2010年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)
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2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(福建卷及详解)
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.计算sin43cos13-sin13cos43的值等于( )
A.
1
B.
C.
D. 2322
2.以抛物线y2 4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A.x2+y2+2x=0 B. x2+y2+x=0 C. x2+y2-x=0 D. x2+y2-2x=0 3.设等差数列 an 的前n项和为Sn,若a1 11,a4 a6 6,则当Sn取最小值时,n等于 A.6 B.7 C.8 D.9
x2+2x-3,x 04.函数(的零点个数为 ( ) fx)=
-2+lnx,x>0
A.0 B.1 C.2 D.3
5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的i值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5
6.如图,若 是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体
EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段
的是( ) BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确...A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C. 是棱柱 D.
是棱台
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x22
7.若点O和点F( 2,0)分别是双曲线2 y 1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支
a
上的任意一点,则OP FP的取值范围为 ( )
A. )
B. [3 ) C. [-
77
, ) D. [, ) 44
x 1
8.设不等式组 x-2y+3 0所表示的平面区域是 1,平面区域是 2与 1关于直线
y x 3x 4y 9 0对称,对于 1中的任意一点A与 2中的任意一点B, |AB|的最小值等于
( ) A.
2812 B.4 C. D.2
55
9.对于复数a,b,c,d,若集合S= a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S,必有xy S”,则当
a=1
2
b=1时,b+c+d等于 ( ) c2=b
A.1 B.-1 C.0 D.i
10.对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给
0 f(x) h(x) m
的正数m,存在相应的x0 D,使得当x D且x x0时,总有 ,则称直
0 h(x) g(x)<m
线l:y=kx+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D= x|x>1 的四组函数如下:
①f(x)=x
, ; ②f(x)=10+2,g(x)=
2
-x
2x-3; x
xlnx+1x2+12x2
③f(x)=,g(x)=; ④f(x)=,g(x)=2(x-1-e-x).
lnxxx+1
其中, 曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④
二、填空题:
11.在等比数列 an 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式
an .
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12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于
.
13.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。 14.已知函数f(x)=3sin( x-若x [0,
6
)( >0)和g(x)=2cos(2x+ )+1的图象的对称轴完全相同。
2
],则f(x)的取值范围是
(0, )(0, )15.已知定义域为的函数f(x)满足:①对任意x ,恒有f(2x)=2f(x)成
(1,2]时,f(x)=2-x。给出如下结论: 立;当x
m
)①对任意m Z,有f(2;②函数f(x)的值域为[0,;③存在n Z,使得)=0
;④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是 “存在k Z,使得 f(2n+1)=9。 (a,b) (2k,2k 1)”
其中所有正确结论的序号是 。
三、解答题: 16.(本小题满分13分) 设S是不等式x x 6 0的解集,整数m,n S。
(1)记使得“m n 0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件; (2)设 m,求 的分布列及其数学期望E 。
17.(本小题满分13分)
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点。 (1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离
22
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等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。 18.(本小题满分13分) 如图,圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径。 (Ⅰ)证明:平面A1ACC1 平面B1BCC1;
(Ⅱ)设AB=AA1,在圆柱OO1内随机选取一点,记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p。
(i)当点C在圆周上运动时,求p的最大值;
(ii)记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为 (0< 90),当p取最大值时,求cos
的值。 19.(本小题满分13分)
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时,
轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。
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20.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C。 (i)求函数f(x)的单调区间;
(ii)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点
P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段
P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则
S1
