2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷

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2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷

参考答案

注意：本试共12题，全卷满分120分。 1．(8分) 计算：

1111＋＋＋?＋＝ 。 7?1010?134?7109?11213313解 原式＝×(＋＋＋?＋)

7?1010?1334?7109?1121111111＝×(－＋－?＋－)

4771031091121111119＝×(－)＝×(－)＝。

4112411233112

2．(8分) 计算：2013×2014×2015÷(6×95×143)＝ 。

解 原式＝(3×11×61)×(2×19×53)×(5×13×31)×÷(2×3×5×19×11×13)

＝61×53×31＝ 100223 。

3．(9分) 如果六位数A2014B能够被88整除，那么，这个六位数A2014B＝ 。

解 由于六位数A2014B能够被88＝11×8整除，即必须同时能够被11和8整除。要被8整除，则要求末三位被8整除，从而可知B＝4；再根据被11整除可知A＝3。所以，这个六位数为 320144 。

4．(9分) 设A为自然数，如果2014＋A是一个立方数，那么，A最小可以是 。 解 此题是一个估值的题。因为123＝1728＜2014，133＝2197＞2014，所以，自然数A最小为2197－2014＝ 183 。

5．(10分) 如果自然数A被123除余79，被124除余29，那么，自然数A最小可以是 。

解 设A＝123×B＋79＝124×C＋29，因为同一个数被两个自然数除，除数大则商小，所以可知B≥C。将上式变形得

123×(B－C)＝C－50，

要使被除数A尽可能小，即要使A被124除所得的商C尽可能小。当B＝C时，C最小可取50，所以，A最小可取124×50＋29＝ 6229 。

6．(10分) 设A是一个自然数，如果A满足：

2

111111＜＋＋＋?＋＜， 2014201520162032A?1A那么，自然数A＝ 。

解 比较分数的大小。因为

111111＋＋＋?＋＜×19＝， 20142015201620322014106又

1111111＋＋＋?＋＞×19＞×19＝， 201420152016203220322033107所以

111111＜＋＋＋?＋＜， 2014201520162032106107得A＝ 107 。

7．(10分) 在乘法算式

29×数学竞赛＝72×竞赛数学

中，不同汉字代表不同的非零数字，相同汉字代表相同的非零数字。要使得算式成立，那么，数学×竞赛＝ 。

解 由位值原理可知：

00＋竞赛竞赛)＝72×(竞赛00＋数学)， 29×(数学2900×数学＋29×竞赛＝7200×竞赛＋72×数学，

2828×数学＝7171×竞赛。

将2828和7171质因数分解：

2828＝22×7×101， 7171＝71×101，

可知2828与7171的最大公因数为101，将2828和7171同时分解为一个两位数和一个公因数之积，只有：

2828＝28×101， 7171＝71×101，

所以

28×101×数学＝71×101×竞赛，

即

28×数学＝71×竞赛，

要使等式成立，则只有 数学＝71，竞赛＝28，从而得

数学×竞赛＝71×28＝ 1988 。

8．(10分) 在下图中，包含“★”的长方形共有 个。

★ 3

解 由于图形不规则，我们只有将各种形状的长方形列表计数：

形状 1×1 2×1 1×2 3×1 1×3 2×2 4×1 1×4 5×1 1×5 6×1 个数1 1 1 1 1 3 0 0 0 0 形状 3×2 2×3 4×2 2×4 3×3 5×2 2×5 4×3 3×4 5×3 个数

共 29 个。

9．(11分) 已知甲、乙两车的速度比为4 : 5，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，计划在C地相遇。由于下雨，甲车的速度减少了25%，乙车的速度减少了20%，结果两车相遇在D地。如果C，D两地相距5千米，那么，A，B两地相距 千米。

解 由于甲、乙两车的速度比为4 : 5，可知在计划相遇过程中，甲车行驶了全程的

44＝。 4?590 4 4 2 2 3 1 1 2 1 1 另一方面，雨后甲、乙两车的速度比变为

4×(1－25%) : 5×(1－20%)＝3 : 4，

从而知，在实际相遇的过程中，甲车行驶了全程的

33＝。 3?47因为C，D两地相距5千米，所以，A，B两地相距

5÷(

10．(11分) 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个。为了使A堆中黑子占A堆的

13，B中黑子占B堆的，那么，要从B堆中2443－)＝ 315 千米。 97拿到A堆 个黑子， 个白子。

解 (1) 我们先从B堆中拿150个黑子到A堆，此时A堆中有黑子和白子都为500个，满足A堆黑子占一半的条件。以后只要从B堆中拿出的黑子个数与白子个数相等，那么，A堆中黑子与白子各半的条件都能满足。

(2) 此时B堆中有黑子400－150＝250个，白子100个。黑子与白子的个数之差为250－100＝150，只要再从B堆拿到A堆的黑子与白子数是相同的，不论个数多少，它

4

们的差仍为150个。而对于B堆，要求黑子3份，白子1份，所以其差为2份，每份为75个。所以，最后B堆中剩下黑子75×3＝225个，白子75个，所以还需要从B堆各拿25个黑子和白子到A堆。

(3) 综合上面分析，要满足题中的条件，要从B堆拿到A堆 175 个黑子， 25 个白子。

11．(12分) 如下左图所示，在△ABC中，AE与BD交于O点，AC＝3AD，BC＝4EC。如果△AOD的面积为1，那么，△ABC的面积等于 30 。

解 连结OC，设S△ABC＝S，S△COE＝x。由题中条件知：

A O D S△AOC＝3，S△COD＝2，S△BOE＝3x，

从而有

S△AOC＋S△COE＝S△ACE＝S△COD＋S△BOC＝S△BCD＝

B E C 即3＋x＝

12．(12分) 如上右图是一张50行和100列的表，如果按斜线依次填入自然数 (如自然数14在第2行，第4列)。那么，自然数2014填在第 行，第 列。

解 因为前50条斜线，每一条都比前一条多写填一个数，所以前50条斜线上的数有

1＋2＋3＋?＋50＝1275

个数，即1275填在第1行，第50列；1276填在第50行，第2列。

填到自然数2014还需要填2014－1275＝739个数。由于以后的50条斜线上都写50个数，而

739÷50＝14??39，

所以，自然数1275＋50×14＝1975应填在第1行，第64 (＝50＋14) 列上，而自然数1976应填在第50行，第16 (＝2＋14) 列上。

剩下的数可列表找规律： 自然数 行 数 列 数

所以，自然数2014填在第 12 行，第 54 列。

1S△ABC， 42S△ABC， 312S，2＋4x＝S，可得S＝ 30 。 431 3 6 10 15 ? ? 2 5 9 14 ? 4 8 13 ? 7 12 ? 11 ? ? 1976 1977 1978 50 16 49 17 48 18 ? ? ? 2014 12 54 5

2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷

参考答案

1．

9。 2． 100223 。 3． 320144 。 112

4． 183 。 5． 6229 。 6． 107 。

7． 1988 。 8． 29 。 9． 315 。

10．黑子 175 个，白子 25 个。 11． 30 。

12．第 12 行，第 54 列。

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