数列与函数交汇的综合题4 含答案 南京分秒家教中心

数列与函数交汇的综合题

例22 已知函数f(x)?(x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)4444（x?0）。

（Ⅰ）若f(x)?x且x?R，则称x为f(x)的实不动点，求f(x)的实不动点； （II）在数列{an}中，a1?2，an?1?f(an)（n?N?），求数列{an}的通项公式。 解：（Ⅰ）由f(x)?x?6x?1342x?6x?14x?4x42423及f(x)?x得

234x?4x所以x?1或?1，即f(x)的实不动点为x?1或x??1；

?x?3x?2x?1?0?x?1或x??21（舍去），

（II）由条件得an?1?lnan?1?1an?1?1?4lnan?1an?1(an?1)?(an?1)(an?1)?(an?1)4444?an?1?1an?1?an?1?????，从而有4?1(an?1)?an?1?(an?1)44，

由此及lnan?1an?1a1?1?an?1??ln3?0知：数列?ln?是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有

a?1a1?1n??n?1ln?4ln3?an?1an?1?34n?1?an?3344n?1?1?1n?1（n?N?）。

例23 二次函数f(x)符合f(x)?0,且f(x)?2x2恒成立，f(1)?1 （1）求f(0)并求f(x)的解析式； （2）若an?f(1)1?f(2)2???f(n)n2,bn?1an,求数列?bn?前n项和Sn.并求limSn.

n?? （3）若cn?1?f(cn),且c1?2,记Tn?c1?c2?...?cn,求符合Tn?2008最小自然数n． .解：（1）f(0)?0　又：f(0)?2?0?0　　　?f(0)?0 f(x)?ax?bx　　对称轴x?0即b?0　?f(x)?ax 又

222f(1)?1　　?a?1　　?f(x)?x （2）an?121?222???1n?1n2n?1?2???n?n(n?1)2 bn? )11 ) ?2(?n(n?1)n?n12.2Sn?2(?1 ) ;limSn?n??21??l?im?2(1??n??n?1??2n?1Cn?1?(Cn) （3）C1?2.　　?Cn?22n?1

n?1 ?Tn?2?2?2?2?2例24 已知函数f?x??14?2x1248?2(1?2?4???2)?2(2?1)n?2008?n?4,?nmin?4

?x?R?，点P1?x1,y1?，P2?x2,y2?是函数f?x?图像上的两个点，且

12线段P1P2的中点P的横坐标为

．

⑴求证：点P的纵坐标是定值；

⑵若数列?an?的通项公式为an?f?解：⑴由题可知：x1?x2?2?y1?y2?f?x1??f?x2???44x1?x2x1?n??m???m?N,n?1,2,?,m?，求数列?an?的前m项的和

Sm；

12??1，所以， 14x2x2x214?x1?24x1x1?2?4?4?4x1?4x2?4x2?412x1?24???2?4x2?

?4?4x2?4?24?x1??424??4??

点P的纵坐标yP?y1?y22?14是定值，问题得证．

⑵由⑴可知：对任意自然数m,n，f?

由于Sm?f??n??m?n?1??f???恒成立． ?m??m?2?1??2??m?2??m?1??m???f?????f???f???f??，故可考虑利用倒写求和的方?m??m??m??m??m?法．即由于：

?1??2??m?2??m?1??m?Sm?f???f?????f???f???f???m??m??m??m??m??m??m?1??m?2??2??1??f???f???f?????f???f???m??m??m??m??m?

??1???m?1??m?1????2??m?2???1???m?2Sm??f???f?????f???f???????f???f????2f???m????m??m???m???m???m???m?所以，

11??m?1??2f(1)??3m?1?26所以，Sm?112?3m?1?

21?x例25 设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =

fn(0)?1fn(0)?2?n（n∈N）.

*

(1) 求数列｛an｝的通项公式；

(2) 若T2n?a1?2a2?3a3???2na2n，Qn=Qn的大小，并说明理由. 解：（1）∵f1(0)=2，a1=

24n4n22?4n?1（n∈N），试比较9T2n与

*

2?12?2=

14，fn+1(0)= f1［fn(0)］=

21?fn(0),

∴an+1=

fn?1(0)?1fn?1(0)?2=

1?fn(0)21?fn(0)?1=

?21?fn(0)4?2fn(0)= -

1fn(0)?12fn(0)?211= -

12an.

4242（2）∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n?1+2na 2 n， 111111∴?T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n－1+(?)2na2 n

222222∴数列｛an｝是首项为

1,公比为-

1的等比数列，∴an=(?)?.

n1

= a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n.两式相减，得3T2 n= a1+a2+a 3+…+a2

2n

+na2 n.

1?12n?1?(?)??3112n11112nn12n14?2?∴T2n =+n×(-)?=-(-)+(-)?.

1242662421?21112nn12n?113n?13n?1T2n =

9-

9(-

2)+

6(-

2)=

9(1-

22n). ∴9T2n=1-

22 n

2n.又Qn=1-2

3n?1(2n?1)2，

当n=1时，2= 4,(2n+1)=9,∴9T2 n＜Q n； 当n=2时，2=16,(2n+1)=25,∴9T2 n＜Qn；

013n22当n≥3时，22n?[(1?1)n]2?(Cn?Cn?Cn???Cn)?(2n?1)， ∴9T2 n＞Q n.

