龙文学校个性化辅导教案提纲 教师： 杨凯 学生： 杨昶 时间： 年_ 月 日 段
不等式的概念和性质 基础过关 1、实数的大小比较法则： 设a，b∈R，则a>b? ；a＝b? ；ab ? 定理2（同向传递性） a>b，b>c? 定理3 a>b?a＋c > b＋c推论 a>b，c>d? 定理4 a>b，c>0? a>b，c<0? 推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0，c>d≥0? 推论2 a>b＞0 ?an?bn (n?N且n>1)定理5 a>b＞0?na?nb (n?N且n>1)典型例题 例1. 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.解：(1)(x2－y2)(x＋y)＜(x2＋y2)(x－y)(2)aabb＞abba变式训练1：不等式log2x+3x2＜1的解集是____________.答案：{x|－3＜x＜3且x≠－1,x≠0}。22解析：：??2x?3?1?0?x?2x?3或??0?2x?3?1?3?,?x??,?1?????1,0???0,3?。 2?2??x?2x?3例2. 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.解：当0＜x＜1或x＞时，f(x)＞g(x)；当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；当x＝时，f(x)＝g(x).434343(?1)n?1变式训练2：若不等式(－1)a＜2＋对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 .nn例3. 函数f(x)＝ax2＋bx满足：1≤f(?1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(?2)的取值范围．解：由f (x)＝ax2＋bx得 12f (－1)＝a－b，f (1)＝a＋b，f (－2)＝4a－2b12 a＝[f (1)＋f(－1)]，b＝[f (1)－f(－1)] 则f(－2)＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)]＝3f (－1)＋f (1)由条件1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4可得3×1＋2≤3f(－1)＋f(1)≤3×2＋4得f (－2)的取值范围是5≤f (－2)≤10.变式训练3：若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .解： (－3，3)例4. 已知函数f (x)＝x2＋ax＋b，当p、q满足p＋q＝1时，试证明：pf (x)＋qf (y)≥f (px＋qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是o≤p≤1.证明：∵pf (x)＋qf (y)－f (px＋qy)＝pq(x－y)2＝p(1－p)(x－y)2充分性：当0≤p≤1时，p(1?p)(x?y)2≥0从而pf(x)?qf(y)?f(px?qy)必要性：当pf(x)?qf(y)?f(px?qy)时，则有p(1?p)(x?y)2≥0，又(x?y)2≥0，从而p(1?p)≥0，即0≤p≤1．综上所述，原命题成立．12变式训练4：已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2．(1)证明：－＜b＜1；a222(2)若x1＋x1x2＋x22＝1，求x1－x1x2＋x2；2(3)求| x1－x22|．解：(1)∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴3a＞a＋b＋c，a＞b＞－a－b，∴a＞0，1＞bb1b??1? ∴－??1aa2a[来源学科网Z|X|X|K](2)（方法1）∵a＋b＋c＝0 ∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1，2?1可得不妨设x1＝1，则由x12?x1x2?x2x2(x2?1)?0,而x2?x1x2?c?0(3c?a?b?c?0)，a2∴x2＝－1， ∴x12?x1x2?x2?3(方法2)∵x1?x2??,x1x2?由2x12?x1x2?x22bacab2cb2a?bb2bb2b?(x1?x2)?x1x2?2??2＋?2??1?1，∴2??0,aaaaaaaa∵??12bb222?1,??0,∴x1?x1x2?x2?x1?x1x2aa2(a?b)?3a2?x2?2x1x2?1?2x1x2?1?(3)由(2)知，2x1?2x2c2(a?b)2b?1?2?1??(?1)2?12aaa ∴?12b1b?1?2，∴?(?1)2?4a4a2∴??(?1)2?1?3 ∴x12?x2??0,3?34ba归纳小结 1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A≥B(或B≤A)”． 四、本次课后作业： 五、学生对于本次课的评价： ○特别满意 ○满意 ○一般 ○差 六、教师评定 1.学生上次作业评价： ○好 ○较好 ○一般 ○差 2.学生本次上课情况评价： ○好 ○较好 ○一般 ○差
学生签字： 龙文学校教务处签字：
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