2; x = a0+a1*t+a2*t2+a3*t3; y = b0+b1*t+b2*t2+b3*t3;LineTo(hdc,x,y); Sleep(5); } }

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m1ii.html