北师大版高中数学必修二模块综合测评（二）.docx

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模块综合测评(二) 必修2(北师大版)

(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题：本大题共10小题，共50分．

1．如图所示，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面3

ABC且3AA′＝2BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(左视时沿AB方向)是( )

A

B

C

D

解析：几何体的正视图是该几何体从前向后的正投影． 答案：D

2．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观3

图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝2，那么原△ABC中∠ABC的大小是( )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

解析：根据“斜二测画法”可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝3. 故原△ABC是一个等边三角形． 答案：C

4

3．已知直线l的倾斜角为α，若cosα＝－5，则直线l的斜率为( ) 3A.4 3C．－4

4B.3 4D．－3 4333

解析：由cosα＝－5得sinα＝5，所以tanα＝－4，即直线l的斜率为－4. 答案：C

4．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为( ) A．(－3,4，－10) 11??3??，－C.22，2? ?

B．(－3,2，－4) D．(6，－5,11)

解析：设点A关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为A′(x0，y0，z0)，则

??－2＋y

?2＝1，?4＋z

?2＝－3，

00

3＋x0

2＝0，

x0＝－3，??

∴?y0＝4，??z0＝－10.

∴A′(－3,4，－10)． 答案：A

5．已知平面α，β和直线a，b，若α∩β＝l，a?α，b?β，且平面α与平面β不垂直，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则( )

A．直线a与直线b可能垂直，但不可能平行 B．直线a与直线b可能垂直，也可能平行 C．直线a与直线b不可能垂直，但可能平行 D．直线a与直线b不可能垂直，也不可能平行

解析：①当a∥l；b∥l时，a∥b；②当a与b在α内的射影垂直时a与b垂直．

答案：B

6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1

的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1和DM所成角为( )

A．30° B．45° C．60° D．90°

解析：因为MN⊥DC，MN⊥MC， 所以MN⊥面DCM.

所以MN⊥DM.因为MN∥AD1， 所以AD1⊥DM. 答案：D

7．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( )

A．2 cm3 C．6 cm3

B．4 cm3 D．12 cm3

解析：由三视图知该几何体为三棱锥，它的高等于2，底面是等腰三角

11

形，底边边长等于3，底边上的高为2，所以几何体的体积V＝3×2×3×2×2＝2(cm3)．

答案：A

8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－2y＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k＝( )

A．0 B．1 C．2

D．3

解析：由???y＝kx＋1，

??x2＋y2＋kx－2y＝0，

得(1＋k2)·x2＋kx－1＝0， ∵两交点恰好关于y轴对称． ∴xxk

1＋2＝－1＋k2＝0.

∴k＝0. 答案：A

9．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为( )

A.3

3 B.233 C.433

D.533 解析：如图所示，连接OA，OB(O为球心)．

ASC

∵AB＝2，

∴△OAB为正三角形．

又∵∠BSC＝∠ASC＝45°，且SC为直径， ∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形． ∴BO⊥SC，AO⊥SC. 又AO∩BO＝O， ∴SC⊥面ABO.

∴VS－ABC＝VC－OAB＋VS－OAB 1＝3·S△OAB·(SO＋OC) 13

＝3×4×4×4 43

＝3，故选C. 答案：C

10．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是( )

A．[－1,1＋22] C．[1－22，3]

B．[1－22，1＋22] D．[1－2，3]

解析：曲线y＝3－4x－x2表示圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y＝x＋b经过点(0,3)时，b取最大值3，当直线与半圆相切时，

|2－3＋b|

b取最小值，由＝2?b＝1－22或1＋22(舍)，故bmin＝1－22，

2b的取值范围为[1－22，3]．

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共70分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．已知两条平行直线的方程分别是2x＋3y＋1＝0，mx＋6y－5＝0，则实数m＝__________.

231

解析：由于两直线平行，所以m＝6≠，∴m＝4.

－5答案：4

12．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为__________．

93

解析：原正四面体的表面积为4×4＝93，每截去一个小正四面体，3

表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×4＝23，故所得几何体的表面积为73.

