半导体物理讲义-4

第二部分 半导体中的电子和空穴

一、热平衡载流子的统计分布

为设计、分析半导体器件，有必要了解半导体单位体积内的载流子浓度(即载流子密度)，由前面讲述可知，本征半导体中电子和空穴的浓度大致相等。掺加施主杂质后，电子为多数载流子的n型半导体，其空穴浓度会怎么样? P型半导体的电子浓度、空穴浓度又如何? 这里，我们以前面获取的知识为基础，以定量方式求出半导体的载流子浓度。

前面已讲过，价带、导带是电子的能级集合体。在各级能带中，电子按照某种分布概率配置在各能级上。那么，单位晶体中电子所能利用的能级数有几个，它们在能带中怎样分布呢? 这就需要借助统计力学的一些结论来说明，以帮助我们进一步来理解半导体。

1、

电子的分布函数

固体中的电子具有下述特征：

1)根据泡利不相容原理．若占有同一个能级的电子数超过2个则不能有相同的能量值。 2)不能相互区别。

受此制约，能量为E的电子态(能级)被1个电子占有的概率可由下式的费米-狄拉克分布函数(或者简称费米函数)结出：

这里，k为玻尔兹曼常数(k=1.38x10-23 J／K＝8.62x10-5 eV／K)，T是绝对温度[K]，EF

费米能级(费米能)。

可以看出，当能量E与费米能级EF相等时，分布函数为

即电子占有率为l／2的能级称为费米能级。

左图表示了T=0K和任意温度T1、T2(T2 > T1)时费米

分布函数f(E)的情况。我们注意到f(E)在E=EF时是

对称的。T=0K时，若E < EF , f(E)=1 ; 若E > EF , f(E)=0 。这意味着比EF小的能级上全部被电子占据，比EF大的能级上全部空着(没有电子)。

图 费米分布函数 当温度上升，即T>0K时，电于占据比EF高的能级

的概率很小，比EF低的能级上电子不存在(能级空

着)的概率为1- f(E)。这意味着EF附近的电子获得热能后，占据了比EF更高的能级，而在原处留下了空位。

当能量E比EF大3KT或小3KT时，费米分布函数中的指数项分别大于20或小于0.05。此时，费米分布函数可近似简化为波耳兹曼统计分布函数：

?E?EF? E?EF?3kTf(E)?exp???kT??

?E?E? 1?f(E)?exp??F?

?kT?E?EF??3kT因而上式是讨论半导体问题时常用的两个公式。 进一步来理解电子、空穴的波耳兹曼分布函数：

在半导体中，最常遇到的情况是费米能级EF位于禁带内．而且与导带底或价带顶的距离远大于kT。所以，对导带中的所有量子态来说，被电子占据的几率一般都满足f(E)<< 1，故半导体导带中的电子分布可以用电子的玻耳兹曼分布函数描写。由于随着能量E的增大, f(E)迅速减小，所以导带中绝大多数电子分布在导带底附近。

同理，对半导体价带中的所有量子态来说，被空穴占据的几率，一般都满足1- f(E)<< 1。故价带中的空穴分布服从空穴的玻耳兹曼分布函数。由于随着能量E的增大。1- f(E)迅速增大，所以价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近。

2、状态密度（态密度）

在半导休的导带和价带中，有很多能级存在。但相邻能级间隔很小，约为10eV数量级，可以近似认为能级是连续的。因而可将能带分为一个一个能量很小的间隔来处理。假定在能带中能量E到E+dE之间无限小的能量间隔dE内有dn个量子态，则状态密度g(E)为 g(E)?dndE-22

山就是说，状态密度g(E)就是在能带中能量E附近每单位能量间隔内的量子态数。只要能求出g(E)，则允许的量子态按能量分布的情况就知道了。

可以通过下述步骤求解状态密度：首先算出单位k空间中的量子态数，即k空间中的状态密度；然后算出k空间中与能量E到E+dE间所对应的k空间体积。并和k空间中的状态密度相乘。从求得在能量间隔dE范围内的量子态数dn；最后，根据上式求得g(E) 。

