顺义区2016届高三尖子生素质展示数学文科试卷
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顺义区2016届高三尖子生综合素质展示
数 学 试 卷 (文科) 2015.12
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项. 1.已知集合A {x|2x 1 0},B {x|0 x 1},那么A B ( ) (A){x|0 x 1
} (B){x|
1
2
2
x 1} (C){x|0 x 1} (D){x|x 1
2
}
2.圆心为(1,2),且与y轴相切的圆的方程是( ) (A)(x 1)2
(y 2)2
4 (B)(x 1)2 (y 2)2
4 (C)(x 1)2
(y 2)2
1 (D)(x 1)2
(y 2)2
1
3.数列{a*
n}中,a1 1,an an 1 ( 1)n (n N).则数列{an}的前6项和S6 ((A) 3 (B)3
(C) 4
(D)4
.已知双曲线x2
y2
4b
2 1(b 0)的一个焦点是(2,0),则其渐近线的方程为( )
(A
y 0 (B)3x y 0 (C
)x 0 (D)x 3y 0
x 3,5.已知实数x,y满足 y 4,则z x2 y2
的取值范围是( )
4x 3y 12 0,(A)[3,5] (B)[9,25] (C)[
12,5] (D)[
144
525
,25] )
6.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)
7.已知函数f(x) ax b(x [0,1]).则“a 2b 0”是“f(x) 0恒成立”的( ) (A)充分而不必要条件 (C)充要条件
8.已知函数f(x)的定义域为D.若对于任意的x1 D,存在唯一的x2
D,使得
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件
正视图
侧视图
俯视图
8 3
M成立,则称函数f(x)在D上的几何平均数为M.已知函数
g(x) 3x 1(x [0,1]),则g(x)在区间[0,1]上的几何平均数为( )
(A)1
(B
(C)2
(D)4
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.复数
10.已知函数f(x) log2x.若a 4b,则f(a) f(b) _____.
11.如图,在矩形ABCD中,AB
2,BC E是CD的
1 i
_____. i
中点,那么AE DC _____.
12.若 (
13.已知n次多项式Sn(x)
3
,0),且tan ,则cos _____;sin2 _____. 24
ax
ii 0
n
i
.
① 当x x0时,求Sn(x0)的值通常要逐项计算,如:计算
2
5次运算(3次乘法,2 S2(x0) axa共需要2 0ax1 00
次加法),依此算法计算S5(x0)的值共需要_____次运算. ② 我国宋代数学家秦九韶在求Sn(x0)的值时采用了一种简捷 的算法,实施该算法的程序框图如图所示,依此算法计算
Sn(x0)的值共需要_____次运算.
14.如图,设P0是抛物线y x上一点,且在第一象限.过P0作抛物线的切线,交x轴于
2
Q1点,过Q1点作x轴的垂线,交抛物线于P1点,此时就称P0确定了P1.依此类推,
可由P1确定P2,由P2确定P3, .记P n(xn,yn),n 0,1,2, .给出下列三个结论:① xn 0;
② 数列{xn}为单调递减数列;
③ 当x0 1时,y0 y1 y2 yn 2.
其中全部正确结论的序号为_____.
三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)
已知函数f(x) |x| (x a)是奇函数,其中a R. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设b 0,若函数f(x)在区间[ b,b]上最大值与最小值的差为b,求b的值.
16.(本小题满分13分)
已知数列{an}为等差数列,a2 3,a3 a6 11. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若bn 2(an
17.(本小题满分13分)
某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个,对其等 级进行统计分析,得到频率分布表如下:
1
),其中n N*,求数列{bn}的前n项和Sn. an
2
(Ⅰ)在抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个,求m,n;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,从等级为3和5的所有零件中,任意抽取2个,求抽取的2个
零件等级恰好相同的概率
.
18.(本小题满分14分)
如图,已知半圆O:x y 1(y 0)及点A(2,0),B为半圆周上任意一点,以AB为一边作等边△ABM.设 AOB ,其中0 .
(Ⅰ)将边AB表示为 的函数; (Ⅱ)求四边形OAMB面积的最大值.
2
2
19.(本小题满分14分)
x2y2
1的左顶点为A,右焦点为F,过点F的直线交椭圆于B,C两已知椭圆43
点.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线AB和AC分别与直线x 4交于点M,N,问:x轴上是否存在定点P使
得MP NP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
20.(本小题满分13分)
已知函数f(x) ln(1 x),g(x)
x(1 x)
( 0).对任意的x 0,都有
1 x
f(x) g(x).
(Ⅰ)求实数 的取值范围; (Ⅱ)若Tn 1
1111 ,证明:T2n Tn ln2. 23n4n
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