2004年高考天津卷理科数学试题及答案

2004年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学（理工类）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.i 是虚数单位，则

3(1)(2)i i i

-++= A.i +1 B.i --1 C.i 31+ D.i 31--

2.不等式21≥-x

x 的解集为 A.[1-，0) B.[1-，)+∞

C.(-∞，1]-

D.(-∞，1](0- ，)+∞ 3.若平面向量b 与向量(1a = ，2)-的夹角是?180

，且||b = b =

A.(3-，6)

B.(3，6)-

C.(6，3)-

D.(6-，3) 4.设P 是双曲线192

22=-y a

x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF

A.1或5

B.6

C.7

D.9

5.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a ，2]a 上的最大值是最小值的3倍，则a = A.

42 B.22 C.41 D.2

1 6.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于

A.510

B.515

C.54

D.3

2 7.若(2P ，1)-为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是

A.03=--y x

B.032=-+y x

C.01=-+y x

D.052=--y x

8.已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点n P n (，)n a 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的

A.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.函数0[)(26sin(

2∈-=x x y π，])π为增函数的区间是 A.0[，]3π B.12[π，]127π C.3[π，]65π D.6

5[π，]π 10.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，6AB =，4AD =，31=AA .分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=.若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为

A.104

B.38

C.134

D.16

11.函数213x y -=（01<≤-x ）的反函数是

A.)31(log 13≥+=x x y

B.)31(log 13≥+-=x x y

C.)131(log 13≤<+=x x y

D.)13

1(log 13≤<+-=x x y

12.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当0[∈x ，]2

π时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A.2

1- B.21 C.23- D.23 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5:3:2，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n =_____________.

14.如果过两点(A a ，0)和(0B ，)a 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是______________.

15.若)(...)21(2004200422102004

R x x a x a x a a x ∈++++=-，则

=++++++++)(...)()()(20040302010a a a a a a a a _____________.（用数字作答） 16.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有____________个.（用数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知2

1)4tan(=

+απ

. ⑴求αtan 的值； ⑵求α

αα2cos 1cos 2sin 2+-的值. 18.（本小题满分12分）

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.

⑴求ξ的分布列；

⑵求ξ的数学期望；

⑶求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .

⑴证明：//PA 平面EDB ；

⑵证明：PB ⊥平面EFD ；

⑶求二面角C PB D --的大小

.

20．（本小题满分12分）

已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.

⑴讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；

⑵过点(0A ，16)作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.

21．（本小题满分12分）

已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件：1a a =，1()n n a f a -=(2n =，3，4，...)，21a a ≠，11()()()(2n n n n f a f a k a a n ---=-=，3，4，...)，其中a 为常数，k 为非零常数.

⑴令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，证明数列}{n b 是等比数列；

⑵求数列}{n a 的通项公式；

⑶当1||

→lim .

22．（本小题满分14分）

椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点(F c ，0)(0)c >的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.

⑴求椭圆的方程及离心率； ⑵若0OP OQ ?= ，求直线PQ 的方程； ⑶设AP AQ λ= （1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FM FQ λ=- .

2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1—5 DAACA 6—10 BABCC 11—12 DD

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．80 14． )413,(--∞ 15． 2004 16．300

三、解答题：

17． 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能.

满分12分.

（1）解：αααπα

παπ

tan 1tan 1tan 4tan 1tan 4tan )4tan(-+=-+=+. 由21)4tan(=+απ，有2

1tan 1tan 1=-+αα. 解得3

1tan -=α. （2）解法一：1

cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα 6

5213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα. 解法二：由（1），31t a n -=α，得ααcos 3

1sin -=

∴αα22

cos 91sin = αα22cos 9

1cos 1=-. ∴10

9cos 2=α. 于是5

41cos 22cos 2=-=αα， 5

3cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα. 代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα. 18． 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问

题的能力.满分12分.

（1）解：ξ可能取的值为0，1，2。 2,1,0,)(36

342=?==-k C C C k P k k ξ。 所以，ξ的分布列为

（2）解：由（1），ξ的数学期望为15

25150=?+?+?=ξE （3）解：由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为

19． 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象

能力和推理论证能力.满分12分.

方法一： （1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO 。

∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点

在中，EO 是中位线，∴PA // EO

而平面EDB 且平面EDB ，

所以，PA // 平面EDB

（2）证明：

∵PD ⊥底面ABCD 且底面ABCD ，∴

∵PD=DC ，可知是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，

∴. ①

同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC.

∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 。

而平面PDC ，∴. ②

由①和②推得平面PBC.

而平面PBC ，∴

又且，所以PB⊥平面EFD.

（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角.

由（2）知，.

设正方形ABCD的边长为a，则,

，

.

在中，。

在中，，∴.

所以，二面角C—PB—D的大小为.

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设.

（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG.

依题意得.

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

.

∴，这表明PA//EG.

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB.

（2）证明；依题意得，。又，故.

∴.

由已知，且，所以平面EFD.

（3）解：设点F的坐标为，，则

.

从而.所以

.

由条件知，，即

，解得

∴点F的坐标为，且

，

∴

即，故是二面角C—PB—D的平面角.

∵，且

，，

∴.

∴.

所以，二面角C—PB—D的大小为.

20．本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分.

（1）解：，依题意，，即

解得. ∴.

令，得.

若，则，故

在上是增函数，

在上是增函数.

若，则，故

在上是减函数.

所以，是极大值；是极小值.

（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.

设切点为，则点M的坐标满足.

因，故切线的方程为

注意到点A（0，16）在切线上，有

化简得，解得.

所以，切点为，切线方程为.

21．本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.

（1）证明：由，可得 .

由数学归纳法可证.

由题设条件，当时

因此，数列是一个公比为k的等比数列.

（2）解：由（1）知，

当时，

当时， .

而

所以，当时

.

上式对也成立。所以，数列的通项公式为

当时

.

上式对也成立，所以，数列的通项公式为

，

（2）解：当时

22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.

（1）解：由题意，可设椭圆的方程为.

由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0）.

设直线PQ的方程为.由方程组

得

依题意，得.

设，则，① . ②

由直线PQ的方程得.于是

. ③

∵，∴. ④

由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或（2）证明：.由已知得方程组

注意，解得

因，故

.

而，所以

.

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