专转本模拟试题与解析(四)

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（四）解析

高等数学

注意事项：

1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。

2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。 3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。 1、下列极限存在的是（ ）

x3 11

lim lnx D 、limsin4 B 、lim3 A 、lim C 、x x 1x 3x 1x 0x 1

x

2、函数y x 在则x 1处（ ）

A 、连续 B 、不连续 C 、可导 D 、可微 3、函数f(x) x sinx在闭区间 0,1 上的最大值为（ ）

A、0 B、1 C、1 sin1 D、4

、不定积分

2

f （ ）

A

、f B

、f C C、f(x) D、f(x) C 5、方程y 2y y esinx的特解形式为（ ） A、Aesinx B、Axe

x

2 x

x

sinx

C、e x(Asinx Bcosx) D、Ax2(sinx cosx) 6、直线

x 1yz 1

与平面的x y z 1的位置关系是（ ） 21 1

A、垂直 B、平行 C、夹角为

D、夹角为43

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

ax2 bx 2

3,则a _____,b _______。 7、已知a,b为常数，lim

x 2x 1

8、d_____________

3

2

1

dx。 1 x

9、y x 3x 5的拐点是。 10

、定积分

2

x3)dx ___________。

n

xn

的收敛域是__________________。 11、幂级数 ( 1)nn 1

z

z e xy，则12、设

z

_______________________。 y

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。 13、求极限lim

1 cosx

。

x 0xsinx

x a(t sint)d2y

14、已知摆线的参数方程 ，求2。

dxy a(1 cost)

15、求不定积分

16

、计算定积分 17、计算

1

1 ex。

2。

(x y)dxdy，其中D由y x,y x在第一象限所围的区域。

D

2

z 2z,18、已知函数z f(x y,xy)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求。 x x y

2

2

19、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于2x y，并且曲线通过原点。

20、求过点 2,1,1 ，平行于直线平面方程。

x 2y 1z 2

且垂直于平面x 2y 3z 5 0的32 1

21、证明：当x 0时，ln(1 x) x。

22、设f(x)在[a,b]上有连续导数，且f(a) f(b) 0，

ba

f2(x)dx 1，证明：

1

x f(x) f(x)dx a

2

b

23、 计算y e x与直线y 0之间位于第一象限内的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转

体体积。

24、在半径为R的半圆内作内接梯形，何时面积最大？

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（四）

高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。 1、下列极限存在的是（ ）

x3 11

limlnxlim4limsinlim A 、x B 、x 3 C 、x 0 D 、x 1

x 13x 1

x

解析：求极限时，先判断极限类型，若是以转化为

0

或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可0

0

或型。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大0

量阶的比较，无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量等性质。极限存在是指它的极限为一个有限的数值，无穷或振荡均属极限不存在情况。

x3 11lim3 （最高次系数比值）,故本题答案选B x 3x 13

2、函数y x 在则x 1处（ ）

A 、连续 B 、不连续 C 、可导 D 、可微

解析：本题考查可导与连续之间的关系。也可从几何直观上加以解释。连续是指曲线在该点没有断开，可导是在连续的基础上考查曲线在该点的光滑性（“尖”点处没有导数）。连续是可导的必要而非充分条件。 故本题答案选A

3、函数f(x) x sinx在闭区间 0,1 上的最大值为（ ）

A、0 B、1 C、1 sin1 D、

2

解析：本题考查闭区间上连续函数最值求法。先求区间内部的可能极值点（驻点、不可导点），再将它们所对应的函数值与区间端点的函数值进行比较即可。

又f (x) 1 cosx 0，f(x)在闭区间 0,1 上单调递增，故f(x)在x 1处取得最大值，

最大值f(1) 1 sin1，故本题答案选C 4

、不定积分

f （ ）

A

、f B

、f C C、f(x) D、f(x) C

解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。

求f(x)的不定积分就是找那些导数为f(x)的所有函数全体，不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。

f f C,故本题答案选B

5、方程y 2y y e xsinx的特解形式为（ ） A、Aesinx B、Axe

x

2 x

sinx

C、e x(Asinx Bcosx) D、Ax2(sinx cosx) 解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是二阶常系数线性非齐次方程。 （1）齐次方程y py qy 0，其中p,q为常数。