2 n2

0(x?0)?(x)?例26 已知函数f?n[xn?(?1)]?f(n?1)?满足a ?f()n(n?N*)n （I）求数列{an}的通项公式；

，数列{an}(n?1?x?n，n?N*) （II）设x轴、直线x与函数y?f(x?a)的图象所围成的封闭图形的面积为，求S； S(a)(a?0)()n?S(n?1)(nN?*) （III）在集合MN，且1中，是否存在正整数N，使?{|N?2k，k?Z000?k?1500}得不等式a对一切n?N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多?1005?S(n)?S(n?1)n少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。

im(b?b???b) （IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得l12n存在，并求出这个

n??极限值。

解：（I）? ? n?N*f(n)[(?nn?n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ? fn()?fn(?1)?n

?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2

f(3)?f(2)?3…… fn 将这n个式子相加，得 ()?fn(?1)?nn(n?1)(n)?f(0)?1?2?3???n? f

2?f(0)?0 n(n?1) ?f(n)?2n(n?1)a?(n?N*) ? n2 （II）S为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长(n)?S(n?1)(n?1)，f(n)，高为1 分别为fa?a1n(n?1)n(n?1)nf(n?1)?f(n)n?1n?]?S(n)?S(n?1)??1? ? ?[

222222

2 （III）设满足条件的正整数N存在，则

n(n?1)222 又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998}

?均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的N?2010，2012，……，2998等差数列。

设共有m个满足条件的正整数N，则2，解得m 010?2(m?1)?2998?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，N ?2010min （IV）设bn?

?1005?n2?n?1005?n?2010

1an211，即b??2(?) nn(n?1)nn?112)?(12?13)?(13?14)???(1n?1)]?2(1?

则b1?b2???bn?2[(1?1n?1n?11显然，其极限存在，并且l im(b?b???b)?lim[2?]?212nn??n??n?1例27 函数

的定义域为R，且；

)

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记

上的最小值为，试求f(x)的解析式；

试比较

与

解：（Ⅰ）∵f(x)定义域为R，

的大小并证明你的结论．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在[0，1]上为增函数，

（Ⅲ）

例28 已知函数f(x)?kx?m,当x?[a1,b1]时，f(x)的值域为[a2,b2]，当x?[a2,b2]

时，f(x)的值域为[a3,b3]，依次类推，一般地，当x?[an?1,bn?1]时，f(x)的值域为

[an,bn]，其中k、m为常数，且a1?0,b1?1. （1）若k=1，求数列{an},{bn}的通项公式；

（2）项m=2，问是否存在常数k?0，使得数列{bn}满足limbn?4?若存在，求k的值；若

n??不存在，请说明理由；

（3）若k?0，设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求[来源:学&科&网] (T1?T2???T2010)?(S1?S2???S2010)。

解：（1）因为f(x)?x?m,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数所以其值域为[an?1?m,bn?1?m]

*,

于是an?an?1?m,bn?bn?1?m(n?N,n?2) 又a1?0,b1?1,所以an?(n?1)m,bn?1?(n?1)m.

（2）因为f(x)?x?mf(x)?kx?m(k?0),当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数所以f(x)的值域为[kan?1?m,kbn?1?m],因m?2,则bn?kbn?1?2(n?2)……8分 法一：假设存在常数k?0，使得数列{bn}满足limbn?4,则limbn?klimbn?1?2，得

n??n??n??2法二：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足limbn?4.

n??4?4k?2,则k?1符合。

当k=1不符合。……9分

当k?1时,bn?kbn?1?2(n?2)?bn?源:Z+xx+k.Com]

则bn?(1?2k?1

?k(bn?1?2k?1

)(n?2)，[来2k?1)kn?1?2k?12, ?4,得k?当0?k?1时,limbn?n??121?k符合.

（3）因为k?0,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调减函数,所以f(x)的值域为

[kbn?1?m,kan?1?m]