答案：73

13．已知一个等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，另一顶点C的轨迹方程是__________．

解析：设点C的坐标为(x，y)，则由|AB|＝|AC|得?x－3?2＋?y－20?2＝

?3－3?2＋?20－5?2，

化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225.

因此顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)． 答案：(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)

14．已知m，l是直线，α、β是平面，给出下列命题：

①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行α内所有直线；③若m?α，l?β，且l⊥m，则α⊥β；④若l?β，且l⊥α，则α⊥β；⑤若m?α，l?β，且α∥β，且m∥l.

其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)．

解析：通过正方体验证． 答案：①④

三、解答题：本大题共4小题，满分50分．

15．(12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高线方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线方程为2x＋y－3＝0，求AB，BC，AC边所在的直线方程．

解：由题意知直线AB的斜率为2， ∴AB边所在的直线方程为2x－y＋1＝0. (4分)

?1?

直线AB与AC边中线的交点为B?2，2?，

?

?

设AC边中点D(x1,3－2x1)，C(4－2y1，y1)，

??2x1＝4－2y1，

∵D为AC的中点，由中点坐标公式得?

??2?3－2x1?＝1＋y1，

∴y1＝1，∴C(2,1)，

∴BC边所在的直线方程为2x＋3y－7＝0， (8分)

AC边所在的直线方程为y＝1.(12分)

16．(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，已知点D、E、F分别为棱AC，SA，SC的中点．

(1)求证：EF∥平面ABC；

(2)若SA＝SC，BA＝BC，求证：平面SBD⊥平面ABC. 证明：(1)∵EF是△SAC的中位线，∴EF∥AC. 又∵EF?平面ABC，AC?平面ABC， ∴EF∥平面ABC.(6分)

(2)∵SA＝SC，AD＝DC，∴SD⊥AC， 又∵BA＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，

又∵SD?平面SBD，BD?平面SBD，SD∩DB＝D， ∴AC⊥平面SBD，(10分) 又∵AC?平面ABC， ∴平面SBD⊥平面ABC.(12分)

17．(12分)已知点P(2,0)，及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0. (1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程； (2)设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|＝4时，求以线段AB为直径的圆的方程．

解：(1)当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则方程为y－0＝

|3k－2k＋2|3

k(x－2)，又圆C的圆心为(3，－2)，r＝3，由＝1?k＝－4. k2＋1

(4分)

3

所以直线l的方程为y＝－4(x－2)，即3x＋4y－6＝0，当k不存在时，l的方程为x＝2，符合题意．(6分)

(2)由弦心距d＝

?|AB|?2

r－?2?＝5，

??

2

又|CP|＝5，知P为AB的中点，故以AB为直径的圆的方程为(x－2)2

＋y2＝4.(12分)

18．(14分)多面体P－ABCD的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．

(1)求证：PA∥平面EFG； (2)求三棱锥P－EFG的体积．

(1)证明：方法一：如图，取AD的中点H，连接GH，FH.

∵E，F分别为PC，PD的中点， ∴EF∥CD.(2分)

∵G、H分别为BC、AD的中点，∴GH∥CD. ∴EF∥GH.

∴E，F，H，G四点共面．(4分) ∵F，H分别为DP、DA的中点， ∴PA∥FH.

∵PA?平面EFG，FH?平面EFG， ∴PA∥平面EFG.(6分)

方法二：∵E，F，G分别为PC，PD，BC的中点． ∴EF∥CD，EG∥PB.(2分) ∵CD∥AB， ∴EF∥AB.

∵PB∩AB＝B，EF∩EG＝E， ∴平面EFG∥平面PAB. ∵PA?平面PAB， ∴PA∥平面EFG.(6分)

(2)解：由三视图可知，PD⊥平面ABCD， 又∵GC?平面ABCD， ∴GC⊥PD.

∵四边形ABCD为正方形， ∴GC⊥CD. ∵PD∩CD＝D， ∴GC⊥平面PCD.(8分) 11

∵PF＝2PD＝1，EF＝2CD＝1， 11

∴S△PEF＝2EF·PF＝2.(10分) 1

∵GC＝2BC＝1， ∴VP－EFG＝VG－PEF 1

＝3S△PEF·GC 11＝3×2×1 1

＝6.(14分)

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