自动控制原理学生实验：非线性系统的相平面分析

非线性系统的相平面分析

实验一 典型非线性环节

一．实验要求

1. 了解和掌握典型非线性环节的原理。

2. 用相平面法观察和分析典型非线性环节的输出特性。

二．实验原理及说明

实验以运算放大器为基本元件，在输入端和反馈网络中设置相应元件（稳压管、二极管、电阻和电容）组成各种典型非线性的模拟电路，模拟电路见图3-4-5 ~ 图3-4-8所示。 1．继电特性

理想继电特性的特点是：当输入信号大于0时，输出U0=+M，输入信号小于0，输出U0=-M。

理想继电特性如图3-4-1所示，模拟电路见图3-4-5，图3-4-1中M值等于双向稳压管的稳压值。

图3-4-1 理想继电特性 图3-4-2 理想饱和特性

注：由于流过双向稳压管的电流太小（4mA），因此实际M值只有3.7V。 实验步骤：

（1）将信号发生器（B1）的幅度控制电位器中心Y测孔，作为系统的-5V~+5V输入信号（Ui）： B1单元中的电位器左边K3开关拨上（-5V），右边K4开关也拨上（+5V）。 （2）模拟电路产生的继电特性：

继电特性模拟电路见图3-4-5。

图3-4-5 继电特性模拟电路

① 构造模拟电路：按图3-4-5安置短路套及测孔联线，表如下。

（a）安置短路套 （b）测孔联线 模块号 跨接座号 1 2 A3 A6 S1，S12 S2，S6 1 信号输入 2 运放级联 3

4 示波器联接 B1（Y） →A3（H1） A3（OUT）→A6（H1） A6（OUT）→CH1（送Y轴显示） A3（H1）→CH2（送X轴显示）

② 观察模拟电路产生的继电特性：观察时要用虚拟示波器中的X-Y选项

慢慢调节输入电压（即调节信号发生器B1单元的电位器，调节范围-5V~+5V），观测并记录示波器上的U0~Ui图形，如下图：

由图得M=3.77V

（3）函数发生器产生的继电特性

① 函数发生器的波形选择为‘继电’，调节“设定电位器1”，使数码管右显示继电限幅值为3.7V。 ② 测孔联线：

信号发生器（B1） 幅度控制电位器（Y）→ 函数发生器(B5) B5（非线性输入）→ B5（非线性输出）→ 示波器输入端(B3) CH2（送X轴显示） CH1（送Y轴显示） ③ 观察函数发生器产生的继电特性：观察时要用虚拟示波器中的X-Y选项 慢慢调节输入电压（即调节信号发生器B1单元的电位器，调节范围-5V~+5V），观测并记录示波器上的U0~Ui图形。实验结果如下

实验二 二阶非线性控制系统

一．实验要求

1． 了解非线性控制系统的基本概念。 2． 掌握用相平面图分析非线性控制系统。

3． 观察和分析三种二阶非线性控制系统的相平面图。

二．实验原理及说明

1. 非线性控制系统的基本概念

在实际控制系统中，几乎都不可避免的带有某种程度的非线性，在系统中只要有一

个非线性环节（详见第3.4.1节〈典型非线性环节〉），就称为非线性控制系统。

在实际控制系统中，除了存在着不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能或简化系统的结构，还要人为的在系统中插入非线性部件，构成非线性系统。例如采用继电器控制执行电机，使电机始终工作于最大电压下，充分发挥其调节能力，可以获得时间最优控制系统；利用‘变增益’控制器，可以大大改善控制系统的性能。

线性控制系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与外作用和初始条件无关；反之，非线性控制系统的稳定性与输入的初始条件有着密切的关系。

对于非线性控制系统，建立数学模型是很困难的，并且多数非线性微分方程无法直接求得解析解，因此通常都用相平面法或函数描述法进行分析。

2. 用相平面图分析非线性控制系统

相平面法也是一种时域分析法，它能分析系统的稳定性和自振荡，也能给出系统的运动轨迹。它是求解一、二阶常微分方程的一种几何表示法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象的转化为相平面上的一个点的移动，通过研究这个点的移动的轨迹，就能获得系统运动规律的全部信息。即用时间t作为参变量，用

