2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）四十五章 开

四十五章 开放探索型问题

12. (2012山东日照，12，3分)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；??；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是（ ）

A.

13n?1 B.

111 C. D.

3n?13n?23n长为x，

O x=

B2

B1

解析：设正方形A1B1C1D1的边则AC1= C1D1= D1 B =x,故3x=1，同理，正方形A2B2C2D2的边长为

A2 A1 C2 D2

1；31，??，故可猜想第n个正方形231AnBnCnDn的边长是n.

3A B D1 C1

解答：选B． 点评：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形A1B1C1D1的边长.

（2012河北省25,10分）25、（本小题满分10分）

如图14，A（-5,0），B(-3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°，点P从点Q（4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒 （1）求点C的坐标；

（2）当∠BCP= 15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切时，求t的值。

【解析】在直角三角形BCO中，∠CBO=45°OB=3，可得OC=3，因此点C的坐标为（0,3）；（2）∠BCP= 15°，只是提及到了角的大小，没有说明点P的位置，因此分两种情况考虑：点P在点B的左侧和右侧；（3）⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切，而四边

形有四条边，肯定不能与AO相切，所以要分三种情况考虑。 【答案】解（1）∵∠BCO=∠CBO=45° ∴OC=OB=3 又∵点C在y轴的正半轴上，

∴点C的坐标为（0,3）????????????2分 （2）当点P在点B右侧时，如图2.

若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故OP=OCtan30°=3 此时t?4?3????????????4分

当点P在点B左侧时，如图3，由. ∠BCP=15°得∠PCO=60° 故PO=OCtan60°=33， 此时t=4+33

∴t的值为4+3或4+33????????????6分

（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边都相切，有以下三种情况：

①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1?????7分 ②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4???????????8分

③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO=90°， ∴点A为

切点，如图4，PC?PA??9?t?，

222PO2??t?4?，于是?9?t???t?4??32，解得t=5.6

222∴t的值为1或4或5.6????????１0分 【点评】本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用，在今后的教学中多渗透考虑问题要全面（不重不漏），培养学生优秀的学习品质。有一定难度。

（2012河北省26,12分）26、（本小题满分12分）

如图15-1和图15-2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos?ABC?5。 13探究 如图15-1，AH⊥BC于点H，则AH=___________，AC=____________，△ABC的

面积S△ABC=_____________。

拓展 如图15-2，点D在AC上（可以与点A、C重合），分别过点A，C

作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，（当点D与点A重合时，我们认为S△ABC=0）

（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；

（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围。

发现 请你确定一条直线，使得

程），并写出这个最小值。

A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过

【解析】探究 根据三角函数和勾股定理可以很快求出AH和AC 的值，进而求出三角形的面积。

拓展（1）利用所给数据，写出表示两个三角形面积的代数式；（2）利用（1）中的式子，

用x表示m和n，再求（m+n）的值。点D在AC上，BD的长度可以认为是点D到AC的距离，所以当BD⊥AC时，x最小，是三角形AC边上的高，最大值是BC的长度，容易求出的最大值和最小值；（3）根据垂线段最短和轴对称可知，点D唯一时，只能是点D是垂足时和点D在点A关于垂足的对称点的下方时两种情况。

发现 满足条件的直线就是AC所在直线，A、B、C三点到这条直线的距离之和的最小值

就是（m+n）的最小值。

【答案】解：探究

12 15 84????????????????????3分

拓展

（1）由三角形面积公式得S△ABD?11mx，S△CBD?nx????????????4分 22m?2S△AxBD，

（2）由（1）得

n?2S△CBDx， ∴

m+n=

2S△ABD2S△CBD168=????????5分 ?xxx2S△ABC2?845656?x?14 ∴x的取值范围为??151555由于AC边上的高为

∵（m+n）随x的增大而减小， ∴当x=7分

56时，（m+n）的最大值为15；????????5当x=14时，（m+n）的最小值为12. ??????????8分 （3）x的取值范围是x?56或13?x?14??????????10分 5发现

AC所在的直线??????????11分 最小值为

56??????????12分 5【点评】此题为探究题型，前半部分难度较小，在确定x的取值范围时，学生不容易想到；第（3）中x的取值范围也不容易想到，是本题的难点。探究就是上边知识点的一个应用，相对来说简单一些。整体来说，此题难度偏难，有一定挑战性。

24. （20122湖北省恩施市，题号24 分值12）如图12，已知抛物线y＝-x＋bx＋ｃ与一直线相交于A（-1,0），C（2,3）两点，与y轴交与点N。其顶点为D。 （1求抛物线及直线A、C的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上任意一点，过E作EF∥BD，交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求△APC面积的最大值

2

2【解析】（1）直接将A、C两点的坐标代入y＝-x＋bx＋ｃ和y=kx+b即可。

（2）本题实质是在直线x=3上找一点M使MN+MD的值最小。作N关于x=3的对称点，连接11

D N，求直线D N和x=3的交点可得m的值；

（3）BD、EF是平行四边形的邻边，分点E在线段AC和线段AC（或CA）延长线上两种可能来考虑。BD长可求，EF=BD，点F和点E横坐标相同，点F纵坐标等于点E纵坐标加（或减）BD长度，设点E（x,y），则点F坐标（x,y+3）[或(x,y-3)],代入抛物线表达式可求解； （4）作CQ⊥x轴于Q，作PG⊥x轴，交AC于H，则点H和点P横坐标相同，设二者横坐标为x，根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标，进而用x表示PH的长度，根据△PAC面积等于

