2016届山东省济宁市高考数学专题复习演练第7讲二次函数与幂函数(新人教A版)
更新时间:2024-01-04 06:51:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第四节 二次函数与幂函数
[考情展望] 1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系去分析和解决问题.
一、二次函数
1.二次函数的三种形式
一般式:f(x)=ax+bx+c(a≠0);
顶点式:f(x)=a(x-h)+k(a≠0),顶点坐标为(h,k); 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. 2.二次函数的性质
函数 2
2
y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 值域 R ?4ac-b,+∞? ?4a???在?-∞,-?减 2a??在?-,+∞?增 ?2a?2?-∞,4ac-b? ??4a??在?-,+∞?减 ?2a?在?-∞,-?增 2a??2??b???b?单调性 b?b?对称性
函数y=f(x)对称轴的判断方法
函数的图象关于x=-对称 2ab(1)对于函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数y=f(x)的图象关于x=x1+x2
2
对称.
(2)对于函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数
y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).
二、幂函数
1.定义:形如y=x(α∈R)的函数叫幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.幂函数的性质 函数特征性质 α
y=x R y=x2 R y=x3 R y=x [0,+∞) 12y=x-1 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇 在(0,+∞)定义域 值域 奇偶性 R 奇 [0,+∞) 偶 在(0,+∞)R 奇 [0,+∞) / 单调性 增 上增 在(-∞,0)上减 增 增 上减 在(-∞,0)上减 定点
(1,1)
1.当α≠0,1时,幂函数y=x在第一象限的图象特征(如图所示): (1)α>1,图象过点(0,0),(1,1),下凸递增,如y=x; 1
(2)0<α<1,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增,如y=x;
2
1-1
(3)α<0,图象过点(1,1),单调递减,且以两坐标轴为渐近线,如y=x,y=x-. 22.幂函数的图象一定不会经过第四象限.
2
α
1.已知点M?
2
?3?
,3?在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的表达式为( ) ?3?
B.f(x)=x 1
D.f(x)=x-
2
-2
A.f(x)=x 1
C.f(x)=x
2
【解析】 设f(x)=x,则有3=?
α
1?3?α
?,即3=3-2α, ?3?
1-2
∴-α=1,∴α=-2,∴f(x)=x,故选B.
2【答案】 B
2.图2-4-1中C1,C2,C3为三个幂函数y=x在第一象限内的图象,则解析式中指数
kk的值依次可以是( )
图2-4-1
1
A.-1,,3
21
C.,-1,3 2
1
B.-1,3, 21
D.,3,-1 2
【解析】 根据幂函数的图象知,选A. 【答案】 A
3.函数f(x)=(m-1)x+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上( ) A.先减后增 C.单调递减
2
2
B.先增后减 D.单调递增
【解析】 ∵f(x)=(m-1)x+2mx+3为偶函数, ∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x+3在(-5,-3)上是增函数. 【答案】 D
4.函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数,则实数a的取值范围是________.
【解析】 二次函数f(x)的对称轴是x=1-a,由题意知 1-a≥3,∴a≤-2. 【答案】 (-∞,-2]
1
5.(2011·陕西高考)函数y=x的图象是( )
3
22
【解析】 已知函数解析式和图象,可以用取点验证的方法判断. 【答案】 B
6.(2013·浙江高考)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( )
A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0
B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0
2
【解析】 因为f(0)=f(4)>f(1),所以函数图象应开口向上,即a>0,且其对称轴为x=2,即-=2,所以4a+b=0,故选A.
2a【答案】 A
考向一 [019] 二次函数的图象与性质
已知函数f(x)=x+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【思路点拨】 解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间.
【尝试解答】 (1)当a=-2时,f(x)=x-4x+3=(x-2)-1, 则函数在[-4,2)上为减函数,在(2,6]上为增函数, ∴f(x)min=f(2)=-1,
2
2
2
b
f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.
2a2
(2)函数f(x)=x+2ax+3的对称轴为x=-=-a,
2
∴要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6. (3)当a=-1时,f(|x|)=x-2|x|+3
2
??x+2x+3==?2
?x-2x+3=?
2
x+x-
2
+2,x≤0,
2
+2,x>0,
其图象如图所示:
又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数. 规律方法1 1.研究二次函数在闭区间上的最值问题,先“定性量
看图求解,事半功倍. 2. 求二次函数最值的类型及解法
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:
作草图,再“定
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;
常画出图象结合二次函数
在该区间上的单调性求解,最值一般在区间的端点或顶点处取得.
对点训练 (1)已知函数y=ax+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象是( )
2
(2)设f(x)=x-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a),最小值为m(a).试求M(a)及m(a)的表达式.
【解析】 (1)a>b>c,a+b+c=0,∴a>0,c<0,∴y=ax+bx+c的开口向上,且与y轴的交点(0,c)在负半轴上.D项正确.
【答案】 D
(2)f(x)=x-2ax=(x-a)-a,x∈[0,1]. 当a≤0时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0; 12
当0<a≤时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=-a;
212
当<a≤1时,M(a)=f(0)=0,m(a)=-a; 2当a>1时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.
2
2
2
2
2
1
1-2a,a≤,??2
综上,M(a)=?1
0, a>,??20, a≤0,??2
m(a)=?-a, 0<a≤1,
??1-2a, a>1.
