高考理科数学二轮专题复习专题检测：(十四) 点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析(1)

专题检测（十四）点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：选B若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF 和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要条件．

2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：

①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中正确的命题是()

A．①②B．②③

C．①④D．②④

解析：选B两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．

3．如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

解析：选B A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC ?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B 中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.

4．已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：

①若b?α，a?α，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件；

②若a?α，b?α，则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要条件．

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判断正确的是()

A．①②都是真命题

B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题

D．①②都是假命题

解析：选B若b?α，a?α，a∥b，则由线面平行的判定定理可得a∥α，反过来，若b?α，a?α，a∥α，则a，b可能平行或异面，则b?α，a?α，“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件，①是真命题；若a?α，b?α，α∥β，则由面面平行的性质可得a∥β，b∥β，反过来，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，则α，β可能平行或相交，则a?α，b?α，则“α∥β”是“a∥β，b∥β”的充分不必要条件，②是假命题，选项B正确．5．(·惠州三调)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正

方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确的有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：选B将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，

PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为

B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE与AF是异面直线，②

正确；因为EF∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF

∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.

)

6．在下列四个正方体中，能得出异面直线AB⊥CD的是(

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二、填空题

7．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，EB ＝2DC ，P ，Q 分别为AE ，

AB 的中点．则直线DP 与平面ABC 的位置关系是________．

解析：连接CQ ，在△ABE 中，P ，Q 分别是AE ，AB 的中点，所以

PQ 綊12EB .又DC 綊12EB ，所以PQ 綊DC ，所以四边形DPQC 为平行四边形，所以DP ∥CQ .又DP ?平面ABC ，CQ ?平面ABC ，所以DP ∥平

面ABC .

答案：平行

8．如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF

⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D -AEF 体积的最大值为

________．

解析：因为DA ⊥平面ABC ，所以DA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，DA ∩AC ＝

A ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AF .又AF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，所以

AF ⊥平面DCB ，所以AF ⊥EF ，AF ⊥DB .又DB ⊥AE ，AE ∩AF ＝A ，所以DB ⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D -AEF 的高．因为AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，所以AE ＝2，

设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF 的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12

，所以三棱锥D -AEF 的体积V ≤13×12×2＝26

(当且仅当a ＝b ＝1时等号成立)． 答案：26

9．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠

ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要

使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．

解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ?平面C 1DF ，所以AB 1

⊥DF .

由已知可以得A 1B 1＝2，

设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12

h . 又2×2＝h 22＋(2)2，

第4页 共6页 所以h ＝233，DE ＝33

. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝

????222－????332＝66. 由面积相等得66× x 2＋????222＝22

x ，得x ＝12. 即线段B 1F 的长为12

. 答案：12

三、解答题

10．(·江苏高考)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，

平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .

求证：(1)EF ∥平面ABC ；

(2)AD ⊥AC .

证明：(1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，

所以EF ∥AB .

又因为EF ?平面ABC ，AB ?平面ABC ，

所以EF ∥平面ABC .

(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，

平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，

BC ?平面BCD ，BC ⊥BD ，

所以BC ⊥平面ABD .

因为AD ?平面ABD ，

所以BC ⊥AD .

又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，

所以AD ⊥平面ABC .

又因为AC ?平面ABC ，

所以AD ⊥AC .

11．(·安徽名校阶段性测试)如图所示，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C ，D 的点，AE ＝3，圆O 的直径CE ＝9.

(1)求证：平面ABE ⊥平面ADE ；

(2)求五面体ABCDE 的体积．

解：(1)证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD ?圆O 所在平面，∴AE ⊥CD .

第5页 共6页 又CD ⊥DE ，AE ∩DE ＝E ，AE ?平面ADE ，DE ?平面ADE ，

∴CD ⊥平面ADE .

在正方形ABCD 中，CD ∥AB ，

∴AB ⊥平面ADE .

又AB ?平面ABE ，

∴平面ABE ⊥平面ADE .

(2)连接AC ，BD ，设正方形ABCD 的边长为a ，则AC

＝2a ， 又AC 2＝CE 2＋AE 2＝90， ∴a ＝35，DE ＝6，

∴V B -ADE ＝13

BA ·S △ADE ＝13

×35×????12×3×6＝9 5. 又AB ∥CD ，CD ?平面CDE ，

∴点B 到平面CDE 的距离等于点A 到平面CDE 的距离，即AE ，

∴V B -CDE ＝13AE ·S △CDE ＝13

×3×????12×35×6＝95， 故V ABCDE ＝V B -CDE ＋V B -ADE ＝18 5.

12．(·郑州第二次质量预测)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13

AB ＝1.现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC .

(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?

(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离．

解：(1)当AP ＝13

AB 时，有AD ∥平面MPC . 理由如下：

连接BD 交MC 于点N ，连接NP .

在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12

， 在△ADB 中，AP PB ＝12

，∴AD ∥PN . ∵AD ?平面MPC ，PN ?平面MPC ，

∴AD ∥平面MPC .

(2)∵平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ，AM ⊥DM ，∴AM ⊥平

第6页 共6页 面MBCD .

∴V P -MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝16

. 在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52

，MC ＝2， 又PC ＝ ????122＋12＝52

， ∴S △MPC ＝12

×2× ????522－????222＝64. ∴点B 到平面MPC 的距离为

d ＝3V P -MBC S △MPC ＝3×166

4

＝63.

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