1PH3AQ（AQ为定值）可讨论其最值。 2【答案】解：设直线AC的解析式为:y=kx+n，点 A（-1,0），C（2,3）在A\\C上，可得：

?0??k?n 解得:k=1,n=1 ?3?2k?n?∴AC的解析式为：y=x+1;

2把A（-1,0），C（2,3）y＝-x＋bx＋ｃ ?0??1?b?c解得b=2,c=3, ??3??4?2b?c∴抛物线的解析式为y= -x＋2x＋3， ∴N（0,3）D（1,4）.

1111

(2) 作N关于x=3的对称点N，连接DN，则N（6,3）.设直线D N的解析式为y=px+q，则有：

2?4?p?q12112111

，∴p=，q=,∴D N的解析式y=x+，当M（3，m）在D N上时，???5555?3?6p?q12118MN+MD的值最小，∴m=?33+=；

555（3）易知B(1,2)，又D（1,4）∴BD=2.因为点E在AC上，设点E（x,x+1）,

22

1°当点E在线段AC上时，点F（x.x+3），代入y= -x＋2x＋3，得x+3=-x＋2x＋3， 解得x=0或=1（不符合题意舍去），∴E；

22

2°当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F（x.x-1），代入y= -x＋2x＋3，得x-1=-x＋2x＋3，解得x=

1?171?17?1?171?17?1?17，所以E（,）E(,) 222221?17?1?171?17?1?17,）或(,)时以B、D、2222综上所述，当点E（0, 1）、（

E、F为顶点的四边形能否为平行四边形；

（4）作CQ⊥x轴于Q，作PG⊥x轴，交AC于H。

222

设H（x,x+1），则P（x, -x＋2x＋3）,所以PH=（-x＋2x＋3）-（x+1）= -x+ x+2， 又∵S△PAB=S△PAH+ S△PBH=

11312272

PH3AQ=（-x+ x+2）33=?（x-）+， 22228

∴△APC面积的最大值是

27。 8的交点可得m的值；

【点评】本题是存在性探索性问题，在解决这一类存在性探索问题时主要应注意：首先假定这个数学对象已经存在，根据数形结合的思想，将其构造出来；然后再根据已知条件与有关性质一步步地进行探索，如果探索出与条件相符的结果，就肯定存在，否则不存在，探索过程就是理由.本题主要考查了用待定系数法求解析式、勾股定理、解方程组等，用到的数学数学有函数思想、方程思想、数形结合思想、对称思想、分类讨论思想等，题目综合性强、难度大，但是考查的知识面较广，是一个区分度很大题目。

28．（2012湖南衡阳市，28，10）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O） （1）求此抛物线的解析式．

（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R， ①求证：PF=PR；

②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．

解析：（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式． （2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证；

②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可；

③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状． 答案：解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点， ∴A、D关于抛物线的对称轴对称； ∵E是AB的中点，

∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B（2，1） ∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）；

2

由于抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax，则有： 4a=﹣1，a=﹣

∴抛物线的解析式为：y=﹣x．

（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，﹣a），而R（a，1）、F（0，﹣1），则： 则：PF=PR=∴PF=PR． ②由①得：RF=

；

==a+1．

2

2

2

=a+1，

2

若△PFR为等边三角形，则RF=PF=FR，得：

=a+1，即：

2

2

2

a﹣a﹣3=0，得：

42

a=﹣4（舍去），a=12； ∴a=±2

，﹣a=﹣3；

，﹣3）、（﹣2

，3）．

2

∴存在符合条件的P点，坐标为（2

③同①可证得：QF=QS；

在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）； 同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）； ∵QS⊥BC、PR⊥BC，

∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°

∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°

∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形．

点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强．在答案题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论 27. （2012贵州省毕节市，27，16分）如图，直线l1经过点A（-1，0），直线l2经过点

2B(3,0), l1、l2均为与y轴交于点C(0,?3),抛物线y?ax?bx?c(a?0)经过A、B、

C三点.

（1）求抛物线的函数表达式；[来源:学科网ZXXK]

（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;

(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。

解析：（1）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出 抛物线的解析式；

（2）D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出 其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度．D是对称 轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求；E是对称轴 与直线l2交点，需要求出l2的解析式，G是对称轴与l1的交 点，需要求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所 以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出．至此本问解决；

（3）△PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论．如解答图所示，在解答过程中，充分注意到△ECG为含30度角的直角三角形，△P1CG为等边三角形，分别利用其几何性质，则本问不难解决．

解答：解（1）依题意，得.

?3a??3??0?a?b?c??23 ， 解得 b??0?9a?3b?c??3????3?c?c??3,??∴抛物线的函数表达式是y=

3223x-x-3; 33（2）∵直线l1经过点A（-1，0），C（0，-3），∴直线l1的函数表达式为y1=-3x-3.

