高考数学二轮总复习专题训练四导数与积分的概念及运算、导数的应

高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用

班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．(2011·全国)曲线y＝e的面积为( )

1

A. 32C. 3解析：

1B. 2D．1

－2x

＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形

y′＝－2e

－2x

，y′|x＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y－2＝－2x，即2x＋y－2＝0

??y＝x由?

?2x＋y－2＝0?

2x＝??3得?2

y＝??3

?22?，A?，?，

?33?

121S△ABO＝·＝.

233答案：A

2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A．(－1,1)

B．(－1，＋∞)

1

C．(－∞，－1)

解析：f(x)>2x＋4，即f(x)－2x－4>0.

D．(－∞，＋∞)

构造F(x)＝f(x)－2x－4，F′(x)＝f′(x)－2>0.

F(x)在R上为增函数，而F(－1)＝f(－1)－2x(－1)－4＝0.x∈(－1，＋∞)，F(x)>F(－1)，∴x>－1.

答案：B

3．(2011·烟台市高三年级诊断性检测)设a＝?π(sinx＋cosx)dx，则(ax－

1x

?0

)的

6

二项展开式中含x的系数是( )

A．192 C．96

B．－192 D．－96

π

2

解析：因为a＝?π(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| 0＝

?0

(－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2，所以(ax－

1

)＝

x

6

r?2x－1?6rr6－r6－rrr6－r3－r

??，则可知其通项Tr＋1＝(－1)C62x2－2＝(－1)C62x，令3－r＝2

x??

?r＝1，所以展开式中含x项的系数是(－1)C62

答案：B

13272

4．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x－x－x，则f(－a)与f(4)的大小

22关系为( )

A．f(－a)≤f(4) B．f(－a)

D．f(－a)与f(4)的大小关系不确定

2222

2

rr6－r

＝(－1)C62

116－1

＝－192，故答案选B.

1327

解析：∵f(x)＝x－x－x，

22

2

327

∴f′(x)＝x－2x－.

22

17

由f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x＝.

23当x<－1时，f(x)为增函数； 7

当－1

37

当x>时，f(x)为增函数，

3

计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a≤0，由图象可知 f(－a)≤f(4)． 答案：A

5．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x＋bx－3x＋1(b∈R)在x＝x1和x＝x2(x1>x2)处都取得极值，且x1－x2＝2，则下列说法正确的是( )

A．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极小值 B．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极大值 C．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极小值 D．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极大值

解析：因为f(x)＝x＋bx－3x＋1，所以f′(x)＝3x＋2bx－3，由题意可知f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，即x1，x2为方程3x＋2bx－3＝0的两根，所以x1－x2＝

22

1

3

2

23

2

2

2

＋x2

2

－4x1x2

4b＋3632

＝，由x1－x2＝2，得b＝0.从而f(x)＝x－3x＋1，f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x

3－1)，由于x1>x2，所以x1＝1，x2＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，所以f(x)在x1＝1处取极小值，极小值为f(1)＝－1，在x2＝－1处取极大值，极大值为f(－1)＝3.

答案：B

π1＋sinx1

6．(2011·合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x1，x2∈(0，)，x2>x1，y1＝，

2x1

1＋sinx2

y2＝，则( )

x2

A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1

D．y1，y2的大小关系不能确定

1＋sinxxcosx－sinx－1

解析：设f(x)＝，则f′(x)＝ 2

xx

3

＝

－2x－1π

.当x∈(0，)时，x－tanx<0，故f′(x)<0，所以f(x)在(0，

2

π

)上是减函数，故由x2>x1得y2

答案：B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 7．(2011·广东)函数f(x)＝x－3x＋1在x＝________处取得极小值． 解析：由f′(x)＝3x－6x＝3x(x－2)＝0，解得x1＝0，x2＝2 当x<0时，f′(x)>0，当02时，f′(x)>0. ∴当x＝2时，f(x)有极小值是f(2)＝2－3×2＋1＝－3. 答案：2

2

8．(2011·潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{an}的首项为，且a4＝?4(1

3?

1

3

2

2

3

2

＋2x)dx，则公比等于________．

2243

解析：?4(1＋2x)dx＝(x＋x)|1＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a4＝18＝·q?q＝3.

3?

1

答案：3

9．(2009·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝3x＋2x＋1，若?1f(x)dx＝2f(a)成立，

2

?-1

则a＝________.

解析：因为?1f(x)dx＝?1 (3x＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1＝4，所以2(3a＋2a＋1)

2

3

2

1

2

?-1?-1

1

＝4?a＝－1或a＝. 3

1

答案：－1或 3

12x

10．(2009·山东省高考调研卷)曲线y＝＋2x＋2e，直线x＝1，x＝e和x轴所围成

x的区域的面积是________．

112x2xe2e2xe2e

解析：?e(＋2x＋2e)dx＝?edx＋?e2xdx＋?e2edx＝lnx|1＋x|1＋e|1＝e.

?x?x??

1

1

1

1

答案：e

三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

2e

4

x2

11．(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)e k (1)求f(x)的单调区间；

1

(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．

ex

122

解：(1)f′(x)＝(x－k) e k

k令f′(x)＝0，得x＝±k

当k>0时，f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) (－x，－k) ＋ －k 0 2－1(－k，k) － k 0 (k，＋∞) ＋ f(x) ↗ 4ke ↘ 0 ↗ 所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)，(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．

当k<0时，f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) (－∞，k) － k 0 (k，－k) ＋ －k 0 2－1(－k，＋∞) － f(x) ↘ 0 ↗ 4ke ↘ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)，(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)． k+1

11

(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e k >，所以不会有?x∈(0，＋∞)，f(x)≤

ee4k

当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝ e14k11

所以?x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.解得－≤k<0.

eee21?1?故当?x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是?－，0?. e?2?

alnxb

12．(13分)(2011·课标)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的

x＋1x

2

2

5

切线方程为x＋2y－3＝0.

(1)求a，b的值；

lnxk

(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>＋，求k的取值范围．

x－1x

?1＋x－lnx?a???x?b

解：(1)f′(x)＝－2. 2

＋x

1

由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，

2

??故???

＝1，

1

＝－

2

b＝1，??，即?a1

－b＝－.?2?2

2

解得a＝1，b＝1.

lnx1

(2)由(1)知f(x)＝＋，所以

x＋1x

?lnx＋k?＝1?2lnx＋f(x)－???

?x－1x?1－x2?

考虑函数h(x)＝2lnx＋则h′(x)＝

－

x

22

－

x

2

－

?. ??

－

x

＋

－

(x>0)，

＋2x

. 2

(ⅰ)设k≤0，则h′(x)＝

＋

－2x

－

2

知，当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)

1

＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)>0，可得2h(x)>0；

1－x

1

当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得2h(x)>0.

1－x从而当x>0，且x≠1时，f(x)－?(ⅱ)设0

?lnx＋k?>0，即f(x)>lnx＋k. ?x－1x?x－1x?

?

?

1?2

时，(k－1)·(x＋1)＋2x>0，故h′(x)>0.而h(1)?1－k?

1?1?＝0，故当x∈?1，时，h(x)>0，可得?2h(x)<0，与题设矛盾． 1－x?1－k?

1

(ⅲ)设k≥1，此时h′(x)>0，而h(1)＝0，故当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，可得2

1－xh(x)<0，与题设矛盾．

综合得，k的取值范围为(－∞，0]．

6

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lza7.html