复摆振动研究实验论文周久龙(0102)

复摆振动研究论文

实验论文

复摆振动的研究

姓名：周久龙

学号：200902050102

班级：09物理

学院：理学院

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复摆振动研究论文

复摆振动的研究

姓名：周久龙 学号：200902050102 专业：物理学 班级：09物理 学院：理学院

摘要：复摆又称为物理摆，是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动

的动力运动体系——简谐振动。通过复摆物理模型的分析，可以用来测量重力加速度、测量物体的转动惯量以及验证平行轴定理等。

关键字：重力加速度、回转半径、转动惯量

引言：通过复摆实验的研究，更加深入的了解复摆的使用方法。经过测量计算，

可以算出当地的重力加速度及复摆本身的会转半径和转动惯量。本实验就是力热部分实验的 一个重要试验，也是大学物理中不可或缺的一次实验。通过实验让大家更加了解物理，更加懂得如何做好一个实验。

实验目的：1.考查复摆振动时周期与质心到交点距离的关系。

2.测出重力加速度，回转半径和转动加速度。

实验仪器：复摆、米尺、停表、天平

实验原理：刚体绕固定轴O在竖直平面内作左右摆动，C是该物体的质心，与轴

的距离为h，?为其摆动角度 。若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有：

M??mgsin?h

若?很小时（?在5以内）近似有

M??mgh? （6-1）

又据转动定律，该复摆又有

?? （6-2） M?I?其中I为该物体转动惯量。由（6-1）和（6-2）可得

?????? （6-3） ?O020其中?20?mghI。此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆周期为

T?2?Imgh （6-4）

设Ic为转轴过质心且与O轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知

I?Ic?mh2 （6-5）

代入(6-4)式得：

1

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T?2?Ic?mhmgh2 （6-6）

由此可见，周期T是质心到回转轴距离h的函数，且当h?0或h??时，T??。因此，对下面的情况分别进行讨论：

（1）h在零和无穷大之间必存在一个使复摆对该轴周期为最小的值，此时所对应h值叫做复摆的回转半径，用R表示。由（6-6）式和极小值条件

IcmdTdh?0得：

R?hT?Tmin? （6-7）

代入公式（6-7）又得最小周期为

Tmin?2?2Rg （6-8）

（2）在h?R两边必存在无限对回转轴，使得复摆绕每对回转轴的摆动周期相等。而把这样的一对回转轴称为共轭轴，假设某一对共轭轴分别到重心的距离为

h1、h（h211?h2），测其对应摆动周期为T、T。将此数据分别代入（6-6）式并利

12用T?T2得：

Ic?mh1h2T?2?g （6-9） （6-10）

h1?h2

把公式（6-10）与单摆的周期公式T?2?lg

1比较可知，复摆绕距的重心为h（或

点的单摆周期

其共轭轴h）的回转轴的摆动周期与所有质量集中于离该轴为h21?h2相等，故称h1＋h2为该轴的等值摆长。可见，实验测出复摆的摆动周期T及该轴

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的等值摆长h1＋h2，由公式（6-10）就可求出当地的重力加速度g的值。

本实验所用复摆为一均匀钢板，它上面从中心向两端对称地开一些小孔。测量时分别将复摆通过小圆孔悬挂在固定刀刃上，如图所示，便可测出复摆绕不同回转摆动的周期以及回转轴到质心的距离，得到一组T、h数据，作T?h图，如图所示，从而直观地反映出复摆摆动周期与回转轴到质心距离的关系。

由于钢板是均匀的，复摆上的小圆孔也是对称的，所以在摆的质心两侧测T随h的变化也是相同的，则实验曲线必为两条。在曲线上最低的两点E、F，这两点的横坐标h?R?12EF为回转半径，纵坐标就振动周期最小值。如图，取一周

期为T值（H点）处引一直线MN平行于横轴，交曲线于A、B、C、D四点，把这四点分成A、C和D、F两组，在摆杆上每一组中两点都位于质心C的两旁，并与质心处在同一直线上，不难看出：AH?HD?h1，BH?HC?h2，AC?BD?h1?h2为复摆在相应周期下的等值摆长，点A和C的、B和D具有共轭性，通过它们的回转轴为共轭轴。

实验步骤：

1、选择不同的支点位置，测出支点到G点的距离h，每个支点测h三次，求平均值。

2、测定重心G的位置。将复摆水平放在支架的刀刃上，复摆静止不动或左右摆动幅度相同时的支点位置为质心G点。（因所给复摆为匀质摆，所以可以用杠杆原理寻找G点）

3、用秒表测出复摆在不同支点处的振动周期，用振动30次的时间来计算周期，每个支点处测周期三次，求平均值。

4、利用所测得的T和h值可得几组成部分（x，y）值，用最小二乘法求出拟合直线y?A?Bx4?g的A、B值，计算A和B

25、由B?得g?4?B2 ，由A?4?g2k2 得k?Ag2?