∵直线l2经过点B（3，0），C（0-3），∴直线l2的函数表达式为y2=

3x-3. 3又∵抛物线的对称轴是x=1，∴点D的坐标为（1，0），点E的坐标为（1，-

23）， 3点F的坐标为（1，-

2343），点G的坐标为（1，-23）.∴DE=EF=FG=； 3343）. 3（3）P点的坐标为：P1（2，-3），P2（1，

理由：分三种情况：

①以G点为圆心，GC长为半径作弧，交抛物线于点C和点P1，连结CP1、GP1，所以GC=GP1.由等腰三角形的三线合一性质（或抛物线的对称性）可知点P1与点C关于直线x=1对称，所以点P1的坐标为（2，-3）；

②以点C为圆心，CG长为半径作弧，因为∠CGF=30°，所以∠CGP1=60°，即△CGP1是等边三角形，又因为AC=CG=2，所以作出的弧与抛物线交于点A和点P1，但A、C、G在同一条直线上，不能组成三角形.

③作线段CG的垂直平分线，因为△CGP1是等边三角形，所以P1点在线段CG的垂直平分线上；连接CF，由于l1⊥l2于点C，F是EG的中点，所以FC=FG，即F点也在线段CG的垂直平分线上，所以P2点与F点重合，即P2点的坐标是（1，-

43）.综上所述，点P的坐标是P1（2，-3），3P2（1，-

43）. 3点评：作为中考压轴题，本题考查的知识点比较多，包括二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数、一次函数）解析式、等腰三角形、等边三角形以及勾股定理等．难点在于第（3）问，需要针对等腰三角形△PCG的三种可能情况分别进行讨论，在解题过程中，需要充分挖掘并利用题意隐含的条件（例如直角三角形、等边三角形），这样可以简化解答过程．

29．(2012江苏苏州，29，12分)如图，已知抛物线y=x﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为 （b，0） ，点C的坐标为 （0，） （用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

2

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析： 2（1）令y=0，即y=x﹣（b+1）x+=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；[来源:学科网] （2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标； （3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴； 要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可． 解答： 2解：（1）令y=0，即y=x﹣（b+1）x+=0， 解得：x=1或b， ∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧， ∴点B的坐标为（b，0）， 令x=0， 解得：y=， ∴点C的坐标为（0，）， 故答案为：（b，0），（0，）； （2）存在， 假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形． 设点P的坐标为（x，y），连接OP．

则S四边形POCB=S△PCO+S△POB=??x+?b?y=2b， ∴x+4y=16． 过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E， ∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°． ∴四边形PEOD是矩形． ∴∠EPO=90°． ∴∠EPC=∠DPB． ∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y． 由解得 由△PEC≌△PDB得EC=DB，即解得b=＞2符合题意． ，）； ﹣=b﹣， ∴P的坐标为（ （3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似． ∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO， ∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO． ∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴． ∵b＞2， ∴AB＞OA， ∴∠Q0A＞∠ABQ． ∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°， 由QA⊥x轴知QA∥y轴． ∴∠COQ=∠OQA． ∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°． （I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA． ∴AQ=CO=． 由AQ=AQ=OA?AB得：（）=b﹣1． 解得：b=8±4． ∵b＞2， ∴b=8+4． ∴点Q的坐标是（1，2+）． （II）当∠OQC=90°时，△QCO∽△QOA， ∴=，即OQ=OC?AQ． 222又OQ2=OA?OB， ∴OC?AQ=OA?OB．即?AQ=1×b． 解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意， ∴点Q的坐标是（1，4）． ∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．

专项十一 开放探索型问题

27.（2012连云港，27，12分）（本题满分12分）

已知梯形ABCD, AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.

问题1：如图1，P为AB边上一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

APQDBC

如图2，P为AB边上任意一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ，的长是否存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。

ADQP

问题3：P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，以PE、PC为边做平行四边形PCQE，请探究对角线PQ，的长是否也存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。

问题4：如图3，P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA,(n为常数)以PE、PB为边做平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？若果存在，请直接写

BC出最小值；如果不存在，请说明理由。

EABPQ

【解析】．（1）只要看∠DPC能否为90°，在在Rt△DPC中，由勾股定理列出方程，根据方程是否有解确定对角线PQ与DC能不能相等。。（2）、（3）（4）可找PQ最小时点P的位置，利用全等三角形、相似三角形列方程求线段PQ的长。 【答案】

（1） 问题1：因为四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD

是矩形。

所以∠DPC=90°，

因为AD=1，AB=2，BC=3.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 所以DC=22，

设PB=x,则AP=2－x,

在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+ (2－x)2+1=8, 化简得x2－2x+3=0,因为△=（－2）2－4×1×3=－8＜0，方程无解， 所以对角线PQ与DC不可能相等。

问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，所以点G是ＤＣ的中点，

CDAPDGQBCH

作QH⊥BC，交BC的延长线于H。 因为AD∥BC，

所以∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+QCH， 因为PD∥CQ，

所以∠PDC=∠DCQ，所以∠ADP=∠QCH， 又PD=CQ，

所以Rt△ADP≌Rt△HCQ, 所以AD=HC。

因为AD=1，BC=3，所以BH=4，所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4. 问题3：如图3，设PQ与DC相较于点G。