为定值;
S2
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明。
21.本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分。如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵M=
1a c2 20
,,且N MN ,
0d 20 b1
(Ⅰ)求实数a,b,c,d的值;
(Ⅱ)求直线y 3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。
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(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
x 3, 在直角坐标系xoy中,直线l
的参数方程为 (t为参数)。在极坐标系(与直 y 2
角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的
方程为 。
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,若点P
的坐标为, 求|PA|+|PB|。
(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x) |x a|。
(Ⅰ)若不等式f(x) 3的解集为 x| 1 x 5 ,求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若f(x) f(x 5) m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(福建卷及详解)
一、选择题:
1.【解析】原式=sin(43-13)=sin30=
1
, 2
答案 A
2.【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0 答案 D
3.【解析】设该数列的公差为d,则a4 a6 2 a1 8d 2 ( 11) 8d 6,解得d 2,所以Sn 11n 答案 A
4.【解析】当x 0时,令x 2x 3 0解得x 3;
当x 0时,令 2 lnx 0解得x 100,所以已知函数有两个零点, 答案 C
5.【解析】由程序框图可知,该框图的功能是 输出使和S 1 2 2 2 3 3 i 2 11
时的i的值加1,因为1 2 2 2 10 11,1 2 2 2 3 3 11, 所以当S 11时,
计算到i 3,故输出的i是4 答案
C
1
2
1
2
3
1
2
3
i
2
n(n 1)
2 n2 12n (n 6)2 36,所以当n 6时,Sn取最小值。 2
6.【解析】因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以EH∥B1C1,又EH 平面BCBC11,
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EH 平面EFGH,平面EFGH 平面BCBCFG, 所以EH∥平面BCBC11,又11=
所以EH∥FG,故EH∥FG∥B1C1,所以选项A、C正确;因为A1D1 平面ABB1A 1,
EH∥A1D1,所以EH 平面ABB1A1,又EF 平面ABB1A1, 故EH EF,所以选
项B也正确
答案 D
7.【解析】因为F( 2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a 1 4,即a 3,所以双曲线
2
2
x02x22
y 1,设点P(x0,y0),则
有 y02 1(x0 ,解
得方程为33x02
y0 1(x0 3
2
,因为FP (x0 2,y0),OP (x0,y0),所以
x024x022
1 2x0 1,此二次函数对应的抛物OP FP x0(x0 2) y0=x0(x0 2) 33
3
线的对称轴为x0 ,因
为x0,所以
当x0时,OP FP取得最小
值
4
4
3
1 3 OP FP的取值范围是[3 ) 3
答案 B
8.【解析】由题意知,所求的|AB|的最小值,即为区域 1中的点到直线3x 4y 9 0的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示
,
可看出点(1,1)到直线3x 4y 9 0的距离最小,故|AB|的最小值为
2
|3 1 4 1 9|
4
5
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答案 B
9.【解析】由题意,可取a=1,b=-1,c=i,d=-i,所以b+c+d=-1+i+-i 1 答案 B
10.【解析】要透过现象看本质,存在分渐近线的充要条件是x 时,f(x) g(x) 0。对于○1,当x 1时便不符合,所以○1不存在;对于○2,肯定存在分渐近线,因为当时,
f(x) g(x) 0;对于○3,f(x) g(x)
111
,设 (x) x lnx, "(x) 2 0xlnxx
且lnx x,所以当x 时x lnx越来愈大,从而f(x) g(x)会越来越小,不会趋近于0,所以不存在分渐近线;○4当x 0时,f(x) g(x)
22
2 x 0,因此存1e1 x
在分渐近线。故,存在分渐近线的是○2○4 答案 C 二、填空题:
11.【解析】由题意知a1 4a1 16a1 21,解得a1 1,所以通项an 4答案 4
n-1
n-1
。
12.【解析】由正视图知:三棱柱是以底面边长为2,高为1的正三棱柱,所以底面积为
24 3 2 1
6,所以其表面积为 答案
6+13.【解析】恰好回答四道,且连续两道答对停止答题,则尽可能是第一道答对,第二道答错、三、四道答对或者是前两道答错,后两道答对的情况,所以
p (0.2 0.2 0.8 0.2) (0.8)2 0.128
【答案】[-,3]
14、【解析】由题意知, 2,因为x [0,象知:
3
2
2
],所以2x-
6
[-
5
6,6
],由三角函数图
f(x)的最小值为3sin(-答案 [-
3 3
)=-,最大值为3sin=3,所以f(x)的取值范围是[-,3]。 6222
3
,3] 2
m
m 1
15、【解析】○1f(2) f(2 22取) 2f(2m 1) 2m 1f(2) 0,正确;○
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x (2m,2m 1],则
xxx (1,2]f() 2 ;,从而 2m2m2m
xx
f(x) 2f() 2mf(m) 2m 1 x,其中,m 0,1,2, ,从而f(x) [0, ),
22
正确;○3f(2n 1) 2m 1 2n 1,假设存在n使f(2n 1) 9,即存在
x1,x2,s.t.2x1 2x2 10,又,2x变化如下:2,4,8,16,32, ,显然不存在,所以该命题
错误;○4根据前面的分析容易知道该选项正确;综合有正确的序号是○1○2○4. 答案 ①②④
三、解答题:
2
16、【解析】(1)由x x 6 0得 2 x 3,即S= x|-2 x 3 ,
由于整数m,n S且m n 0,所以A包含的基本事件为
( 2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)。
(2)由于m的所有不同取值为 2,-1,0,1,2,3,所以 m2的所有不同取值为0,1,4,9, 且有P( =0)=
121211
,P( =1)==,P( =4)==,P( =9)=, 663636
故 的分布列为
P
0 1 4 9
11
63
111119
所以E =0 1 4 9 。
63366