6、计算 g、k的不确定度及相对误差 7.整理实验器材。

实验数据：

用米尺测出h值，再用秒表测出相应的t值，摆动30T所用时间。

SGa=50.00cm表一，对于a端，（最小分度值1mm），摆动周期30T，复摆M=2.244g(最

小刻度0.02kg)。

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t/s h/cm 45.98 42.90 38.95 35.50 31.98 28.98 25.08 21.60 18.15 14.69

30T 1 48.28 47.44 46.97 46.25 46.00 45.69 45.91 46.78 48.13 50.62 2 48.19 47.44 46.81 46.25 45.93 45.75 46.00 46.62 48.21 50.81 3 48.18 47.41 46.94 46.28 45.87 45.81 46.08 46.75 48.19 48.19 4 48.16 47.55 46.69 46.22 45.93 45.78 46.00 46.69 48.17 50.66 ?T 1.607 1.582 1.562 1.542 1.531 1.525 1.533 1.557 1.606 1.691 表二，对于b端所测数据，摆动30T，SGb=50.00cm。 t/s h/cm 45.98 42.90 38.99 35.52 32.09 28.55 25.13 21.15 18.12 14.76 30T 1 48.34 47.56 46.75 46.25 45.91 45.77 46.00 46.82 48.22 50.88 2 48.28 47.44 46.66 46.28 45.78 45.75 45.81 46.75 48.15 50.67 3 48.18 47.31 46.84 46.25 45.79 45.70 45.94 46.77 48.10 50.70 4 48.18 47.34 46.75 46.31 45.82 45.68 46.02 46.80 48.19 50.82 ?T 1.608 1.580 1.558 1.542 1.528 1.524 1.531 1.560 1.606 1.692 数据处理：

对表一，表二实验数据进行处理，作h-T图，可得。

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B A

（1） 由表一，表二数据可以做如上的h-T图，由图可看出： 复摆的回旋半径R=0.5AB=28.77cm 同时可求出其对应的最小周期Tmin=1.524s 所以根据实验原理中公式：g g=9.8453m再根据R=

Icm2?8?RTmin22可得：

/s

?mR2，求出转动惯量IG?2.244?0.28772?0.1857mkg2

（2）利用最小乘法求摆杆的回旋半径，重力加速度和通过质点的转动惯量。 利用最小二乘法处理数据如下表： 项目 2222Xi?hTi xi xiyi yi?hi yi 次数 1 118.7410 2114.1604 4469674.20 14099.43 251037.53 2 107.3669 1840.4100 3387108.97 11527.64 197599.12 3 95.0319 1517.1025 2301599.99 9031.07 144173.13 4 84.4106 1260.2500 1588230.06 7125.15 106378.46 5 74.9599 1022.7204 1045957.02 5618.98 76663.02 6 67.3966 839.8404 705331.90 4542.30 56602.39 7 58.9402 629.0064 395649.05 3473.95 37073.76 8 52.3638 466.5600 217678.23 2741.97 24430.85 9 46.8131 329.4225 108519.18 2191.47 15421.29 10 42.0058 215.7961 465567.96 1764.49 9064.69 11 118.8889 2114.1604 4469674.20 14134.55 25135020 12 107.0956 1840.4100 3387108.97 11469.46 197099.81

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13 14 15 16 17 18 19 20 求和 平均值 94.6186 84.4582 74.9232 66.3095 58.9807 51.4706 46.7358 42.2559 1493.7668 74.6883 1519.4404 1261.6704 1029.7700 815.1025 631.5169 447.3225 328.3344 217.8600 20440.8600 1022.043 2308699.13 8952.69 143767.32 1591812.20 7133.18 106558.41 1060422.34 5613.49 77153.66 664392.09 4396.96 54049.04 398813.60 3478.72 37247.31 200097.42 2649.23 23023.96 107803.48 2184.23 15344.97 4746.93 1785.56 9205.87 28459886.9 123914.52 1833244.79 1422994.35 6195.73 91662.24 由上表可求：y=A+Bx a. 相关系数：?b. 求B和A： B=

xy?x?yx22?(x2xy?x?y?x)(y22?y)2=1.0029

?0.2483m/s A=y?Bx?1003.979cm22

?xc. A、B的标准偏差：

SB?1??2n?2?B??0.00667 ； SA?x?SB?0.0576

d. g的标准不确定度U（g）

Sgg?SBB?Sg?u(g)?0.02686g

由B?g4?2可得出：g?4?2?B?9.7926m/s，u(g)?0.26m/s

222所以：g?(9.79?0.26)m/s

IG?mR2?2.244?0.31682?0.2252kg?m2

根据h-T图可求出回旋半径R和g值，还有转动惯量IG的值与利用最小二乘法，所求得的值进行比较：（1）中所求的R=28.77cm,(2)中所求的R=31.68cm，两种方法所求的R值存在偏差?%，则相对（1）中的偏差：

31.68?28.77?%=

28.77?100%=10.11%，相对于（2）的偏差：

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?%=

31.68?28.7731.689.79?9.859.85?100%?9.19%，。对于g来说：相对于（1）中g的偏差：

?%=

?100%?0.61%，对于转动惯量的

IG的偏差：

?%=

0.1857?0.22520.1857?100%?21.27%

实验讨论：

1. 实验中采用约为一米长的复摆，密度并不均匀，会引起误差。

2. 摆动角度小于5度时测量较为准确。

3. 由于仪器使用时间过长，孔边缘有磨损，引入误差。 4. 采用多次测量求平均值的方法减少误差。

5. 测量结果与标准值有一定差距，不仅与复摆自身有关还操作有关。

参考文献：

1. 杨述武，赵立竹，沈国土，普通物理实验力学、热血部分.北京：高等教育出版社.2009.P100-P111.

2. 余红.大学物理实验[M].北京科学出版社.2007.

3. 周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社.2009.7.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lzn3.html