2010年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)

希望这份试卷对你们有收获,祝大家高考取得优异成绩。

2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（福建卷及详解）

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．计算sin43cos13-sin13cos43的值等于（ ）

A.

1

B.

C.

D. 2322

2．以抛物线y2 4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )

A.x2+y2+2x=0 B. x2+y2+x=0 C. x2+y2-x=0 D. x2+y2-2x=0 3．设等差数列 an 的前n项和为Sn,若a1 11,a4 a6 6,则当Sn取最小值时,n等于 A.6 B.7 C.8 D.9

x2+2x-3,x 04．函数（的零点个数为 ( ) fx)=

-2+lnx,x>0

A.0 B.1 C.2 D.3

5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5

6．如图,若 是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体

EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段

的是（ ） BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确．．．A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C. 是棱柱 D.

是棱台

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x22

7．若点O和点F( 2,0)分别是双曲线2 y 1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支

a

上的任意一点,则OP FP的取值范围为 ( )

A. )

B. [3 ) C. [-

77

, ) D. [, ) 44

x 1

8．设不等式组 x-2y+3 0所表示的平面区域是 1,平面区域是 2与 1关于直线

y x 3x 4y 9 0对称,对于 1中的任意一点A与 2中的任意一点B, |AB|的最小值等于

( ) A.

2812 B.4 C. D.2

55

9．对于复数a,b,c,d,若集合S= a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S,必有xy S”,则当

a=1

2

b=1时,b+c+d等于 ( ) c2=b

A.1 B.-1 C.0 D.i

10．对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给

0 f(x) h(x) m

的正数m,存在相应的x0 D,使得当x D且x x0时,总有 ,则称直

0 h(x) g(x)<m

线l:y=kx+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D= x|x>1 的四组函数如下:

①f(x)=x

, ; ②f(x)=10+2,g(x)=

2

-x

2x-3; x

xlnx+1x2+12x2

③f(x)=,g(x)=; ④f(x)=,g(x)=2（x-1-e-x).

lnxxx+1

其中, 曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④

二、填空题：

11．在等比数列 an 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式

an .

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12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于

.

13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。 14．已知函数f(x)=3sin( x-若x [0,

6

)( >0)和g(x)=2cos(2x+ )+1的图象的对称轴完全相同。

2

]，则f(x)的取值范围是

（0， ）（0， ）15．已知定义域为的函数f(x)满足：①对任意x ，恒有f(2x)=2f(x)成

（1，2]时，f(x)=2-x。给出如下结论： 立；当x

m

）①对任意m Z，有f(2；②函数f(x)的值域为[0，；③存在n Z，使得)=0

；④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是 “存在k Z，使得 f(2n+1)=9。 (a,b) (2k,2k 1)”

其中所有正确结论的序号是 。

三、解答题： 16．（本小题满分13分） 设S是不等式x x 6 0的解集，整数m,n S。

（1）记使得“m n 0成立的有序数组(m,n)”为事件A，试列举A包含的基本事件； （2）设 m，求 的分布列及其数学期望E 。

17．（本小题满分13分）

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。 （1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离

22

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等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。 18．（本小题满分13分） 如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。 （Ⅰ）证明：平面A1ACC1 平面B1BCC1；

（Ⅱ）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p。

（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；

（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为 (0< 90)，当p取最大值时，求cos

的值。 19．（本小题满分13分）

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，

轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

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20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数f(x)=x3-x，其图象记为曲线C。 （i）求函数f(x)的单调区间；

（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点

P2(x2,f(x2))，曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3))，线段

P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则

S1

为定值；

S2

（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=

1a c2 20

，，且N MN ，

0d 20 b1

（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；

（Ⅱ）求直线y 3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。

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（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

x 3, 在直角坐标系xoy中，直线l

的参数方程为 （t为参数）。在极坐标系（与直 y 2

角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的

方程为 。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P

的坐标为， 求|PA|+|PB|。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x) |x a|。

（Ⅰ）若不等式f(x) 3的解集为 x| 1 x 5 ，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x) f(x 5) m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

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一、选择题：

1.【解析】原式=sin(43-13)=sin30=

1

， 2

答案 A

2.【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0 答案 D

3.【解析】设该数列的公差为d，则a4 a6 2 a1 8d 2 ( 11) 8d 6，解得d 2，所以Sn 11n 答案 A

4.【解析】当x 0时，令x 2x 3 0解得x 3；

当x 0时，令 2 lnx 0解得x 100，所以已知函数有两个零点， 答案 C

5.【解析】由程序框图可知，该框图的功能是 输出使和S 1 2 2 2 3 3 i 2 11

时的i的值加1，因为1 2 2 2 10 11，1 2 2 2 3 3 11， 所以当S 11时，

计算到i 3，故输出的i是4 答案

C

1

2

1

2

3

1

2

3

i

2

n(n 1)