EA DQPGBC H

因为PE∥CQ，PD=DE,所以

DGPD1??，所以G是DC上一定点。 GCCQ2作QH⊥BC，交BC的延长线于H， 同理可证∠ADP=∠QCH，

所以Rt△ADP∽Rt△HCQ[来源:学科网] 即

ADPD1??，所以CH=2. CHCQ2所以BH=BC+CH=3+2=5，

所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5. 问题4：存在最小值，最小值为2（n+4）。 2（注：各题如有其它解法，只要正确，均可参照给分）

【点评】本题是一个动态几何题，此题是一道综合性较强的题目，主要考查学生的图感，利用点P的运动过程，确定PQ最小时，P所在线段的位置，考察到的到的知识点比较多，需要同学们利用全等三角形和相似三角形的性质确定PQ的最小值是否存在．本题的亮点是由有三角形全等到三角形相似而引出一般情况．

28.（（2012江苏泰州市，28，本题满分12分）如图，已知一次函数y1=kx+b的图像与x轴相交于点A，与反比例函数y2=

c5的图像相交于B（-1,5）、C（,d）两点.点P（m，n）是x2一次函数y1=kx+b的图像上的动点.

（1）求k、b的值； （2）设-1

3c，过点P作x轴的平行线与函数y2=的图像相交于点D，试问△PAD的面2x积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明

理由；

（3）设m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围.

（第28题图）

【解析】（1）先将B点坐标代入y2，求出c，从而确定y2的解析式，然后再将C点代入求出d，最后将B、C代入y1即可

（2）先确定△PAD的面积的解析式，如何再利用二次函数的最值解决，从而得到P点坐标 （3）分情况讨论列出不等式解决即可 【答案】（1）将B点坐标代入y2，得：c=5，将点C横坐标代入，得d=-2，将B、C代入直线解析式，求得：k=-2，b=3；[来源:Zxxk.Com]

33，A（，0），由题意得，点P在线段AB上运动（不含A、B），设点223?n511P（，n），因为DP平行于x轴，所以yD=yP=n，所以D（-，n），所以S=?PD? yP=?2n223?n51349（+）?5=-（n-）2+，而-2m+3=n，得：0＜n＜5，所以由S关于n的函数

2n421633349解析式所对应的抛物线开口方向决定，当n=，即P（，），S最大=.

24216（2）令y1=0，x=

（3）由已知P（1-a，2a+1），易知， m≠n，1-a≠2a+1，a≠0；若a＞0，m＜1＜n，由题

1；若a＜0，n＜1＜m，由题意n≥0，m＜21112，解出：≤a＜0；综上，A的取值范围是≤a＜0或0＜a≤.

222意m＞0，n≤2，解出不等式组的解集：0＜a≤

【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的知识，求函数的解析式通常采用“待定系数

法”，此题的关键在于分清顺序逐步求解，做题过程中要特别注意线段长度与坐标之间的转换，尤其是符号的变化，还考查了数形结合、分类讨论等数学思想方法以及分析问题、解决问题的综合能力.

23. （2012浙江丽水10分，23题）（本题10分）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2

在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC.

（1）如图1，当点A的横坐标为_______时，矩形AOBC是正方形；

（2）如图2，当点A的横坐标为-

1时， 2①求点B的坐标；

②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移变换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由.

【解析】：（1）若矩形AOBC是正方形，则∠AOC=∠BOC=45°，即点A在象限角平分线上，设点A坐标为（x，-x），则有-x=x2，∴x=0（舍去）或x=-1.（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F.求出OE，AE的长，再由△AEO∽△OFB得

OFAE1??，进而借助方程求出B点坐标；②过点C作CG⊥GF于点G，先求出C点BFEO2坐标，再利用待定系数法求出经过A、B两点的抛物线的解析式，判断出点C在过A、B两点的抛物线上.先将抛物线化成顶点式，进而根据抛物线平移规律说出变换过程.

【解】：（1）-1.

（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F.

111时，y=（-）2=， 22411即OE=，AE=，

24OFAE1由△AEO∽△OFB，得：??.

BFEO2当x=-设OF=t，则BF=2t，

∴t2=2t，解得t1=0（舍去），t2=2. ∴B（2，4）.

②过点C作CG⊥GF于点G，∵△AEO≌△BGC，

11，BG=AE=. 2413117∴xc=2-=，yc=4+=，

2244317∴点C（，）.

24∴CG=OE=

设过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c，由题意得

1?1-b?c?，?b?3，? 2解得??2?c?2.?2b?c?8.?∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2.

33317时，y=-（）2+33+2=，所以点C也在抛物线上. 2224317故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=x2+3x+2=-（x-）2+.

24317平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线y=-24317（x-）2+.

