2016届山东省济宁市高考数学专题复习演练第7讲二次函数与幂函数（新人教A版）

第四节 二次函数与幂函数

[考情展望] 1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系去分析和解决问题．

一、二次函数

1．二次函数的三种形式

一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)；

顶点式：f(x)＝a(x－h)＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 2．二次函数的性质

函数 2

2

y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 值域 R ?4ac－b，＋∞? ?4a???在?－∞，－?减 2a??在?－，＋∞?增 ?2a?2?－∞，4ac－b? ??4a??在?－，＋∞?减 ?2a?在?－∞，－?增 2a??2??b???b?单调性 b?b?对称性

函数y＝f(x)对称轴的判断方法

函数的图象关于x＝－对称 2ab(1)对于函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋x2

2

对称．

(2)对于函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数

y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．

二、幂函数

1．定义：形如y＝x(α∈R)的函数叫幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的性质 函数特征性质 α

y＝x R y＝x2 R y＝x3 R y＝x [0，＋∞) 12y＝x－1 (－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 在(0，＋∞)定义域 值域 奇偶性 R 奇 [0，＋∞) 偶 在(0，＋∞)R 奇 [0，＋∞) / 单调性 增 上增 在(－∞，0)上减 增 增 上减 在(－∞，0)上减 定点

(1,1)

1．当α≠0,1时，幂函数y＝x在第一象限的图象特征(如图所示)： (1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x； 1

(2)0＜α＜1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x；

2

1－1

(3)α＜0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x，y＝x－. 22．幂函数的图象一定不会经过第四象限．

2

α

1．已知点M?

2

?3?

，3?在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为( ) ?3?

B．f(x)＝x 1

D．f(x)＝x－

2

－2

A．f(x)＝x 1

C．f(x)＝x

2

【解析】 设f(x)＝x，则有3＝?

α

1?3?α

?，即3＝3－2α， ?3?

1－2

∴－α＝1，∴α＝－2，∴f(x)＝x，故选B.

2【答案】 B

2．图2－4－1中C1，C2，C3为三个幂函数y＝x在第一象限内的图象，则解析式中指数

kk的值依次可以是( )

图2－4－1

1

A．－1，，3

21

C.，－1,3 2

1

B．－1,3， 21

D.，3，－1 2

【解析】 根据幂函数的图象知，选A. 【答案】 A

3．函数f(x)＝(m－1)x＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上( ) A．先减后增 C．单调递减

2

2

B．先增后减 D．单调递增

【解析】 ∵f(x)＝(m－1)x＋2mx＋3为偶函数， ∴2m＝0，∴m＝0.

则f(x)＝－x＋3在(－5，－3)上是增函数． 【答案】 D

4．函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

【解析】 二次函数f(x)的对称轴是x＝1－a，由题意知 1－a≥3，∴a≤－2. 【答案】 (－∞，－2]

1

5．(2011·陕西高考)函数y＝x的图象是( )

3

22

【解析】 已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断． 【答案】 B

6．(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )

A．a>0,4a＋b＝0 C．a>0,2a＋b＝0

B．a<0,4a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0

2

【解析】 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0，故选A.

2a【答案】 A

考向一 [019] 二次函数的图象与性质

已知函数f(x)＝x＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．

【思路点拨】 解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间．

【尝试解答】 (1)当a＝－2时，f(x)＝x－4x＋3＝(x－2)－1， 则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－1，

2

2

2

b

f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.

2a2

(2)函数f(x)＝x＋2ax＋3的对称轴为x＝－＝－a，

2

∴要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6. (3)当a＝－1时，f(|x|)＝x－2|x|＋3

2

??x＋2x＋3＝＝?2

?x－2x＋3＝?

2

x＋x－

2

＋2，x≤0，

2

＋2，x＞0，

其图象如图所示：

又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数． 规律方法1 1.研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性量

看图求解，事半功倍. 2. 求二次函数最值的类型及解法

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：

作草图，再“定

轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；

常画出图象结合二次函数

在该区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.

对点训练 (1)已知函数y＝ax＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )

2

(2)设f(x)＝x－2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)．试求M(a)及m(a)的表达式．

【解析】 (1)a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．D项正确．

【答案】 D

(2)f(x)＝x－2ax＝(x－a)－a，x∈[0,1]． 当a≤0时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝f(0)＝0； 12

当0＜a≤时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝－a；

212

当＜a≤1时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝－a； 2当a＞1时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝f(1)＝1－2a.

2

2

2

2

2

1

1－2a，a≤，??2

综上，M(a)＝?1

0， a＞，??20， a≤0，??2

m(a)＝?－a， 0＜a≤1，

??1－2a， a＞1.

考向二 [020] 二次函数的综合应用

2

设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值．都有f(x)＞0，求实

数a的取值范围．

【思路点拨】 法一 分a＞0，a＝0，a＜0三种情况求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min，再令f(x)min＞0求解．

2222

法二 分离参数a得a＞－2＋，然后求g(x)＝－2＋的最大值即可．

xxxx1?1?2

【尝试解答】 法一 当a＞0时，f(x)＝a?x－?＋2－，由f(x)＞0，x∈(1,4)得：

?a?

a1??≤1?a??f＝a－2＋2≥0

??a或?