求解步骤：1）特征方程

2 p q 0，求根 1, 2。

1x

2） 1, 2 互异实根，y c1e

1

c2e 2x，

1 2，y c1e x c2xe x；

2

1,2 i ( 0)，y e x(c1cos x c2sin x)。

（2）非齐次方程y py qy f(x)，通解为其所对应的齐次方程通解加上本身特解y 。 第一种：f(x) ePm x ，其中Pm x 表示m次多项式。

x

解结构：y 齐次方程通解特解y 形式设定如下： （1）识别 ,m；

特解y 。

（2）考查 作为特征根的重数个数k； （3）特解可设为y x xeQm x ，

k x

0, 不是特征根；

是单根；其中Qm x 表示m次多项式。k 1,

2, 是二重根；

第二种：f(x) e

x

P x cos x P x sin x ，

m

n

其中Pm x ，Pn x 表示m,n次多项式。 解结构：y 齐次方程通解特解y 形式设定如下： （1）识别 , ,m,n；

特解y 。

（2）计算 i ，k 和特征根 1, 2相等个数，l max m,n 。 （3）特解可设为y x xe

k x

x sin x ，

Q x cos x Q

l

l

其中Ql x ,Ql x 为l次多项式。

0， i 不是特征根；

其中k 故本题答案为C:e x(Asinx Bcosx)，其中A,B

1， i 是特征根；

待定系数。 6、直线

x 1yz 1

与平面的x y z 1的位置关系是（ ） 21 1

A、垂直 B、平行 C、夹角为

D、夹角为43

解析：考查直线与平面之间的位置关系，主要是平面的法向量与直线的方向向量之间的关系。 直线的方向向量为s 2,1, 1 ，平面的法向量为n 1, 1,1 ；

显然，s n 0，即s n，故直线平行于平面或在平面内。又直线上点 1,0, 1 不满足平面方程，所以，该直线平行于已知平面。故本题答案选B

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

ax2 bx 2

3,则a _____,b _______。 7、已知a,b为常数，lim

x 2x 1

解析：该题为极限反问题，考查有理分式极限lim

Pm x

，只需比较分子与分母的次数即可，

x Pxn

先判断极限类型，若是

0 0

或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为或型。0 0

0,m n

Pm x lim ,m n；故a 0,b 6,故本题答案选B x Pxn 分子与分母最高次系数之比值，m n

8、d_____________

1dx1 x。

1

dx。 1 x

解析：该题考查微分的形式不变性，常规凑微分方法。dln(1 x)

32

y x 3x 5的拐点是。 9、

解析： 曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在f (x) 0的点或f (x)不存在的点。由于多项式函数处处二阶可导，故拐点处的二阶导数一定为零。然后再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。令y 6x 6 0，得x 1，此时y 3。 又x 1时，y 6x 6 0；x 1时，y 6x 6 0。故拐点为 1,3 。

10

、定积分

解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。

2

x3)dx ___________。

a

a

0,f(x)为奇函数

；

f(x)dx a

2f(x)dx,f(x)为偶函数 0 x3)dx

2 2

x3

2

2

2 0 2

这里因为函数f(x) x3故积分为零，

积分的上半圆的面积。

2

表示半径为2

xn

11、幂级数 ( 1)的收敛域是__________________。

nn 1

n

解析：对于幂级数

anxn，如果lim

n 0

n

an 1

，则 （或 ）

nan

收敛半径R

1

，收敛区间为 R,R 。再将x R代入级数具体考查。若幂级数

ax

nn 0

n

缺少的奇次项（偶次项）或上述极限不存在（不是无穷），则此时将x当作常量转化为常数

项级数处理。 本题lim

n

an 11n

lim 1，所以R 1， n n 1 an

1( 1)n

x 1时，级数 收敛，x 1时，级数 发散，故收敛域为[ 1,1)。

nn 1nn 1

对于幂级数

a(x x)

n

n 1

n

只需作变量代换x x0 t即可。

12、设z ez xy，则

z

_______________________。 y

解析：由方程F(x,y,z) 0决定隐函数z z(x,y)。求偏导公式为：

Fy Fx z z

， （也可方程或等式两边直接对某个变量求偏导，将z看作该变量的 xFz yFz

一元函数，另外一个变量当作常量）

Fy z xx

。 F z e xy， zz

yFz1 e1 e

z

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。 13、求极限lim

1 cosx

。

x 0xsinx

解析：lim

1 cosx1 cosx1

lim

x 0xsinxx 0x22

12

x为等价无穷小量） 2

（当x 0时，sinx与x为等价无穷小量，1 cosx与

x a(t sint)d2y

14、已知摆线的参数方程 ，求2。

dx y a(1 cost)

解析：由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容，首先需要熟记求导公式

a(1 cost) dysintt

y

dxa(t sint) 1 costt

dy

sint

dy 22

dydy 11 1 cost tcost(1 cost) sint

dx2dx(1 cost)2a(1 cost)a(1 cost)2

15、求不定积分

1

1 ex。

解析：该题使用凑微分法，

f(e x)e xdx

f(e

1

x

)de x是经常遇见的固定类型

11 ex 1exdexx

1 ex= 1 exdx= (1 1 ex)dx x 1 ex=x ln(1 e) C

16

、计算定积分

2。

解析：该题使用第二类换元法，作三角代换 令x sect，dx

tantsectdt，且x

t ；x 2时，t ；所以

43

2

4

3

tantsect

3dt

tantsect34124

17、计算

(x y)dxdy，其中D由y x,y x在第一象限所围的区域。

D

2

解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别

是对称型简化积分计算。 首先要画出积分区域（如图），然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。一般当被积函数形如f(x2 y2)，区域形状为圆形、圆环、扇形（环）等，往往使用极坐标计算；否则，往往用直角坐标计算。