24当x=

【点评】：本题是一道几何与代数的综合题，综合考查正方形、矩形、全等三角形、相似三角形、抛物线、一元二次方程等知识，是一道综合性较强的试题，题目有一定的难度. 26．（2012四川内江，26，12分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点

D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF＝60°，连接CF．

（1）如图13─1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CF，②AC＝CF＋CD； （2）如图13─2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD

是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图13─3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接

写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

A

A F A F

B D C E

图13─1

图13─2

B C D E D B C 图13─3

【解析】（1）根据等边三角形和菱形的性质发现等线段、等角，证明△ABD≌△ACF解决．（2）图形直观，CF最长，显然（1）中结论不再成立，这时模仿（1）中全等三角形的证明思路，看同样字母的两个三角形是否仍然全等，进而解决问题．（3）总结（1）（2）发现那三条线段之间就是最长的一条等于较短的两条线段之和，可以画出图形直观感受或证明发现． 【答案】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴A B＝AC，∠BAC＝60°． ∵四边形ADEF为菱形，∴AD＝AF．

∵∠BAC＝∠DAF＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF． ∴△ABD≌△ACF．∴BD＝CF．

②∵AC＝BC＝BD＋CD，且由①BD＝CF，∴AC＝CF＋CD． （2）不成立．存在的数量关系为：CF＝AC＋CD． 理由：由（1）同理可得△ABD≌△ACF，∴BD＝CF． ∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD，∴CF＝AC＋CD．

（3）CD＝AC＋CF． 补全图形13─3．

A D B F C E 图13─3

【点评】此题属于几何中的结论开放题，并具有探究性，让学生在图形变化过程中感受恒不变的数学现象，渗透了运动与变化的数学思想，体现了几何图形的直观性．解答此类题的关键是顺着题目铺设好的台阶一步一步走，顺着前题提供的思考方向“顺藤摸瓜”，求同存异，大胆猜想、探究．

26. (2012山东省临沂市，26，13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转1200至OB位置， （1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。

【解析】（1）作BC⊥x轴，垂足为C ，由旋转的定义，可得∠BCO=900，∠BOC=600，OB=4，应用三角函数可直接求得点B 的坐标；

（2）根据（1）的结论，结合图形，可得点O（0,0），点A（4,0），由待定系数法可求得抛物线解析式； （3）以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形,存在三种形式，即OP=OB,PO=PB,BO=BP,分别讨论三种情况，成立的就存在点P； 解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为C ，∵OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转1200至OB位置，∴∠BOC=600，OB=4，∴BC=43sin600=433

1=2,∵点B在第三象限，∴点B（-2，-23）； 23=23,OC=43cos600=42（2）由函数图象得，抛物线通过（-2，-23），（0,0），（4,0）三点，设抛物线解析式为y=ax2+bx,

?3a?-???4a-2b?-23?6，∴此抛物线解析式为y=-3x2?23x. 由待定系数法得，?，解得?63??16a?4b?0?b?23?3?(3)存在。

理由：如图，抛物线的对称轴是x=-（2，y），

①若OP=OB,则22+|y|2=42,解得y=±23,即 P点坐标为（2，23）或（2，-23），又 点B（-2，-23），∴当P点为（2，23）时，

点P、O、B共线，不合题意，舍去，故点P坐标为（2，-23）； ②若BO=BP,则42+|y+23|2=42,解得y=-23,点P坐标为（2，-23）； ③若PO=PB,则22+|y|2=42+|y+23|2，解得y=-23,点P坐标为（2，-23）； 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，-23）。

【点评】：本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数

图象交点的求法、勾股定理的应用、等腰三角形的判定等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．

24．（2012浙江省义乌市，24，12分）如图1,已知直线y=kx与抛物线 y 4 x 2 ? 22 交? ?273于点A（3，6）.

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM, 交x轴于点M（点M、O不

重合）,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；

b,解得x?2，直线x?2与x轴的交点为D。设点P2a（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上（与点O、A不重

合）,点D（m，0）是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探 究：m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

y y

P A A E Q

N B x O D x M O 图1 图2

24．【解析】（1）将点A代入y=kx可求出k的值。再由勾股定理求出OA的长。 （2）首先讨论QH与QM重合时易知QM=2；当QH与QM不重合时，易知△QHM∽△QGN，

QNQMQHQH???tan?AOM?2． QNQGOH（3）延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R，易知△AOR∽△FOC，即OF?AO?35?5，可求得OF的长即可求出F的坐标。设点B（x，

OCOR3?4222BKAK，可求B的坐x?），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，?FRAR273标，易求得AB的长。也可设出直线AF，将A、F代入求其解析式，然后将其与抛物线联立，求出B的坐标，进而求AB的长。

AEOD再易得△ABE∽△OED，可求抛物线的顶点坐标，再画出几何关系图，根据不同?ABOE情况求出E的个数．

解：（1）把点A（3,6）代入y=kx 得6=3k ， ∴k=2 ， ∴y=2x ?????????2分

OA=3?6?35 ????????????????????????3分 （2）QM是一个定值 ，理由如下：

QN过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H . ①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合, 此时QM?QH?QH?tan?AOM?2；

QNQGOHy P 22G Q N A H M O ②当QH与QM不重合时，∵QN⊥QM,QG⊥QH

不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上[来源:Zxxk.Com] 图1 ∴∠MQH =∠GQN 又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN ?5分 ∴QM?QH?QH?tan?AOM?2 QNQGOHQM?2???????7分 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 QNx

（3）延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ∵∠AOD=∠BAE ∴AF=OF ∴OC=AC=∵∠ARO=∠FCO=90° ∠AOR=∠FOC ∴△AOR∽△FOC ∴OF?AO?35?5

OCOR3135 OA=

22y A E C K B F 15315∴OF=5?5? ∴点F（，0）

222设点B（x，?427x2?223），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARFO D R 6?(?427x2?223)∴

