配套K12高中数学人教A版选修1-1习题：第三章导数及其应用3.2

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3.2 导数的计算

1.函数f(x)=(2πx)2的导数是( )

A.f'(x)=4πx B.f'(x)=4π2x C.f'(x)=8π2x

D.f'(x)=16πx

解析:∵f(x)=4π2x2,∴f'(x)=2×4π2x=8π2x. 答案:C 2.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a的值为( A.1

B

解析:f'(x)=2ax,由f'(1)=2知2a=2,∴a=1. 答案:A 3.曲线y=xln x在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=x-1 D.y=x+1

解析:∵y=xln x,

∴y'=ln x+1,则切线斜率k=y'|x=1=1. ∴切线方程为y=x-1. 答案:C 4.下列结论不正确的是( )

教案试题

课时过关·能力提升

基础巩固

) 最新K12教育

A.若y=3,则y'=0 B.若f(x)=3x+1,则f'(1)=3 C.若y= 则

D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x

解析:利用求导公式和导数的加、减运算法则求解.

D项,∵y=sin x+cos x,

∴y'=(sin x)'+(cos x)'=cos x-sin x. 答案:D 5.正弦曲线y=sin x上切线的斜率等于的点为

A

B - - 或

C ∈Z)

D ∈Z)或 - - ∈Z)

解析:y'=cos x,y x0 则x0=2kπ ∈Z),y0 或x0=2kπ ∈Z),y0=

答案:D 6.已知f(x)=x2+ex,则f'(0)= ;[f(1)]'= . 解析:∵f'(x)=2x+ex,∴f'(0)=1.

∵f(1)=1+e,∴[f(1)]'=0. 答案:1 0

教案试题

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7.已知f(x)=cos x,g(x)=x,则关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0的解集为 .

答案: ∈

8.在曲线y

上求一点 使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 则点 坐标为

解析:设点P(x0,y0),∵y'

∴tan 135°=-1=- 答案:(2,1) 9.曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为 ,切线的方程为 .

解析:∵y'=(ln x)' 曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为k

-

∴切线方程为y-1 即x-ey=0.

答案: 10.求下列函数的导数: (1)y=sin x-x+1; (2)y=-2ex·x3;

(3)y

解:(1)y'=(sin x-x+1)'=cos x-1.

(2)y'=(-2ex·x3)'=(-2ex)'x3+(-2ex)·(x3)'=-2x3ex-6x2ex. (3)y' -

)-

)

2

教案试题

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) 2.

11.已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?若存在,求出此公共点的坐标;若不存在,请说明理由.

解:不存在.理由如下:设y=sin x,y=cos x这两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),

则这两条曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=cos x0,k2=-sin x0.

若使两条切线互相垂直,必须有cos x0·(-sin x0)=-1,即cos x0·sin x0=1,也就是sin 2x0=2,这是不可能的,所以不存在公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.

能力提升

1.当函数y A.a C.-a

在 处的导数为 时 的值为

B.±a D.a2

- )

-

解析:y'

由 得x0=±a.

答案:B 2.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为 A

( )

解析:y'=ex,设切点为(x0,y0),则

·x0,∴x0=1,∴k=e. 答案:D 教案试题

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3.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可推得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于( ) A.f(x)

B.-f(x)

C.g(x)

D.-g(x)

解析:由所给三个函数的导数知,一个偶函数的导函数是奇函数.∵f(x)是偶函数,∴g(x)是奇函数.∴g(-x)=-g(x). 答案:D 4.若函数f(x)=logax,f'(1)=-1,则a= .

答案: 5.已知y

∈(-π,π),当

y'=2时,x= .

解析:y'

) )- )

)

) )

)

)

)

令 则cos x=

又x∈(-π,π),故x=

答案:

6.若f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x) … fn+1(x)=fn'(x),n∈N,则f2 016(x)= .

解析:因为f1(x)=(sin x)'=cos x,f2(x)=(cos x)'=-sin x,f3(x)=(-sin x)'=-cos x,f4(x)=(-cos x)'=sin x,f5(x)=(sin x)'=cos x,所以循环周期为4,因此f2 016(x)=f4(x)=sin x. 答案:sin x

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★7.已知f(x)=x2+2f - 则 -

解析:f'(x)=2x+2f -

令x= 则f - -

所以f -

答案: 8.求下列函数的导数: (1)f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5);

(2)f(x)

解:(1)∵f(x)=2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5,

∴f'(x)=10x4+32x3-15x2+4x+8.

(2)f'(x)

) ) ) )

★9.设曲线y=xn(1-x)(n∈N*)在(2,-2n)处的切线与x轴交点的横坐标为an,求a1·a2·a3 … an的值. 解:∵y=xn(1-x)=xn-xn+1,

∴y'=(xn)'-(xn+1)'=nxn-1-(n+1)xn.

∴当x=2时,导函数值为n·2n-1-(n+1)·2n=n·2n-1-2(n+1)·2n-1=-(n+2)·2n-1, 教案试题

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即曲线在x=2处的切线斜率为-(n+2)·2n-1.

∴曲线在(2,-2n)处的切线方程为y+2n=-(n+2)·2n-1(x-2). 令y=0,得an

)∴a1·a2·a3·…·an=2

)

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