中国矿业大学（徐州）理学院，2010级2011,12月份大二上学期，数学分析(3)复习题（ 简）2011

数学分析（3）复习题

一、 多元函数的极限、连续、微分学

1．讨论二元函数

?1, 0?y?x2 f(x,y)???0, 其它 在点(0,0)的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。 （注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。）参见P95例4等

?x2y2,?32．证明: f(x,y)??(x2?y2)2?0,?x2?y2?0x2?y2?0

在点(0,0) 处连续且偏导数存在， 但不可微 。

1?22(x?y)sin,x2?y2?0?3．证明函数f(x,y)?? x2?y2?0,x2?y2?0?在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在(0,0)不连续，而f在(0,0)可微． 参见：P117习题7

4．设u?f(,)，其中f为可微函数，求

参见：P123习题1

5．设u?u(x,y)可微，在极坐标变换x?rcos?,y?rsin?下，求

xyyz?u?u?u,,． ?x?y?z??u???u??的表达式。参见：P120例2 ????????x???y?6．设函数z?f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)?1,22?f?f?2,?x(1,1)?y?3,

(1,1)?(x)?f(x,f(x,x))，求

23d3?(x)． dxx?1?7．设f(x,y,z)?x?y?z，求f在点P) 0(1,1,1)的梯度及沿方向l:(2,?2,1的方向导数．

8．利用二元函数的泰勒公式证明:

1

?x?0,y?0和0???1有, x?y1????x?(1??)y.

进一步证明下面的Yong’s不等式: 若

1111??1(p?0,q?0), 则对?a?0,b?0有ab?ap?bq. pqpq提示: 对函数x?y1??在(1,1)点展开为一阶泰勒公式,再利用雅可比矩阵的半负定性. 最后取x?a,y?b,??pq1即可. p9．求函数f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值点和极植.

提示: 见课件;类似于教材P138例6; 利用极植的必要条件和充分条件.

10．求二元函数z?f(x,y)?x2y(4?x?y)在直线x?y?6,x轴和y轴所围成的闭区域

D上的最大值和最小值.

提示: 先求在区域D内的驻点,再求函数在直线x?y?6上的最值点,最后比较. 11．在xy平面上求一点,使它到三直线x?0,y?0及x?2y?16?0的距离平方和最小. 提示: 见教材P141习题 11.

二、隐函数定理及应用

dy1．已知：siny?e?xy?1?0，求

dxxd2y和2dxx?0

x?0提示：利用隐式方程求导法。答案：?1，?3。 2．设F(x,y)具有连续偏导数，已知F(,)?0，求dz。 提示：利用一阶全微分形式的不变性。答案：dz?xyzzz(F1?dx?F2?dy)。

xF1??yF2?3．设函数u?u(x,y)由方程组u?f(x,y,z,t),g(y,z,t)?0,h(z,t)?0所确定，求

?u?u和。 （见教材P158习题 6） ?x?y 2

4．已知：??u?f(ux,v?y)?u?v，求和。（见教材P158习题 2（3）） 2?x?x?v?g(u?x,vy)5．求球面x2?y2?z2?50与锥面x2?y2?z2所截出的曲线的点(3,4,5)处的切线和法平面方程。（见教材P161例 2）