BKAKx?3FR?AR 即7.5?3?6 解得x1=6 ,x2=3（舍去） ∴点B(6,2) ∴BK=6－3=3 AK=6－2=4 ∴AB=5 ?8分 (求AB也可采用下面的方法)

设直线AF为y=kx＋b（k≠0） 把点A（3,6），点F（152，0）代入得 k=?43，b=10 ∴y??43x?10

???y??4x?3?10, ∴?x1?3,（舍去）?x2?6, ∴B（6,2）∴AB??=5 ?8分 ?y??427x2?22??y?1?6?y2?23(其它方法求出AB的长酌情给分) 在△ABE与△OED中

∵∠BAE=∠BED ∴∠ABE＋∠AEB=∠DEO＋∠AEB ∴∠ABE=∠DEO ∵∠BAE=∠EOD ∴△ABE∽△OED ???????????????9分

设OE=x，则AE=35－x （0?x?35） 由△ABE∽△OED得AEODAB?OE ∴35?x5?mx ∴m?15x(35?x)??1235x?55x （0?x?35）?10分

∴顶点为（

325，94）， 如图，当m?935,此时E点有1个；当0?m?94时，OE=x=

24时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个.

m ∴当m?94时，E点只有1个 ??11分

94当0?m?94时，E点有2个 ??12分 O 3

2535x

x 【点评】本题综合考查了反比例函数的性质、相似三角形的性质，抛物线的性质、一次函数的性质，是一道对学生能力要求较高的题．

26．(2012重庆，26，12分)已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3。E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．

(l）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

(2）将（l）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B'EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B'EFG的边EF与AC交于点M，连接B'D,B'M，DM，是否存在这样的t，使△B'DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3）在（2）问的平移过程中，设正方形B'EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围． [来源:学§科§网]

解析：用t表示有关线段的长度，是解决本题的关键。

3?xx?，∴x=2,即BE=2 36MECE (2)如图2，由题意知，BB’=t,DH=3,BH=2,CE=4-t, ∵△CEM∽△ABC, ∴ ?ABBC152122222ME=2-t，根据勾股定理得：B’M=t?2t?8，B’D=t-4t+13,DM=t+t+1

24420222分三种情况讨论：①若∠DB’M=90°,则有B’M+ B’D= DM，求得t=,②若∠

7答案：（1）如答图1所示，设BE长为x，∵△AGF∽△ABC ∴

2222B’MD=90°,则有B’M+ DM= B’D，求得t=17-3,③若∠B’DM=90°则有B’D+

DM= B’M，无解

2242时,s=14t 34122 当≤t＜2时,s=-t+t-

833 （3）当0≤t＜

10325时,s=-t+2t-

8331015当≤t＜4时,s=-t+ 322当2≤t＜

点评：解决本题的关键是会用t表示出各个线段的长度，然后用勾股定理就可求出答案。

DA

G F BC E 答图1 24. （2012浙江丽水12分，24题）（本题12分）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠

ADGFN310ACB=，如图，把△ABC的一边放置在x轴上，有OB=14，OC=34，AC与y轴交

C53B于点E.

答图2（1）求AC所在直线的函数解析式；

（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积； （3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

MHB'E

【解析】：（1）解直角△OCE求出E点坐标，再利用待定系数法求直线的解析式. （2）解直角三角形OCE，求出EG，OG，利用三角形面积公式即可求面积；（3）应分类加以讨论.

解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE=

10334??234，∴点E（0，234）. 3510343k+234=0，解得k=-， 35设直线AC的函数解析式为y=kx+234，有

∴直线AC的函数解析式为y=-

3x+234. 5（2）方法1：在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE=

22EG3?， GO5设EG=3t，OG=5t，OE=EG?OG=34t，∴234=34t，得t=2. 故EG=6，OG=10. ∴S△OEG=

11OG3EG=31036=30. 2233，∴sin∠OCE=. 534方法2：在Rt△OCE中，∵tan∠OCE=

∴OG=OCsin∠OCE=

103=10. 34?3343=6， 5在Rt△OEG中，EG=OGtan∠OCE=103∴S△OEG=

11OG3EG=31036=30. 22（3）①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的平分线交CE于点P1，

由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时， y=-

3310+234=234-6. 5∴点P1（10，234-6）.

②当点Q在AB上时，

如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2， 过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a， 则BH=QH=14-a，

在Rt△OQH中，a2+（14-a）2=100， 解得a1=6，a2=8.

∴Q（-6,8）或Q（-8,6），

当Q（-6,8）时，连接QF交OP2于点M， 则点M（2,4）.

此时直线OM的函数解析式y=2x.

10?y?2x，x?34，????13解得? 3?y??x?234.??y?2034.5??13?∴点P2（

102034，34）. 13135534，34）. 93当Q（-8,6）时，同理可求得P3（

如图3，有QP4∥OF，QP4=OF=10，

设点P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为（x-10）. ∵yQ=yP，直线AB的函数解析式y=x+14. ∴（x-10）+14=-

3x+234. 5解得x=

534-10534?6，可得y=. 44534-10534?6，）. 44∴点P4（

③当Q在BC边上时，如图4，OQ=OF=10，点P5在E点， ∴点P5（0，234）.