和x(t)的关系曲线来表示。

利用相平面法分析非线性控制系统，首先必须在相平面上选择合适的坐标，在理论分析中均采用输出量c及其导数，实际上系统的其它变量也同样可用做相平面坐标；当系统是阶跃输入或是斜坡输入时，选取非线性环节的输入量，即系统的误差ｅ，及其它的导数作为相平面坐标，会更方便些。

本实验把系统的误差ｅ送入虚拟示波器的CH2（水平轴），它的导数送入示波器的CH1（垂直轴），在示波器上显示该系统的相平面图。

相轨迹表征着系统在某个初始条件下的运动过程，当改变阶跃信号的幅值，即改变系统的初始条件时，便获得一系列相轨迹。根据相轨迹的形状和位置就能分析系统的瞬态响应和稳态误差。一簇相轨迹所构成的图叫做相平面图，相平面图表征系统在各种初始条件下的运动过程。假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，二阶非线性控制系统的相轨迹是一簇趋向于原点的螺旋线。

描述函数法分析非线性控制系统可详见第3.4.3节〈三阶非线性系统〉。

3． 典型二阶非线性控制系统研究

（1）继电型非线性控制系统

继电型非线性控制系统原理方框图如图3-4-9所示，图3-4-16是该系统的模拟电路。

图3-4-9 继电型非线性控制系统原理方框图

图3-4-9 所示非线性控制系统用下列微分方程表示：

（3-4-3）

式中T为时间常数（T=0.5），K为线性部分开环增益（K=1），M为稳压管稳压值。采用e和e为相平面座标，以及考虑

e?r?c (3-4-4)

r?R?1(t),(3-4-5)

则式（3-4-3）变为

(3-4-6)

代入T=0.5、K=1、以及所选用稳压值M，应用等倾线法作出当初始条件为

e(0)=r(0)-c(0)=r(0)=R

时的相轨迹，改变r(0)值就可得到一簇相轨迹。继电型非线性控制系统相轨迹见图3-4-10所示。

图3-4-10 继电型非线性系统相轨迹

其中的纵坐标轴将相平面分成两个区域，（Ⅰ和Ⅱ）e轴是两组相轨迹的分界线，系统在+5V→0阶跃信号输入下，在区域Ⅰ内，例如在初始点A开始沿相轨迹运动到分界线上的点B，从B点开始在区域Ⅱ内，沿区域Ⅱ内的本轨迹运动到点C再进入区域Ⅰ，经过几次往返运动，若是理想继电特性，则系统逐渐收敛于原点。 （2）带速度负反馈的继电型非线性控制系统

带速度负反馈的继电型非线性控制系统原理方框图如图3-4-11所示，图3-4-18是该系统的模拟电路。

图3-4-11 带速度负反馈的继电型非线性控制系统原理方框图

带速度负反馈的继电型非线性控制系统相轨迹见图3-4-12，图中分界线由方程式（3-4-7）确定。

γ?arctgn1kS

（3-4-7）

式中ks为反馈系数（图3-4-12中ks=0.1）。

由于局部反馈的加入，使得原开关分界线 轴逆时钟转动了γ度，这样便使转换时

间提前。

该图是系统在+5V→0阶跃信号输入下得到的。显然，继电型非线性系统采用速度反馈可以减小超调量MP，缩短调节时间tS，减小振荡次数。

图3-4-12 带速度负反馈的继电型非线性控制系统相轨迹

三．实验步骤及内容

1.继电型非线性控制系统

继电型非线性控制系统模拟电路见图3-4-16所示，

图3-4-16 继电型非线性控制系统模拟电路

实验步骤：

（1）用信号发生器（B1）的‘阶跃信号输出’ 和‘幅度控制电位器’构造输入信号（Ui）： B1单元中电位器的左边K3开关拨下（GND），右边K4开关拨下（0/+5V阶跃），按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮，L9灯亮，调整‘幅度控制电位器’使之阶跃信号输出（B1-2的Y测孔）为2.5V左右。

（2）将函数发生器（B5）单元的非线性模块中的继电特性作为系统特性控制。

调节非线性模块：

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