1

x

(x y)dxdy dx (x y)dy

D

x2

12

(xy y)dx

2x20

1

x

11

(x2 x2 x3 x4)dx

220

111331

。 (x2 x3 x4)dx

241020220

1

1

17、解析：积分限为无穷的广义积分，当收敛时其收敛值的计算和正常的定积分一样，也有类似的牛顿--莱布尼兹公式：

a

f(x)dx F(x)

a

F( ) F(a)，所以

te tdt tde t te t

0

e tdt ( e t)

e tdt

0

1

z 2z,18、已知函数z f(x y,xy)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求。 x x y

2

2

解析：该题型是几乎每年必考，需要认真掌握。

第一步：变量x,y,z的关系网络图

1 z 2

xyxy

其中1，2分别表示x2 y2,xy

第二步：寻找与x对应的路径 ，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”

z

f1 2x f2 y x

2z

2xf11 2y f12 x f2 yf21 2y f22 x x y

22

4xyf11 2xf12 f2 2yf21 xyf22

19、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于2x y，并且曲线通过原点。 解析：导数的几何意义表示曲线在该点切线的斜率，由此先建立微分方程。 一阶线性非齐次方程 y P(x) y Q(x)的通解为

P(x)dx P(x)dx

y e Q(x) e dx C

本题y 2x y且y(0) 0，即y y 2x, 通解 y e

1dx

1dx

2x edx C

P(x) 1,Q(x) 2x，

ex 2xe x 2e x C 2x 2 Cex

由于 y(0) 0 得 0 2 C,

x

C 2

所以，曲线方程为 y 2e 2x 2

20、求过点 2,1,1 ，平行于直线平面方程。

x 2y 1z 2

且垂直于平面x 2y 3z 5 0的32 1

解析：求平面方程，基本方法是使用点法式。求出平面上的一个定点和法向量n。

x 2y 1z 2

平面上的定点(2,1,1)已知，直线的方向向量s 3,2, 1 ，平面32 1

x 2y 3z 5 0的法向量n1 1,2, 3 ；由条件容易得到n s，n n1，故可取

ijk

n s n1 32 1 4,8,4 4 1, 2, 1

12 3

平面点法式方程为： 1(x 2) 2(y 1) 1(z 1) 0，即x 2y z 1 0。

四、证明题（每小题9分，共18分） 21、证明：当x 0时，ln(1 x) x。

解析：函数不等式的证明方法很多，其中利用单调性证明不等式是经常使用的一种方法。可使用单调性证明的问题通常形式为x a或x a时，证明f(x) g(x)； 通常设辅助函数F(x) f(x) g(x)，证明F(x) f(x) g(x)是单调的。

设F(x) ln(1 x) x，F (x)

1x 1 1 x1 x，

当x 0时，F (x) 0，F(x)是严格单调递减的，

F(x) F(0) 0，即ln(1 x) x。

22、设f(x)在[a,b]上有连续导数，且f(a) f(b) 0，

ba

f2(x)dx 1，证明：

1

x f(x) f(x)dx 。 a

2

b

解析：定积分是一个值，计算的基本方法是牛顿---莱布尼兹公式。本题被积函数为抽象函数，一般使用定积分的分部积分法。

ba

x f(x) f (x)dx x f(x)df(x)

ab

b

1b2

xd[f(x)]2 a

1

[x[f(x)]2

21b1b22

[f(x)]dx] [f(x)]dx a a

2 a2

五、综合题（每小题10分，共20分）

x

23、 计算y e与直线y 0之间位于第一象限内的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转

体体积。

解析：该类题型是定积分应用中常考的题型，但是近两年在该知识点常出综合题。结合微分方程，极限等知识点出题。

首先画出图形，根据图形，写处体积微元

dV (e x)2dx e 2xdx

则由题意，可得

V e

2x

dx

2 0

e 2xd(2x)

2

24、在半径为R的半圆内作内接梯形，何时面积最大？

解析：将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优化问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。 分析问题的流程为：

（1）适当假设求解变量x； （2）函数关系y y(x)确定；

（3）y 0求解，交待y最大、最小的理由； （4）合理分析。

注：第二步是整个问题的关键步骤，(3)中的理由部分可能是容易疏忽之处。 设上底长度为2x，即OF

x，如图所示，OE

S(x) (2x 2R)R2 x2/2 (x R)R2 x2 S'(x) R2 x2 (x R)

x(x R)R x

2

2

2x2R x

2

2

AE

R2 x2

由S (x) 0解得x R/2 （x R舍去） 因为x

D

O

F

C

R

为唯一驻点，即为所求（或S (R/2) 0） 2

此时Smax

3322R2R/2 R。 24

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m0be.html