2019届高三数学理一轮复习课时跟踪检测二十三 正弦定理和余弦定

课时跟踪检测（二十三） 正弦定理和余弦定理

(一)普通高中适用作业

A级——基础小题练熟练快

sin Acos B

1．在△ABC中，若a＝b，则B的大小为( ) A．30° C．60°

B．45° D．90°

sin Acos B

解析：选B 由正弦定理知，＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.

sin Asin B2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 C．无解

解析：选C 由正弦定理得40×2032

B．有两解

D．有解但解的个数不确定

bc＝， sin Bsin C

∴sin B＝

bsin Cc＝＝3>1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

3．(2018·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )

1A. 2C．1

1B. 4D．2

1

解析：选A 由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc

21111

＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝. 2222

4．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝

△ABC

22，a＝3，S3

＝22，则b的值为( ) A．6 C．2

B．3 D．2或3

1

解析：选D 因为S△ABC＝bcsin A＝22，

2所以bc＝6， 又因为sin A＝

22

， 3

1

所以cos A＝，又a＝3，

3

由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3. 5．在△ABC中，2acos A＋bcos C＋ccos B＝0，则角A的大小为( ) πA. 62πC. 3

πB. 35πD. 6

a2＋b2－c2a2＋c2－b2

解析：选C 由余弦定理得2acos A＋b·＋c·＝0，即2acos A＋a＝

2ab2ac0，

12π

∴cos A＝－，A＝.

23

6．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )

A．a＝2b C．A＝2B

B．b＝2a D．B＝2A

解析：选A 由题意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.

7．在△ABC中，AB＝6，A＝75°，B＝45°，则AC＝________. 解析：C＝180°－75°－45°＝60°， ABAC

由正弦定理得＝，

sin Csin B即

AC6＝，解得AC＝2. sin 60°sin 45°

答案：2

π

8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝42sin B，

4则△ABC的面积为________．

解析：因为b2sin C＝42sin B， 所以b2c＝42b，所以bc＝42， 112

S△ABC＝bcsin A＝×42×＝2.

222答案：2

1

9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝

42sin B，则c＝________.

解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.

又a＝2，∴b＝3.

由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C， 1

－?＝16， ∴c2＝22＋32－2×2×3×??4?∴c＝4. 答案：4

7

10．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝，c－a＝2，b＝3，

8则a＝________.

7

解析：由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A?a2＝9＋(a＋2)2－2·3·(a＋2)·?a＝2.

8答案：2

B级——中档题目练通抓牢 1．在△ABC中，若1A. 31C. 5

sin C5

＝3，b2－a2＝ac，则cos sin A2

1

B. 21D. 4

B的值为( )

5c2－ac

25解析：选D 由题意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，所以cos B＝

22ac15

9a2－a2

21

＝＝. 26a4

2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )

A．等腰直角三角形 C．等腰三角形

B．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

a2＋b2－c2解析：选C 法一：由余弦定理可得a＝2b·，

2ab因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c， 从而△ABC为等腰三角形．

法二：由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C， 因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，

即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， 于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C， 故△ABC为等腰三角形．

3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin

A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )

πA. 12πC. 4

πB. 6πD. 3

解析：选B 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，

所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，

所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1， 3π

因为A∈(0，π)，所以A＝，

4

c·sin A

＝a

2×2221＝， 2

由正弦定理得sin C＝

ππ

又0＜C＜，所以C＝.

46

4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.

解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得922

c＋c－4c2

b＋c－a431

a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－. 22bc34

2×c2

2

2

2

2

1

答案：－ 4

BD

5．已知△ABC中，AC＝4，BC＝27，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则CD的值为________．

解析：在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，即28＝1628＋36－1627＋AB2－4AB，解得AB＝6(AB＝－2舍去)，则cos∠ABC＝＝，BD＝AB·cos

72×27×6BD2712712727

∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝27－＝，所以CD＝6.

7777

答案：6

6．(2018·贵州适应性考试)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＝4，bsin A＝3.

(1)求tan B及边长a的值；

(2)若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．

解：(1)在△ABC中，acos B＝4，bsin A＝3， bsin Asin Bsin A3

两式相除，有＝＝tan B＝，

acos Bsin Acos B4由sin2B＋cos2B＝1，

sin B3

＝， cos B4

4

得cos B＝，又因为acos B＝4，所以a＝5.

53

(2)由(1)知，sin B＝，

5

113

由S＝acsin B＝×5×c＝9，得c＝6.

225

4由b2＝a2＋c2－2accos B＝25＋36－2×5×6×＝13，

5得b＝13.

故△ABC的周长为11＋13. 7．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 2π解：(1)由已知可得tan A＝－3，所以A＝.

3在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos 即c2＋2c－24＝0. 解得c＝4(负值舍去)． π

(2)由题设可得∠CAD＝，

2

2πππ

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝－＝. 326故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为 1πAB·AD·sin 26

＝1.

1

AC·AD2

12π

又△ABC的面积为×4×2×sin＝23，

23所以△ABD的面积为3. C级——重难题目自主选做

(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，

2π

， 3

BD＝5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.

(1)求AD的长； (2)求△CBD的面积．

11

解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2×5×sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD

22π255

0，?，所以cos∠ABD＝. ＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈??2?55

在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝5. π

(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，

2所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝又∠BCD＝2∠ABD，

4

所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，

5

ππ

－∠ABD?－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD， ∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－??2?2所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.

BDCD

在△CBD中，由正弦定理＝，

sin∠BCDsin∠CBD

BD·sin∠CBD

＝sin∠BCD

5×45555＝， 45. 5

得CD＝115545

所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.

224458

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BD＝5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.

(1)求AD的长； (2)求△CBD的面积．

11

解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2×5×sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD

22π255

0，?，所以cos∠ABD＝. ＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈??2?55

在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝5. π

(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，

2所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝又∠BCD＝2∠ABD，

4

所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，

5

ππ

－∠ABD?－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD， ∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－??2?2所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.

BDCD

在△CBD中，由正弦定理＝，

sin∠BCDsin∠CBD

BD·sin∠CBD

＝sin∠BCD

5×45555＝， 45. 5

得CD＝115545

所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.

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