6. 求旋转抛物面z?x2?y2?1在点P(2,1,4)处的切平面及法线方程。 7．教材P163 习题 9

8．求旋转抛物面z?x2?y2与平面x?y?2z?2之间的最短距离。 提示：点到平面的距离公式d?Ax?By?Cz?DA2?B2?C2，求在约束条件下d的极值。

2

答案：P0(,1117,)，dmin? 448469．在过点(2,1,)的所有平面中，求出与三个坐标平面围成立体体积最小的平面。 提示：设平面方程

13xyzabc???1，则体积V?，求V的极值可转化为求 abc6f(a,b,c)?lna?lnb?lnc的极值

答案：a?6,b?3,c?1,Vmin?3

三、含参量积分、重积分及其应用

1．设f(x)??x0dt?e?sds，求f?(x)和f(x)。

tx2答案：f(x)?111?x2?e，解题过程中要说明依据。 222．求I??0xb?xadx(0?a?b)，见教材P178例4 lnx3．计算

sinxdxdy，D是y?x,y?0,x??所围闭区域。 ??xD提示：考虑积分次序。答案：2 4．计算二次积分

?dx?132x?1siny2dy

3

提示：画出积分区域，转化为二重积分，交换积分次序。答案：

1/2yyx1yyyx1(1?cos4) 25．计算积分6．

?1/4dy?1/2edx??dy?1/2edx。（交换积分次序）

22，D:x?y?1,x?0,y?0 (x?y?2)dxdy??D提示：用直线y?x将D分成两部分去绝对值。答案：7．教材P236 例2

?2?(2?1) 23??2x?x2?y?4?x28．计算??(x?y)dxdy，D:? 0?x?2?D?22提示：用极坐标2cos??r?2,0???答案：9．计算

?2，

??/20sinxdx??n?/20cosnxdx??

5? 42?x??eD?y2dxdy，其中D:x2?y2?a2。（用极坐标计算）

其中V是y??1?x2?z2,x2?z2?1,y?1所围成。 y1?x2dV，

10．计算积分I????V 提示：用直角坐标或柱坐标，先沿着y轴方向穿针。 11．计算I????zdV，V是z?xV2?y2与z?1,z?2所围闭区域。

提示：用直角坐标，先二后一最简单。I?也可用其它方法，如用柱坐标：I?12．计算I??217zdz??dxdy???z2dz??

Dz132?2?0d??rdr?zdz??d??rdr?2zdz

0101r122?22???Vz(x2?y2)dxdydz，V由z?x2?y2，1?x2?y2?z2?4所围

提示：积分区域是球形区域的一部分，宜采用球坐标。答案：13．教材P250例5。

21? 1614．求球体x?y?z?R与x?y?z?2Rz公共部分的体积。[参见课件] 15．教材P253例1

16．设V是由曲线9x?z(3?z),0?z?3绕z轴旋转一周形成的旋转体，质量均 匀，求其重心。[参见课件]

17．求半径为R的均匀半圆薄片对其径的转动惯量。[参见课件]

222222222 4

四、曲线积分

1．I??Lx2?y2ds，L为x2?y2??2y在第四象限部分

要求按三种方法做：答案：4 [方法1] 直角坐标系，L:x??2y?y2,?2?y?0

[方法2] 参数方程，L:x?cost,y??1?sint,[方法3] 极坐标，L:r??2sin?,2．I???2?t??2

??2???0

?L(x2?y2?z2)ds，L为点A(1,?1,2)到点B(2,1,3)的直线段

提示：写出直线L的参数方程

???????????，r0?AB?(1,2,1)r(t)?OA?tr0

然后代公式计算。答案：96

3．计算球面上x2?y2?z2?a2,x?0,y?0,z?0的边界曲线的形心坐标（??1）。

xds4a??提示：由对称性x?y?z。答案：x?

3??dsLL4．I??Lx2ydx?y3dy，L是沿y3?x2和y?x所围封闭曲线正向。

提示：画草图如下，

I ? x ydx?ydy?L??23???OA?AO（可选y作参数）

1 或用 Green公式（试一下答案是否一样）

A答案：?

1 44O1?x2y2z25．力场F?(yz,zx,xy)，问质点从原点沿直线移到曲面2?2?2?1的第一卦限部

abc分上哪一点做的功最大，并求最大功。

提示：设(x0,y0,z0)是椭球面上一点，从原点沿直线移到点(x0,y0,z0)所作的功为

W??L????F?ds??yzdx?zxdy?xydz， L:r(t)?t(x0,y0,z0)

L 5

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