层次分析法综述

层次分析法综述

摘要：层次分析法(AHP法) 是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。本文从层次分析法的基本概念出发，通过层次分析法的建模分析与对比，更加深入学习和了解层次分析法。 关键词：层次分析法 层次结构模型 判断矩阵 权重

1、概述

1.1层次分析法的概念

层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法，是对方案的多指标系统进行分析的一种层次化、结构化决策方法，它将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化。应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。 1.2层次分析法的特点 一、层次分解性

层次分析法首先找出问题所牵连的主要因素，将复杂系统的各个因素按它们的关联隶属关系，层层分解，构建有层次的结构形成阶梯层次模型，从而可以将复杂的问题分解成若干层次，在把问题变得比原来简单得多的情况下加以分析。 二、定量与定性相结合

层次分析法是系统分析中对非定量事件做定量分析的一种新的决策方法。在将复杂问题进行分解的前提下，确定思维判断的相对标

度，并将人们的主观判断按照此准则做数量形式的表达、处理和分析，从而实现定性向定量的转变。 2、层次分析法的产生与发展

传统的常用的研究自然科学和社会科学的定量方法有： 函数分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；

统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。

定量分析方法对于社会科学的发展产生了巨大的促进作用，因此越来越受到重视，特别是最优化模型，曾一度在决策问题中得到非常广泛应用。但在应用过程中，也出现了一些问题，主要体现在以下几个方面。

第一，社会问题的复杂性决定了难以构造合适的模型。即使构造出数学模型，有时也难以准确说明问题或者难以执行；

第二，决策问题带有相当多的主观性，而这很难体现在最优化模型中； 第三，庞大的模型成本太大，难以理解；

由于存在上述问题，人们重新思考数量方法在社会科学中的作用，特别是对于决策问题，如何既考虑数学分析的精确性，又考虑人类决策思维过程及思维规律，即定性与定量相结合，正是在这种背景下，产生了层次分析法。

层次分析法是由美国运筹学家T·L·Satty教授于本世纪70年代提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。它的特点是把复杂问题中的各种因素通过划分为相互联系的有序层次，使之条理化，根据对一定客观现实的主观判断结构(主要是两两比较)把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效地结合起来，将一层次元素两两比较的重要性进行定量描述。而后，利用数学方法计算反映每一层次元素的相对重要性次序的权值，通过所有层次之间的总排序计算所有元素的相对权重并进行排序。层次分析法吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

层次分析法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各

种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。

3、层次分析法建模 3.1层次分析法概述

人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。

层次分析法(AHP法) 是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。 3.2层次分析法的基本原理

层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的

相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。 3.3层次分析法的步骤和方法

运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤： 一、建立层次结构模型

建立层次结构模型就是分析系统中各个因素的相互关系、逻辑归属以及重要性，进行分层排列，构成一个自上而下的阶梯层次结构。本文利用AHP法确定评估指标的权重，树状层次结构模型就是绩效考评指标体系。

首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型，一个决策系统大体可以分成三个层次：

①最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；

②中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则；

③最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。

图1 层次分析法示意

那么，针对绩效评估体系的一般理论，我们可以得到下面的递阶决策系统：

①最高层（目标层）：被评估的岗位； ②中间层（准则层）：绩效评估一级指标； ③最低层（指标层）：绩效评估二级指标。

图2 基于层次分析法的绩效评估指标体系

二、确定思维判断定量化标度

在确定了比较准则以及备选的方案后，需要比较若干个因素对同一目标的影响，从而确定它们在目标中占的比重。两个因素（指标）哪个比哪个重要，重要到什么程度是一个模糊的概念，人们在判断、比较时，为了实现定性向定量的转化，需要有定量的标度。

如绩效评估指标体系设计问题中，几个一级指标对于不同决策者在进行决策是肯定会有不同的重要程度，而不同的方案在相同的准则上也有不同的适合程度表现。层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。

层次分析法里，有一种1-9标度法，可以来表示不同指标间的重要程度。设要比较n个因素Y={y1，y2，y3，…，yn}对同一目标的影响，每次取两个因素yi和yj，aij表示y i与yj对目标的影响程度之

比，其中aij的取值由Saaty的1-9值法决定

表1 成对比较法的标度含义

标度 1 3 5 7 9

2，4，6，8

倒数

含义

表示两个因素相比，具有同样重要性

表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要

表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要

表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要

表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要

上述两相邻判断的中值

因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij

采用1-9标度方法是将思维判断数量化的一种好方法，因为，人们在区分事物质的差别时，总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言，再进一步细分，可以在相邻的两级之间插入折衷的提法，因此，1-9级的标度对于大多数决策判断来说都是适用的；

另外从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适，可反映多数人的判断能力；

利用1-9比例标度在同一准则下对元素进行两两比较，并不要求对比较元素的属性有专门的指示，适用于普通非专业人员使用。同时，它也允许违反基本一致性和次序一致性，而出现这种判断上的不一致性更符合客观实际。