综上所述，满足条件的点P的坐标为： P1（10，234-6），点P2（

534-1055102034，34）34，34），P3（，P4（，

4931313534?6），P5（0，234）. 4【点评】：本题是一道综合性大题，要注意灵活应用所有的知识点，另外在考虑问题时要全面，不要丢解.第（3）小题中，共四种情况，易出现丢解现象.

25. （2012广州市，16， 3分）（本小题满分10分）如图10，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=?（60???90） （1）当?=60°时，求CE的长；

（2）当60???90时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

②连接CF，当CE?CF取最大时，求tan∠DCF的值。

220000AEFDBC

【解析】（2）可以按照k等于1、2、3等正整数时，把∠EFD分为几等分，从而确定k的值是否存在。（3）找出变量BE，找出CE?CF的关于自变量的函数关系式，计算出

22

CE2?CF2取得最大值时，得到自变量BE的值，计算tan∠DCF的值。

【答案】解：（1）如果∠ABC=60°，在Rt△ABC中，CE=BCsin60°=10?（2）①取BC的中点G，连接FG，CF，则AF=BG=DF=CG

3=53 2A1EF234MDBGC

∵AF∥BG,FD∥CG

∴四边形ABGF，四边形FGCD都是平行四边形 又∵AB=5，BC=10， ∴AB=BG=FG=CG=5，

∴四边形ABGF，四边形FGCD都是菱形 ∴∠3=∠4，AB∥FG ∵AB∥FG ∴∠1=∠2

设GF交CE于M 则MG∥BE ∴

MEBG? CMCG∴EM=MC ∵BE⊥CE ∴GM⊥CE

∴FM垂直平分CE ∴FE=FC

∴∠2=∠3=∠4=∠1 ∴∠EFD=3∠AEF ∴k=3

②设BE=x，则AE=5-x

过点F作AB的垂线，垂足为N，则∠N=∠BEC=90°

NAEFDB∵AF∥BG ∴∠NAF=∠B ∴△NAF∽△EBC

GC

ANAF1?? BEBC211∴AN=x，FN=CE

2211EN=AE+AN=5-x+x=5?x

22∴

在Rt△EBC中，CE?BC?BE?100?x

222212100?x22) 在Rt△NEF中，FE?FC?EN?FN=(5?x)?(222222100?x2212)] ∴y=CE?CF=100?x?[(5?x)+(22222 =?x?5x?100 ∵-1<0 当x??255?时，CE2?CF2取最大值。

2?(?1)2∴FN=

51515，NE= 24415FN515??=。

153EN4∴tan∠DCF=tan∠NEF=

【点评】第（2）问转化为把∠EFD分为k等分，证明其中的一份等于∠AEF的问题。确定k的值。第（3）关键是列出二次函数，计算当CE?CF取得最大值时，确定BE的长，也就是确定点E的位置，把∠DCF放在直角三角形中求其正切值。

25．（2012江苏盐城，25，10分）如图①所示，已知A、B为直线?上两点，点C为直线?上

22方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥?于点D1，过点E作EE1⊥?于点E1．

（1）如图②，当点E恰好在直线?的上方时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB

（2）在图①中，当D、E两点都在直线?的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图③，当点E在直线?的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系（不需证明）．

第25题图

【解析】本题考查了正方形和全等三角形的判定和性质．利用两三角形全等后的对应边相等与对应角相等,是解决本题的关键（1）图②是特殊位置，直接证明三角形全等解决；

（2）先猜想三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，然后根据图②启示，构造两对全等三角形证明.

（3）类比归纳、猜想出结论. 【答案】（1）∵四边形CADF和四边形CBEG都是正方形，且DD1⊥?，∴∠DAC=∠ABC=∠

000

DD1A=90，又∵∠ADD1+∠DAD1=90，而∠DAD1+∠ABC=90，∴∠ADD1=∠ABC，在Rt△DD1A和在Rt△BEE1中，∵∠ABC=∠DD1A，∠ADD1=∠BAC，AD=AC，∴△DD1A≌△BEE1，∴DD1=AB．

(2)AB=DD1+EE1．理由如下：过C作CM⊥AB于M，易得：△DD1A≌△ACM，∴DD1=AM，同理： △BCM≌△EBE1，∴EE1=BM，∴AB=AM+BM= DD1+EE1． (3)AB=DD1-EE1．

【点评】本题是对平面几何推理证明的考查，证明两条线段相等或两角相等，常用的方法就是先证得三角形全等，利用全等形的性质，推出结论，考查了同学们从特殊到一般的推理过程.

（2012四川成都，28，l2分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?5x?m 4(m为常数)的图象与x轴交于点A(?3，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y?ax?bx?c (a，b，c 为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

（1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴

2不平行的直线交抛物线于M1(x1，y1)，M2(x2，y2)两点，试探究并写出探究过程．

M1P?M2P 是否为定值，

M1M2

解析：第（1）小题可用待定系数法进行解决；对于第（2）小题“存在”问题，若存在要

指出，若不存在要说明原因。 答案：(1)∵一次函数y?∴0?5x?m经过点A(?3，0)， 45??-3??m[来源:Z|xx|k.Com] 415∴m=

415则C的坐标为（0，）

4∵二次函数y?ax?bx?c经过点A（-3,0）、点C（0，轴

则点B的坐标为（5,0）

215），且以直线x=1为对称4?15=c?4??b∴?-=?-3?+5=2 ?a?c15?a=4a=?-3??5=-15?15?c??4?1?解，得?a?-

4?1?b??2?∴二次函数为y?-12115x+x+ 424（2）存在

根据题意，FE∥AC

要使ACEF为平行四边形[来源:Zxxk.Com] 则CE∥AF ∵E在抛物线y?-12115x+x+上 42415） 4∴E是C关于直线x=1的对称点，则E点的坐标为（2，∴SACEF=CE?OC=2?