2 n2 12n (n 6)2 36，所以当n 6时，Sn取最小值。 2

6.【解析】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH 平面BCBC11，

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EH 平面EFGH，平面EFGH 平面BCBCFG， 所以EH∥平面BCBC11，又11=

所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1 平面ABB1A 1，

EH∥A1D1，所以EH 平面ABB1A1，又EF 平面ABB1A1， 故EH EF，所以选

项B也正确

答案 D

7.【解析】因为F( 2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 1 4，即a 3，所以双曲线

2

2

x02x22

y 1，设点P(x0,y0)，则

有 y02 1(x0 ，解

得方程为33x02

y0 1(x0 3

2

，因为FP (x0 2,y0)，OP (x0,y0)，所以

x024x022

1 2x0 1，此二次函数对应的抛物OP FP x0(x0 2) y0=x0(x0 2) 33

3

线的对称轴为x0 ，因

为x0，所以

当x0时，OP FP取得最小

值

4

4

3

1 3 OP FP的取值范围是[3 ) 3

答案 B

8.【解析】由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域 1中的点到直线3x 4y 9 0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示

，

可看出点（1，1）到直线3x 4y 9 0的距离最小，故|AB|的最小值为

2

|3 1 4 1 9|

4

5

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答案 B

9.【解析】由题意，可取a=1,b=-1,c=i,d=-i，所以b+c+d=-1+i+-i 1 答案 B

10.【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是x 时，f(x) g(x) 0。对于○1，当x 1时便不符合，所以○1不存在；对于○2，肯定存在分渐近线，因为当时，

f(x) g(x) 0；对于○3，f(x) g(x)

111

，设 (x) x lnx, "(x) 2 0xlnxx

且lnx x，所以当x 时x lnx越来愈大，从而f(x) g(x)会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；○4当x 0时，f(x) g(x)

22

2 x 0，因此存1e1 x

在分渐近线。故，存在分渐近线的是○2○4 答案 C 二、填空题：

11.【解析】由题意知a1 4a1 16a1 21，解得a1 1，所以通项an 4答案 4

n-1

n-1

。

12.【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为

24 3 2 1

6，所以其表面积为 答案

6+13.【解析】恰好回答四道，且连续两道答对停止答题，则尽可能是第一道答对，第二道答错、三、四道答对或者是前两道答错，后两道答对的情况，所以

p (0.2 0.2 0.8 0.2) (0.8)2 0.128

【答案】[-,3]

14、【解析】由题意知， 2，因为x [0,象知：

3

2

2

]，所以2x-

6

[-

5

6,6

]，由三角函数图

f(x)的最小值为3sin(-答案 [-

3 3

)=-，最大值为3sin=3，所以f(x)的取值范围是[-,3]。 6222

3

,3] 2

m

m 1

15、【解析】○1f(2) f(2 22取) 2f(2m 1) 2m 1f(2) 0，正确；○

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x (2m,2m 1]，则

xxx (1,2]f() 2 ；，从而 2m2m2m

xx

f(x) 2f() 2mf(m) 2m 1 x，其中，m 0,1,2, ，从而f(x) [0, )，

22

正确；○3f(2n 1) 2m 1 2n 1，假设存在n使f(2n 1) 9，即存在

x1,x2,s.t.2x1 2x2 10，又，2x变化如下：2,4,8,16,32， ，显然不存在，所以该命题

错误；○4根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是○1○2○4. 答案 ①②④

三、解答题：

2

16、【解析】（1）由x x 6 0得 2 x 3，即S= x|-2 x 3 ，

由于整数m,n S且m n 0，所以A包含的基本事件为

( 2,2）,(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)。

（2）由于m的所有不同取值为 2,-1,0,1,2,3,所以 m2的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P( =0)=

121211

，P( =1)==，P( =4)==，P( =9)=， 663636

故 的分布列为

P

0 1 4 9

11

63

111119

所以E =0 1 4 9 。

63366

1

31 6

x2y2

17、【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为2 2 1(a>0,b>0)，且可知左焦点为

ab

F（-2，0），从而有

c=2

2a=|AF|+|AF|=3+5=8

2

'