三、构造判断(成对比较)矩阵

通过相互比较，确定下一层各因素对上一层目标的影响的权重，将定性的判断定量化，即构造因素判断矩阵。

接下来定义：若矩阵A=（aij）n×n满足 （i）aij﹥0，（ii）aji=1/aij（i，j=1，2，…，n） 则称之为正互反矩阵(易见aii=1，i=1，2，…，n)。

当aij﹥1时，对目标来说指标i比指标j重要,其数值大小表示重要的程度。

同时必有aji=（1/aij）≤1，对目标来说指标j比指标i不重要，其数值大小表示不重要的程度。那么称矩阵A=（aij）为因素判断矩阵。

参加咨询的每位专家各构造一组判断矩阵。按照本文构建的绩效评估指标体系，每位咨询专家需构建不同层次的判断矩阵。这些矩阵应由工作人员制成相应的矩阵表，发给每个专家，由他们按照1-9标度准则加以判断和标度。专家构造判断矩阵（即有标度数据的判断矩阵），如对于5项绩效评估指标

A1、A2、A3、A4、A5，如果认为A1和A2相比略微重要，则在第一行第二列交叉处记做1/2，在第二行第一列交叉处记做2。另外，第一行第一列、第二行第二列、第三行第三列、第四行第四列、第五行第五列均记1，这样就可以编制出绩效评估指标权重一览表，如下所示：

表2 层次分析法指标取值示意

A1 A2 A3 A4 A5 A1 1 1/2 1/7 1/5 1/5 A2 2 1 1/4 1/3 1/3 A3 7 4 1 2 3 A4 5 3 1/2 1 1 A5 5 3 1/3 1 1 上表实际可构造为矩阵形式：

此处将因素判断矩阵表述为两种形式的意义在于：二维表格能直接运用于Excel环境之下，数字矩阵可以直接使用Matlab软件进行运算。

四、计算对目标的权向量

层次间排序是计算各判断正互反矩阵的最大值及其所对应的特征向量，得出每个层次内部的排序数值，获得指标层对于目标层的重要性数据序列，从而获得最终结果。

一致性正互反矩阵A相应于特征值n的归一化的特征向量ω=（ω1，ω2，…，ωn)，（∑ωi=1）正反映了n个因素y={y1，y2，y3，…，yn}在目标z中所占比重，称为因素Y={y1，y2，y3，…，yn}对目标的权向量。

步骤如下：先解出判断矩阵A的最大特征值λmax，再利用公式 A ω=λmax ω

解出λ所对应的特征向量ω，经过归一化后，即可得到所需要的

某层次相对于上层次的排序权重值。

用Matlab程序求因素对目标的判断矩阵A的特征值与特征向量 相关运算命令为[V，D]=eig(A) A有特征根λ1=5.019

相应特征向量为ω=(0.48,0.26,0.05,0.10,0.11) T

在Eecel中也可以利用公式逐行求出各评估指标的权重，如下表所示：

表3 层次分析法权重确定表

A1 A2 A3 A4 A5 合计 A1 1 1/2 1/7 1/5 1/5 2 A2 2 1 1/4 1/3 1/3 3+3/4 A3 7 4 1 2 3 17 A4 5 3 1/2 1 1 10+1/2 A5 5 3 1/3 1 1 10+1/3 权重 0.48 0.26 0.05 0.10 0.11 1 五、一致性分析

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。

比如，在绩效评估的体系当中，如果对诸多指标的重要程度进行排序，认为指标1显著大于指标2，指标2显著大于指标1，指标3却和指标1同等重要。这显然是不成立的，也就是说，标准比较混乱，出现了问题，数据是含有内在矛盾的。因此有必要对这些数据进行量

化和一致性检验。

上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：

aij×ajk=aik(i，j，k=1，2，…，n)

上述公式表明对各个因素所作的两两比较是可传递的。 定理1：n阶正互反矩阵A是一致性的当且仅当其最大特征值为n。

定理2：正互反矩阵具有模最大的正实数特征值λ1，其重数为1，且相应特征向量为正向量。

为刻画n阶正互反矩阵A=（aij）与一致性接近的程度,定义一致性指标(Consensus index):

CI=(λ1-n)/(n-1)

CI=0， A有完全的一致性。CI接近于0，A有满意的一致性。 Saaty又引入平均随机一致性指标RT

表4 N维向量平均随机一致性指标

n RI 1 0 2 0 3 0.58 4 0.90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45 当CR=CI/RI﹤0.1时,认为A有满意的一致性。

此时取A的相应于λ1的归一化特征向量ω=（ω1，ω2，…，ω（∑ωi=1）为因素{y1，y2，y3，…，yn}对目标的权向量。由ωn)，

（ω1，ω2，…，ωn)分量ωi的大小可以对因素的重要性排序。

=

3.4应用层次分析法的注意事项 一、层次分析法的优点

系统性：将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；

实用性：定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性；

简洁性：计算简便，结果明确，具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，容易被决策者了解和掌握。便于决策者直接了解和掌握。 二、层次分析法的局限

囿旧：只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案；

粗略：该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题；

主观：从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。 4.结论

AHP 方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP的缺点进行了

改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。已在经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等广泛应用。

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