这个问题可以运用量子力学中叙述的电子波动函数来更简化处理：

晶体中为了能够存在电子波动函数(即某一能量的电子存在于晶体中)，波动函数必须满足一定大小的晶体所确定的边界条件，由此才能确定电子的波动矢量K及能带中运动的电子动量以及能量值E(k)。这里，可采用简单的方法求解构成能带的状态数：

在原子或晶体中运动的电子，其位置、动量不可能完全确定，要运用力学量的平均值来描述。电子位置和动量大小的不确定性可以由下式的海森伯(Haisenberg)不确定性原理表示：

ΔX·ΔPx≥h/2π

这里，h为普朗克常数(6.63x10-34 J．s)

若设晶体的边长为L，ΔX = L，ΔPx=Δ(hkx) ，得Δkx=2π/L 。同理，由于Δky=Δkz= 2π/L，所以k空间内(以kx ,ky ,kz为坐标轴的空间)的微小体积中存在一个量子状态(k) :

换句话说，一个量子状态k占据空间的体积为(2π)/V 。波数k =∣k∣和k+dk之间存在的状态数为

2

这里，4πkdk是指半径分别为k和k+dk的两个同心球之间的体积，系数2对应电子的自旋。 在导带底和价带顶附近，下式成立：

则有：dE=(h/2π)2 k dk/m*

于是，能量E和dE之间的状态数N(E)dE为：

若取V=1(单位体积)，相当于能带内单位能量的量子状态数为：

将N(E)称为能带的态密度。

导带的态密度如用导带底部的能量Ec表示，则有：

同样，价带的态密度如用价带顶的能量Ev 表示，则有：

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3、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度

对于单位体积的晶体，存在于导带能量E和(E+dE)之间有gc(E)dE个量子态，而电子占据能量为E的量子态的几率是f(E),则在E到(E+dE)之间有f(E) gc(E)dE个被电子占据的量子态，因为每个被占据的量子态上有一个电子，所以在E到(E+dE)之间有f(E) gc(E)dE个电子。因此，导带内的总电子数可通过对dn=f(E) gc(E)dE 从Ec到∞间进行积分得到(严格讲，是至导带顶的积分，用到∞的积分代替并无实质性差别，因为分布函数相对能量E呈指

数性减少)。

n0中的脚标0表示热平衡状态。

经数学处理后得到导带中的电子浓度为：

这里Nc 称为导带的有效态密度。

注意：对具体的半导体材料，电子有效质量的确定就显得十分重要。例如，硅中共有

6个等价的导带，有效质量需取这些导带的有效质量平均值，室温（300K）时Nc为2.8*10cm 。

同理，价带的空穴浓度可表示为：

经数学处理后得到价带中的空穴浓度为：

这里Nv 称为价带的有效态密度。（室温（300K）时硅的Nv为1.15*1019cm-3 。）

注意：从n0 , p0 表达式可以看出，导带中电子浓度n0和价带中空穴浓度p0随着温度T和费米能级EF的不同而变化，其中温度的影响，一方面来源于Nc及Nv ,另一方面，也是更主要的来源，是由于玻耳兹曼分布函数中的指数随温度迅速变化。另外，费米能级也与温度及半导体中所含杂质情况密切相关。因此，在一定温度下，由于半导体中所含杂质的类型和数量的不同，电子浓度n0及空穴浓度p0也将随之而变化。只要确定了费米能级EF ，在一定温度T时，半导体导带中电子浓度、价带中空穴浓度就可以计算出来。

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4、载流子浓度乘积n0p0

可见，电子和空穴的浓度乘积和费米能级无关。对一定的半导体材料，乘积n0p0只决定于温度T，与所含杂质无关。而在一定温度下，对不同的半导体材料，因禁带宽度Eg不同，

乘积n0p0也将不同。这个关系式不论是本征半导体还是杂质半导体，只要是热平衡状态下都普通适用。

尤其是对于本征半导体，因为n0 = p0 =ni，所以电子浓度和空穴浓度的乘积常用下式表示：

由该关系式得出这样的重要结论：对一定的半导体材料，在一定的温度下，乘积n0p0是一定

的。半导体的电子浓度、空穴浓度不能同时分别决定，一

旦一方的浓度确定，另一方的浓度便由上式确定。

换言之，当半导体处于热平衡状态时，裁流子浓度的乘积保持恒定，如果电子浓度增加．空穴浓度就要减少；反之亦然。

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