于是an?kbn?1?m,bn?kan?1?m(n?N,n?2)则bn?an??k(bn?1?an?1) 又

b1?a1?1

*?i,(k??1)?则有Ti?Si??1?(?k)i

,(k?0,k??1)?1?k?[来xxk.Com]进而有

(T1?T2???T2010)?(S1?S2???S201011?2021055,(k??1)?)??2010?2011k?k2011

,(k?0,k??1)2?(1?k)?例29 已知函数f(x)?x?，f?(x)为函数f(x)的导函数．

24?（Ⅰ）若数列{an}满足：a1?1，an?1?f?(an)?f?(n)（n?N），求数列{an}的通项

2x?an；

（Ⅱ）若数列{bn}满足：b1?b，bn?1?2f(bn)（n?N）．

1ⅰ.当b?时，数列{bn}是否为等差数列？若是，请求出数列{bn}的通项bn；若不是，

2请说明理由；

ⅱ.当

解：（Ⅰ）?f?(x)?2x??12n?b?1时， 求证：?i?11bi?22b?11．

1an?1222?2(n?1)?1?2(an?2n?1)．

n?1， ?an?1?(2an?)?(2n?1)?2an?2n?1，即

?a1?1， ?数列{an?2n?1}是首项为4，公比为2的等比数列．?an?2n?1?4?2an?2?2n?1．

2n?1，即

（Ⅱ）（ⅰ）?bn?1?2f(bn)?2bn?bn?12，?bn?1?bn?2(bn?12)．?当b1?212时，

b2?12．

假设bk?12，则bk?1?bk．由数学归纳法，得出数列{bn}为常数数列，是等差数列，其通项为

bn?12．

2（ⅱ）?bn?1?2bn?bn??当

12， ?bn?1?bn?2(bn?12)．

1212．

212?b1?1时，b2?b1?1212．假设bk?12，则 bk?1?bk?由数学归纳法，得出数列bn?(n?1,2,3,?)． 又?bn?1??2bn(bn?12)，

?1bn?1?1bn?12?11bn?1212?11bn12，

n即

bn??bn?1?n??bi?11in?'?i?1(1bi?12?1bi?1?12)2bnbnSN?S2n?bn?1?12bn2n2bnSN?S．

例30 已知f0(x)?x,fk(x)?0212fk?1(x)fk?1(1)k,其中k?n(n,k?N?),

2n2设F(x)?Cnf0(x)?Cnf1(x)?...?Cnfk(x)?...?Cnfn(x),x???1,1?.

(I) 写出fk(1);(II) 证明:对任意的x1,x2???1,1?,恒有F(x1)?F(x2)?2【解析】(I)由已知推得fk(x)?(n?k?1)x(II) 证法1:当?1?x?1时F(x)?x2nn?kn?1(n?2)?n?1.

,从而有fk(1)?n?k?1

k2(n?k)?nCnx12(n?1)?(n?1)Cnx22(n?2)...?(n?k?1)Cnx?...?2Cnx?1

n?12当x>0时, F?(x)?0,所以F(x)在[0,1]上为增函数 因函数F(x)为偶函数所以F(x)在[-1,0]上为减函数

所以对任意的x1,x2???1,1?F(x1)?F(x2)?F(1)?F(0)

F(1)?F(0)?Cn?nCn?(n?1)Cn...?(n?k?1)Cn?...?2Cn?nCn?1n012kn?1?(n?1)Cn?kn?2n...?(n?k?1)Cn?kn?kn?...?2C?C1n0n

?(n?k?1)Cn?nCkn?1kn?(n?k)Cn12?Cnn?k

12n?10?C(k?1,2,3?n?1)k?1nn?1F(1)?F(0)?n(Cn?1?Cn?1...?Cn?1)?(Cn?Cn...?Cn)?Cn?n(2n?1

?1)?2?1?2(n?2)?n?1因此结论成立.

证法2: 当?1?x?1时, F(x)?x2n?nCnx12(n?1)?(n?1)Cnx22(n?2)...?(n?k?1)Cnxk2(n?k)?...?2Cnx?1

n?12当x>0时, F?(x)?0,所以F(x)在[0,1]上为增函数 因函数F(x)为偶函数所以F(x)在[-1,0]上为减函数

所以对任意的x1,x2???1,1?F(x1)?F(x2)?F(1)?F(0) F(1)?F(0)?Cn?nCn?(n?1)Cn...?(n?k?1)Cn?...?2Cn012kn?1

0又因F(1)?F(0)?2Cn?3Cn?...?kCn1212k?1?...?nCnk?1n?1?Cn

n?10所以2[F(1)?F(0)]?(n?2)[Cn?Cn?...?Cn?...?Cn]?2Cn

n?10F(1)?F(0)??n?22nn?22[Cn?Cn?...?Cnn?112k?1?...?Cn]?Cn

(2?2)?1?2(n?2)?n?1因此结论成立.

证法3: 当?1?x?1时, F(x)?x2n?nCnx12(n?1)?(n?1)Cnx22(n?2)...?(n?k?1)Cnxk2(n?k)?...?2Cnx?1

n?12当x>0时, F?(x)?0,所以F(x)在[0,1]上为增函数 因函数F(x)为偶函数所以F(x)在[-1,0]上为减函数

所以对任意的x1,x2???1,1?F(x1)?F(x2)?F(1)?F(0) F(1)?F(0)?nC1?n(?n n?Cn1?1)C2n...?2?(n?kk?n?1)kCn?...n??12Cx[(1?x)?xn]?x[Cnnx?Cnxn?...Cnx?..?Cnx?n1]由

1n2n?1kn?k?1n?12?Cnx?Cnx?...Cnx?..?Cnx?x对上式两边求导得 (1?x)?x?nx(1?x)2n2nnnn?1012kn?1?nx?nCnx2n?1n1n?1?(n?1)Cnxn?12n?2?...(n?k?1)Cnxkn?k?..?2Cnx?1n?1F(x)?(1?x)?nx(1?x)?F(1)?F(0)?2?n2因此结论成立.

n?1?nx2n

?n?1?(n?2)2?n?1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m0t2.html