1
31 6
x2y2
17、【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为2 2 1(a>0,b>0),且可知左焦点为
ab
F(-2,0),从而有
c=2
2a=|AF|+|AF|=3+5=8
2
'
,解得
c=2
, a=4
x2y2
1。 又a=b+c,所以b 12,故椭圆C的方程为
1612
2
2
2
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=
3
x+t, 2
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3y=x+t 222
3x+3tx+t-12=0, 由 2得2
x+y=1 1612
因为直线l与椭圆有公共点,所以有 (3t)2-4 3(t2-12) 0,
解得 t
另一方面,由直线OA与l的距离4
,从而t=
由于
[ ,所以符合题意的直线l不存在。
18、【解析】(Ⅰ)因为AA1 平面ABC,BC 平面ABC,所以AA1 BC,
因为AB是圆O直径,所以BC AC,又AC AA1 A,所以BC 平面A1ACC1, 而BC 平面B1BCC1,所以平面A1ACC1 平面B1BCC1。
(Ⅱ)(i)设圆柱的底面半径为r,则AB=AA1=2r,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
1
V1=AC BC 2r=AC BC r,又因为AC2 BC2=AB2=4r2,
2
AC2+BC22
所以AC BC =2r
,当且仅当时等号成立,
2
3
从而V1 2r,而圆柱的体积V= r 2r=2 r,
2
3
V12r31
=,当且仅当,即OC AB时等号成立, 故p=3
V2 r
所以p的最大值是
1
。
(ii)由(i)可知,p取最大值时,OC AB,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0),B1(0,r,2r),
因为BC 平面A1ACC1,所以BC=(r,-r,0)是平面A1ACC1的一个法向量,
rx 0 x 0 n OC
得设平面B1OC的法向量n=(x,y,z),由 ,故,
y 2z n OB1 ry 2rz 0
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取z 1得平面B1OC的一个法向量为n=(0,-2,1),因为0< 90,
n BC
所以cos |cosn,BC|=|n| |BC|
19、【解析】如图,由(1)得
而小艇的最OC 故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP OC>AC,高航行速度只能达到30海里/小时,故轮船与小艇不可能在A、C(包含C)的任意位置相
遇,设 COD= (0 < <90 ),则在Rt COD中,CD ,
,
由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为t
和t
v ,
又v 30,故sin( +30)
,于是 3
从而30 <90 ,由于 30 时,tan 取得最小
值,且最小值为
当 30时,t
2。
3此时,在 OAB中,OA OB AB 20,故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。
3
'
2
20、【解析】(Ⅰ)(i)由f(x)=x-x得f
(x)=3x-1=,
当x (-
,-
'
)时,f(x)>0;
)和
33
当x (-
)时,f'(x)<0, 3
3
)
和
。 ,单调递减区间为2
3
因此,f
(x)的单调递增区间为(-
(ii)曲线C与其在点P1处的切线方程为y=(3x1-1)(x-x1)+x1-x1,即
23
y (3x1-1)x-2x1323
x-x=得, y=(3x-1)x-2x,由 (3x-1)x-2x113
y=x-x
2
131
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2
即(x-x1)(x+2x1)=0,解得x=x1或x 2x1,故x2 2x1,进而有
274
x1,用x2代替x1,重复上述计算过程,可得 x1
4
2727 164
x1 0, x3 2x2和S2=x24,又x2 2x1 0,所以S2=
44S1
2x1
(x3-3x12x+2x13)dx=
因此有
S11
=。 S216
'
(Ⅱ)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0)的图象为曲线C,类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题为:若对任意不等式
b'
的实数x1,曲线C与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点 3a
P2(x2,g(x2)),曲线C与其在点P2(x2,g(x2))处的切线交于另一点P3(x3,g(x3)),线段
P1P2,P2P3与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则
证明如下:
S1
为定值. S2
bb
,g( ))平移至3a3a
( 因为平移变换不改变面积的大小,故可将曲线y=g(x)的对称中心
坐标原点,因而不妨设g(x)=ax3+hx(x 0),类似(i)(ii)的计算可得
S1=
27427 164S1
x1,S2=x1 0,故1=。 44S216
21、(1)
c 0 2 a 1
2 ad 0 b 1
【解析】(Ⅰ)由题设得 ,解得 ;
bc 0 2 c 2 2b d 0 d 2
(Ⅱ)因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y 3x上的两(0,0),(1,3),
1 1 0 0 1 1 1 2
由 ,(1,3)在矩阵M所对应 , 得:点(0,0) 11 0 0 11 3 2
的线性变换下的像是(0,0),(-2,2),从而
直线y 3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y x。 (2)选修4-4:坐标系与参数方程
【解析】
(Ⅰ)由
得x2 y2
0,即x2 (y2 5.
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(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C
的直角坐标方程,得(3
22) ) 5,
22
即t2 4
0,由于 2 4 4 2 0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,
t t 又直线l过点P故由上式及t的几何意义得: 所以 12
tt 4 12
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t
2= (3)选修4-5:不等式选讲
【解析】(Ⅰ)由f(x) 3得|x a| 3,解得a 3 x a 3, 又已知不等式f(x) 3的解集为 x| 1 x 5 ,所以
a 3 1
,解得a 2。
a 3 5
(Ⅱ)当a 2时,f(x) |x 2|,设g(x)=f(x) f(x 5),于是
2x 1,x< 3
g(x)=|x-2| |x 3|= 5, 3 x 2,所以
2x 1,x>2
当x<-3时,g(x)>5;当-3 x 2时,g(x)>5;当x>2时,g(x)>5。
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