2018年高三最新 北京四中2018学年度第一学期高三数学开学检测（

北京四中2018－2018学年度第一学期高三数学开学检测（理）

(试卷满分150分，时间120分钟)

一、选择题：(每小题 5分，共40分) 1. 函数 (A)

2. 已知函数为( )

(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2

3. 以下四个命题：

①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；

②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；

④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线。 其中正确的个数是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

的图象与函数

的图象关于直线

对称，则

的值

的单调递增区间是( )

(B)

(C)

(D)

4. 若直线l1：y=x与直线l2：y=ax+b(a,b为实数)夹角的范围为是( )

时，则a的取值范围

(A)

(B)(0,1) (C) (D)

5. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和AB的中点，EF与对角面A1C1CA所成角为( )

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

6. 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是( )

(A)

(B) (C)2 (D)4

7. 全集为R，集合,若a>b>0，

则有( ) (A)

(B)

(C)M=E∪F (D)M=E∩F

8. 将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为P，则a、p的值分别为( )

(A)a=210 (B)a=210 (C) (D)a=118

二、填空题：(每小题 5分，共30分) 9. 长方体共顶点的三个面的面积分别是

，这个长方体对角线的长是______；

10. 若实数x、y满足条件

,则目标函数z=2x+y的最大值为_____；

11. 随机变量ξ的概率分布规律为a=______________，

，其中a是常数，则

；

12. 若展开式的第7项为

13. 设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，若Φ(-1.96)=0.185，则P(|ξ|<1.96)=______；

14. 对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于任意x∈[a，b]，均有|f(x)-g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是接近的，若函数y=x2-3x+2与函数y=2x-3在区间[a，b]上接近，则该区间可以是____。

三、解答题：(本大题有6个小题，共80分) 15. (本小题 13分)

解关于x的不等式(ax-1)(x+1)>0(a∈R)

16. (本小题 13分)

已知：f(x)=x2-x+m(m∈R)且f(log2a)=m，log2f(a)=2，a≠1 (1)求：f(log2x)的最小值及对应的x值； (2)求：不等式f(log2x)>f(1)的解。

17. (本小题 13分)

已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长AA1=2， (Ⅰ)E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE； (Ⅱ)求：二面角C-AE-B的平面角的正切值； (Ⅲ)求：点D1到平面EAB的距离。

18. (本小题 13分)

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

ξ P

1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.1 5 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润。

(Ⅰ)求：事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (Ⅱ)求：η的分布列及期望Eη。

19. (本小题 14分)

已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是 (1)求：椭圆方程；

(2)若直线

与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F1和F2，求：以F1F2

和AB为对角线的四边形F1AF2B面积的最大值。

20. (本小题14分)

已知：函数f(x)=x2+2bx+c(c

(2)若m是方程f(x)+1=0的一个实根，判断 f(m-4)的正负并加以证明。

参考答案： 一、选择题

题号 答案 二、填空题

1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C 9 11 13 三、解答题 15. 解：

10 12 14 2 0.95 [1,2]或[3,4]或填它们的任一子区间 (1)当a=0时，-(x+1)>0，即：x<-1

(2)当a>0时，

(3)当a<0时，

①-1

16. 解： (1)∵f(log2a)=m，

;②a=-1，无解；③a<-1，

∴log2a=1或log2a=0，即a=2或a=1(舍) ∵a=2，∴f(a)=f(2)=2+m ∴log2f(a)=log2(2+m)=2,∴m=2

∴当

(2)由(1)知：f(log2x)>f(1)即为：

则有log2x>1或log2x<0，∴x>2或0

(1)证明：连结A1C1，

∵AA1⊥平面A1C1，∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影， 在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1 ∴B1D1⊥AE

(2)连结BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连结OF ∵EC⊥平面AC

在正方形ABCD中，BD⊥AC， ∴BD⊥平面ACE

∴OF是BF在平面EAC上的射影， ∴AE⊥FO

∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角

在正方形ABCD中， 在Rt△ACE中，AE=3， ∵△AOF∽△AEC，

在Rt△BOF中，

(3)过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G， ∵AB⊥平面BC1，

∴AB⊥C1G，∴C1G⊥平面ABE， ∵D1C1∥AB， ∴D1C1∥平面ABE，

∴D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离

∵△C1GE∽△BCE，

∴D1到面ABE的距离等于

((3)中可用等积法，作对一样给分)

18. 解：

(Ⅰ)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款” 知

(Ⅱ)η的可能取值为200元，250元，300元 P(η=200)=P(ξ=1)=0.4

P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4 P(η=300)=1-P(η=200)-P(η=250)=1-0.4-0.4=0.2 η的分布列为

η P 200 0.4 250 0.4 300 0.2 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元)

19. 解：

(1)设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程： ∵椭圆的一个顶点是

∵离心率为

∵a2=b2+c2,∴a2=20,b2=5

∴椭圆方程：

(2)∵椭圆方程： ∴左右焦点为

联立方程

即：2y2-2my+m2-5=0

∵直线与椭圆相交于A、B两点，

∴△=4m2-8(m2-5)>0，即:

由题知：以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积

20. 解：

(1)

又c

方程f(x)+1=0有实根，

即x2+2bx+c+1=0有实根，故△=4b2-4(c+1)≥0 即

又c

(2)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1)，f(m)=-1<0 ∴c

∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0 ∴f(m-4)的符号为正。

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