?1?＝2－1＞0f????a?a?

1

a≤??4或?3

a≥??8

??a≥1

∴???a≥0

1

??4＜a＜1或?1

a＞??2

11＜＜4

1??≥4或?a?＝16a－8＋2≥0.?f

，

11

∴a≥1或＜a＜1或?，即a＞，

22

??f当a＜0时，?

?f?

＝a－2＋2≥0

＝16a－8＋2≥0

，解得a∈?；

当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意． 1

综上可得，实数a的取值范围是a＞.

2

法二 由f(x)＞0，即ax－2x＋2＞0，x∈(1,4)， 22

得a＞－2＋在(1,4)上恒成立．

2

xx22?11?21

令g(x)＝－2＋＝－2?－?＋，

xx?x2?2

1?1?∈?，1?，∴g(x)max＝g(2)＝，

x?4?21

1

所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞即可． 2规律方法2

1.本例中二次项系数不确定，因此使用方法一时需分三种情况讨论. 2.由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：

分离参数；

不分

离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥fx?a≥fx2

max

，a≤fx?a≤fxmin

.

对点训练 若二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求函数f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 【解】 (1)由f(0)＝1，得c＝1. 因此f(x)＝ax＋bx＋1.

又f(x＋1)－f(x)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.x∈R.

??2a＝2，因此?

?a＋b＝0，?

22

??a＝1，

∴?

?b＝－1.?

所以f(x)＝x－x＋1.

(2)由题意，x－x＋1＞2x＋m在[－1,1]上恒成立． 则m＜x－3x＋1在[－1,1]上恒成立， 令g(x)＝x－3x＋1，x∈[－1,1]， 易知g(x)在x∈[－1,1]上是减函数， ∴g(x)min＝g(1)＝－1，应有m＜－1. 因此实数m的取值范围是(－∞，－1)．

考向三 [021] 幂函数及其性质

2

2

22

2

(1)函数f(x)＝(m－m－1)xm－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，

则实数m的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5 (2)若a＜0，则下列不等式成立的是( )

?1?a?1?aaaA．2a＞??＞(0.2) B．(0.2)＞??＞2a

?2??2??1?a?1?aaaC.??＞(0.2)＞2a D．2a＞(0.2)＞?? ?2??2?

【思路点拨】 (1)m－m－1＝1→求m的值→验证单调性→对m的值取舍．

2

?1?a?1?aαaa(2)构造函数y＝x→比较??与(0.2)的大小→进而比较2a与??、(0.2)的大小．

?2??2?

【尝试解答】 (1)由题意知m－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，m－2m－3＝－3，f(x)＝x符合题意， 当m＝－1时，m－2m－3＝0，f(x)＝x不合题意． 综上知m＝2.

(2)∵a＜0，∴y＝x在(0，＋∞)上是减函数，

a2

0

2

－3

2

?1?aa∴0.2＞??＞2a，故选B.

?2?

【答案】 (1)A (2)B

规律方法3 1.熟知幂函数的定义和单调性是解答此类问题的关键． 2．幂的大小比较的常用方法

分类 底数相同，指数不同 指数相同，底数不同 底数、指数都不同 考查对象 方法 利用指数函数y＝a的单调性 利用幂函数y＝x的单调性 寻找中间变量0,1或bx1或ax2 αax1与ax2 αxα1与x2 xax1与bx2

思想方法之四 数形结合思想在二次函数中的妙用

二次函数是数形结合的完美载体，利用二次函数图象可以较直观形象地解决以下几方面问题：(1)二次函数的单调区间；(2)二次函数在给定区间上的最值；(3)借助二次函数求参数的范围；(4)与二次函数相关的图象交点个数问题．解决以上问题的关键是准确做出二次函数的图象，结合图象求解．

——— [1个示范例] ——— [1个对点练] ———

2

(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝x－2(a＋2)x＋a，g(x)＝－x＋2(a－

222

2)x－a＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )

A．16 C．a－2a－16

2

B．－16 D．a＋2a－16

2

【解析】 f(x)顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)顶点坐标(a－2，－4a＋12)，并且

f(x)与g(x)的顶点都在对方的图象上，图象如图，

由题意知，A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标， 所以A－B＝(－4a－4)－(－4a＋12)＝－16.

12

(2012·山东高考)设函数f(x)＝，g(x)＝ax＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象

x与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )

A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0

12

【解析】 在同一坐标系内画出f(x)＝及g(x)＝x＋bx的草图如图所示，

x

1

其中点A(x1，y1)关于原点的对称点C也在函数y＝的图象上，坐标为(－x1，－y1)，而

x点B的坐标(x2，y2)在图象上也明显的显示出来．由图象可知，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0.

【答案】 B

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