15=7.5 4E F

（3）要使△ACP的周长取得最小值，即为AP+CP最小

E是C关于直线x=1对称点，连接AE交对称轴于点P，则PE=CP 此时，△ACP的周长取得最小值。

如图所示，CE交x=1于点G，x=1交x轴于H 则

GPEG1?? HPAH4∴点P的坐标为（1,3）

设过点P的直线的直线M1M2的解析式为y?kx+3-k 则

1115-x2+x+=kx+3-k 424x2+?4k-2?x-?4k+3?=0

则△=?4k-2?+4?4k+3?=16k+16

222∴x1=1-2k+2k+1,x2=1-2k-2k+1

2222∴y1?3-2k?2kk?1,y2?3-2k-2kk?1

2M1P=M2P=?x1-xP?+?y1-yP?22P2P?k+1-k?

?x-x?+?y-y?=2?k+1+k?

22=2222M1M2??x2-x1???y2-y1?222?4?k2?1?

k2?1+k∴

M1P?M2P?M1M2?k2?1-k?24?k2+1????=1 2k+1∴

M1P?M2P不是定值。

M1M2M1

E P M2

点评：在本题中，第一小题考查了是知识的灵活应用能力和运算能力，第二小题是探究题，

需要同学们进行细心地观察、大胆地猜测、灵活地验证。 28．（2012四川内江，28，12分）如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴

的正半轴上，且∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点，其顶点为M. （1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式； （2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；

（3）在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN＝4？如果存在，那么这样的点有几个？如

果不存在，请说明理由．

y M C A O B x 图14

【解析】（1）根据∠ACB＝90°及坐标系中的横、纵轴垂直关系，可证得△AOC∽△COB，进而得到OC2＝OA2OB，求出OC长得到点C的坐标．（2）猜测是相切的位置关系．以AB为直径的圆的圆心是AB的中点，不妨设为点E，连接EC，EM，证得EM2＝CE2＋CM2即可．（3）分点N在直线BC的左下方和右上方两种情况考虑．

【答案】解：（1）∵∠CAO＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠BCO＝90°， ∴∠CAO＝∠BCO．

∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．∴∵OC＞0，∴OC＝2．

∵点C在y轴的非负半轴上，∴C（0，2）．

由题意可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)， ∴2＝a(0＋1)(0－4)．a＝－∴y＝－

1． 2OCOA＝．∴OC2＝OA2OB＝4． OBOC113(x＋1)(x－4) ＝－x2＋x＋2． 222（2）直线CM与以AB为直径的圆相切．

y M C Q A O E B x N 图14

33133325，0），当x＝时，y＝－3()2＋3＋2＝． 2222228理由：设AB中点为E，则E（∴M(

32525625325，)，∴EM＝，EM2＝，CE2＝(0－)2＋(2－0)2＝， 288642432252225)＋(2－)＝． 2864CM2＝(0－

∴EM2＝CE2＋CM2．∴CE⊥CM． ∴以AB为直径的圆与直线CM相切．

（3）存在点N，使得S△BCN＝4，且这样的点有3个．

①当N在直线BC左下方时，S△BCN可以为任意正数，所以存在两个点，使S△BCN＝4； ②当N在直线BC右上方时，过点N作平行于y轴的直线交BC于点Q，直线BC的解析式为y＝－

1x＋2． 21231t＋t＋2），则点Q的坐标为（t，－t＋2）， 222设点N的坐标为（t，－∴NQ＝－

12311t＋t＋2－(－t＋2)＝－t2＋2t． 2222111NQ2OB＝(－t2＋2t)34＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4． 222∴S△BCN＝S△NQC＋S△NBQ＝

∴当t＝2时，△BCN的面积最大为4．

∴存在一个点N，使得S△BCN＝4．

综上，在抛物线上共存在三个点N，使得S△BCN＝4．

【点评】此题综合考查了相似三角形，勾股定理，待定系数法，三角形的面积，数形结合思想等，整体难度不大，学生上手容易．第（1）问是射影定理基本图，学生普遍都会．第（2）问证明切线时，如下图，还可以过点C作CD⊥EM于D，利用相似三角形或锐角三角函数证明∠MCD＝∠CED，然后由∠CEM＋∠DCE＝∠MCD＋∠DCE＝90° ，得∠MCE＝90°，从而证得CE⊥CM．当然也可以过点M作y轴的垂线段MF，在△MCF与△COE中用相似三角形或锐角三角函数知识证明∠MCE＝90°．第（3）问这种在抛物线上探究三角形面积类问题比较新颖，过去出现较多的情形是在抛物线落在第一象限的BC段上求解，而此题却是在整条抛物线上求解判断，富有新意，值得关注．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

y F M N C D Q A O E B x

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