，解得

c=2

， a=4

x2y2

1。 又a=b+c，所以b 12，故椭圆C的方程为

1612

2

2

2

（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=

3

x+t， 2

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3y=x+t 222

3x+3tx+t-12=0， 由 2得2

x+y=1 1612

因为直线l与椭圆有公共点，所以有 （3t)2-4 3(t2-12) 0，

解得 t

另一方面，由直线OA与l的距离4

，从而t=

由于

[ ，所以符合题意的直线l不存在。

18、【解析】（Ⅰ）因为AA1 平面ABC，BC 平面ABC，所以AA1 BC，

因为AB是圆O直径，所以BC AC，又AC AA1 A，所以BC 平面A1ACC1， 而BC 平面B1BCC1，所以平面A1ACC1 平面B1BCC1。

（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为

1

V1=AC BC 2r=AC BC r，又因为AC2 BC2=AB2=4r2，

2

AC2+BC22

所以AC BC =2r

，当且仅当时等号成立，

2

3

从而V1 2r，而圆柱的体积V= r 2r=2 r，

2

3

V12r31

=,当且仅当，即OC AB时等号成立， 故p=3

V2 r

所以p的最大值是

1

。

（ii）由（i）可知，p取最大值时，OC AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r），

因为BC 平面A1ACC1，所以BC=(r,-r,0)是平面A1ACC1的一个法向量，

rx 0 x 0 n OC

得设平面B1OC的法向量n=(x,y,z)，由 ，故，

y 2z n OB1 ry 2rz 0

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取z 1得平面B1OC的一个法向量为n=(0,-2,1)，因为0< 90，

n BC

所以cos |cosn,BC|=|n| |BC|

19、【解析】如图，由（1）得

而小艇的最OC 故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP OC>AC，高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相

遇，设 COD= (0 < <90 ),则在Rt COD中，CD ，

，

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t

和t

v ，

又v 30,故sin( +30)

，于是 3

从而30 <90 ,由于 30 时，tan 取得最小

值，且最小值为

当 30时，t

2。

3此时，在 OAB中，OA OB AB 20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。

3

'

2

20、【解析】（Ⅰ）（i）由f(x)=x-x得f

(x)=3x-1=，

当x (-

,-

'

）时，f(x)>0；

)和

33

当x (-

)时，f'(x)<0， 3

3

）

和

。 ，单调递减区间为2

3

因此，f

(x)的单调递增区间为(-

（ii）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=(3x1-1)(x-x1)+x1-x1,即

23

y (3x1-1)x-2x1323

x-x=得， y=(3x-1)x-2x,由 (3x-1)x-2x113

y=x-x

2

131

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2

即(x-x1)（x+2x1)=0，解得x=x1或x 2x1,故x2 2x1，进而有

274

x1，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得 x1

4

2727 164

x1 0, x3 2x2和S2=x24，又x2 2x1 0，所以S2=

44S1

2x1

(x3-3x12x+2x13)dx=

因此有

S11

=。 S216

'

（Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0)的图象为曲线C，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式

b'

的实数x1，曲线C与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点 3a

P2(x2,g(x2))，曲线C与其在点P2(x2,g(x2))处的切线交于另一点P3(x3,g(x3))，线段

P1P2,P2P3与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则

证明如下：

S1

为定值. S2

bb

，g( ))平移至3a3a

（ 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心

坐标原点，因而不妨设g(x)=ax3+hx(x 0)，类似（i）（ii）的计算可得

S1=

27427 164S1

x1，S2=x1 0,故1=。 44S216

21、（1）

c 0 2 a 1

2 ad 0 b 1

【解析】（Ⅰ）由题设得 ，解得 ；

bc 0 2 c 2 2b d 0 d 2

（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y 3x上的两（0，0），（1，3），

1 1 0 0 1 1 1 2

由 ，（1，3）在矩阵M所对应 ， 得：点（0，0） 11 0 0 11 3 2

的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而

直线y 3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y x。 （2）选修4-4：坐标系与参数方程

【解析】

（Ⅰ）由

得x2 y2

0,即x2 (y2 5.

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（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C

的直角坐标方程，得(3

22) ) 5，

22

即t2 4

0,由于 2 4 4 2 0，故可设t1,t2是上述方程的两实根，

t t 又直线l过点P故由上式及t的几何意义得： 所以 12

tt 4 12

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t

2= （3）选修4-5：不等式选讲

【解析】（Ⅰ）由f(x) 3得|x a| 3，解得a 3 x a 3， 又已知不等式f(x) 3的解集为 x| 1 x 5 ，所以

a 3 1

，解得a 2。

a 3 5

（Ⅱ）当a 2时，f(x) |x 2|，设g(x)=f(x) f(x 5)，于是

2x 1,x< 3

g(x)=|x-2| |x 3|= 5, 3 x 2，所以

2x 1,x>2

当x<-3时，g(x)>5；当-3 x 2时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m041.html