考向二 [020] 二次函数的综合应用
2
设函数f(x)=ax-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值.都有f(x)>0,求实
数a的取值范围.
【思路点拨】 法一 分a>0,a=0,a<0三种情况求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min>0求解.
2222
法二 分离参数a得a>-2+,然后求g(x)=-2+的最大值即可.
xxxx1?1?2
【尝试解答】 法一 当a>0时,f(x)=a?x-?+2-,由f(x)>0,x∈(1,4)得:
?a?
a1??≤1?a??f=a-2+2≥0
??a或?
?1?=2-1>0f????a?a?
1
a≤??4或?3
a≥??8
??a≥1
∴???a≥0
1
??4<a<1或?1
a>??2
11<<4
1??≥4或?a?=16a-8+2≥0.?f
,
11
∴a≥1或<a<1或?,即a>,
22
??f当a<0时,?
?f?
=a-2+2≥0
=16a-8+2≥0
,解得a∈?;
当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意. 1
综上可得,实数a的取值范围是a>.
2
法二 由f(x)>0,即ax-2x+2>0,x∈(1,4), 22
得a>-2+在(1,4)上恒成立.
2
xx22?11?21
令g(x)=-2+=-2?-?+,
xx?x2?2
1?1?∈?,1?,∴g(x)max=g(2)=,
x?4?21
1
所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立,只要a>即可. 2规律方法2
1.本例中二次项系数不确定,因此使用方法一时需分三种情况讨论. 2.由不等式恒成立求参数取值范围,一般有两个解题思路:
分离参数;
不分
离参数,二者都将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥fx?a≥fx2
max
,a≤fx?a≤fxmin
.
对点训练 若二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求函数f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围. 【解】 (1)由f(0)=1,得c=1. 因此f(x)=ax+bx+1.
又f(x+1)-f(x)=2x.∴2ax+a+b=2x.x∈R.
??2a=2,因此?
?a+b=0,?
22
??a=1,
∴?
?b=-1.?
所以f(x)=x-x+1.
(2)由题意,x-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立. 则m<x-3x+1在[-1,1]上恒成立, 令g(x)=x-3x+1,x∈[-1,1], 易知g(x)在x∈[-1,1]上是减函数, ∴g(x)min=g(1)=-1,应有m<-1. 因此实数m的取值范围是(-∞,-1).
考向三 [021] 幂函数及其性质
2
2
22
2
(1)函数f(x)=(m-m-1)xm-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,
则实数m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5 (2)若a<0,则下列不等式成立的是( )
?1?a?1?aaaA.2a>??>(0.2) B.(0.2)>??>2a
?2??2??1?a?1?aaaC.??>(0.2)>2a D.2a>(0.2)>?? ?2??2?
【思路点拨】 (1)m-m-1=1→求m的值→验证单调性→对m的值取舍.
2
?1?a?1?aαaa(2)构造函数y=x→比较??与(0.2)的大小→进而比较2a与??、(0.2)的大小.
?2??2?
【尝试解答】 (1)由题意知m-m-1=1,解得m=2或m=-1, 当m=2时,m-2m-3=-3,f(x)=x符合题意, 当m=-1时,m-2m-3=0,f(x)=x不合题意. 综上知m=2.
(2)∵a<0,∴y=x在(0,+∞)上是减函数,
a2
0
2
-3
2
?1?aa∴0.2>??>2a,故选B.
?2?
【答案】 (1)A (2)B
规律方法3 1.熟知幂函数的定义和单调性是解答此类问题的关键. 2.幂的大小比较的常用方法
分类 底数相同,指数不同 指数相同,底数不同 底数、指数都不同 考查对象 方法 利用指数函数y=a的单调性 利用幂函数y=x的单调性 寻找中间变量0,1或bx1或ax2 αax1与ax2 αxα1与x2 xax1与bx2
思想方法之四 数形结合思想在二次函数中的妙用
二次函数是数形结合的完美载体,利用二次函数图象可以较直观形象地解决以下几方面问题:(1)二次函数的单调区间;(2)二次函数在给定区间上的最值;(3)借助二次函数求参数的范围;(4)与二次函数相关的图象交点个数问题.解决以上问题的关键是准确做出二次函数的图象,结合图象求解.
——— [1个示范例] ——— [1个对点练] ———
2
(2013·辽宁高考)已知函数f(x)=x-2(a+2)x+a,g(x)=-x+2(a-
222
2)x-a+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )
A.16 C.a-2a-16
2
B.-16 D.a+2a-16
2
【解析】 f(x)顶点坐标为(a+2,-4a-4),g(x)顶点坐标(a-2,-4a+12),并且
f(x)与g(x)的顶点都在对方的图象上,图象如图,
由题意知,A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标, 所以A-B=(-4a-4)-(-4a+12)=-16.
12
(2012·山东高考)设函数f(x)=,g(x)=ax+bx(a,b∈R,a≠0).若y=f(x)的图象
x与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( )
A.当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0
12
【解析】 在同一坐标系内画出f(x)=及g(x)=x+bx的草图如图所示,
x
1
其中点A(x1,y1)关于原点的对称点C也在函数y=的图象上,坐标为(-x1,-y1),而
x点B的坐标(x2,y2)在图象上也明显的显示出来.由图象可知,x1+x2>0,y1+y2<0.
【答案】 B
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