数学选择压轴题（解析与答案）

数学选择压轴题（解析与答案）

一．选择题（共30小题）

1．（2013?陕西一模）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个

【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有 【专题】压轴题；新定义．

【分析】由※的定义，a※b=12分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=12；a和b同奇偶，则a+b=12．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可． 【解答】解：a※b=12，a、b∈N*，

若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；

若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，

所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B

【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．

2．（2011?龙岩校级模拟）设集合S={A0，A1，A2，A3，A4}，在S上定义运算⊙为：Ai⊙Aj=Ak，其中k=|i﹣j|，i，j=0，1，2，3，4．那么满足条件（Ai⊙Aj）⊙A2=A1（Ai，Aj∈S）的有序数对（i，j）共有（ ）

A．12个 B．8个 C．6个 D．4个

【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有 【专题】压轴题．

【分析】由已知所求有序数对（i，j）可以转化为1=||i﹣j|﹣2|，化简求解． 【解答】解：由已知（Ai⊙Aj）⊙A2=A1， ∴1=||i﹣j|﹣2|，

化简得i﹣j=1，﹣1，3，﹣3，

i﹣j=1时（i，j）=（1，0），（2，1），（3，2），（4，3）； i﹣j=﹣1时（i，j）=（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）； i﹣j=3时（i，j）=（3，0），（4，1）； i﹣j=﹣3 时（i，j）=（0，3），（1，4）， 共12对． 故答案选A．

【点评】本题主要考查元素与集合间的关系及其应用，将所给条件转化为简单条件，可是解题过程简单一些．

3．（2014?荆州一模）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0； ②f（0）f（1）＜0；

③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0； ⑤abc＜4； ⑥abc＞4．

其中正确结论的序号是（ ）

A．①③⑤ B．①④⑥ C．②③⑤ D．②④⑥ 【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 【专题】综合题；压轴题．

【分析】根据f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．

【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3） ∴当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f'（x）＞0 所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）和（3，+∞） 单调递减区间为（1，3）

所以f（x）极大值=f（1）=1﹣6+9﹣abc=4﹣abc， f（x）极小值=f（3）=27﹣54+27﹣abc=﹣abc

要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知： a＜1＜b＜3＜c

及函数有个零点x=b在1～3之间，所以f（1）=4﹣abc＞0，且f（3）=﹣abc＜0 所以0＜abc＜4 ∵f（0）=﹣abc ∴f（0）＜0

∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0 故答案为：②③⑤

【点评】本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，利用数形结合可以使本题直观．

4．（2013?上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ） A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 【专题】压轴题；函数的性质及应用．

【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b2﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可．

【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点； 则a＞0且△=b2﹣4ac＜0．

但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；

反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时． 从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件． 故选D．

【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．

5．（2013?沈河区校级模拟）已知下列命题四个命题：

①若f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0）上是增函数，则f（sinθ）＞f（cosθ）；

②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要条件；

③设函数f（x）=x2+2（﹣2≤x＜0），其反函数为f1（x），则f1（3）=﹣1或1．

﹣

﹣

，

④在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b2+c2=a2+bc，则其中真命题的个数有（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；余弦定理．菁优网版权所有 【专题】压轴题；阅读型．

【分析】①联系偶函数和增函数得到函数在[0，1]上为减函数，从而可以判断；

．

②因为A、B是三角形的内角，所以A，B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是减函数．由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案；

③欲求f1（3），根据原函数的反函数为f1（x）知，只要求满足于f（x）=3的x的值即可；

﹣

﹣

④根据余弦定理表示出cosA，把已知得等式变形后代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．

【解答】解：①由已知可得函数在[0，1]上为减函数，∵＞0，∴f（sinθ）＜f（cosθ）， 故①错；

②∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），

∵在（0，π）上，y=cosx是减函数，∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故②正确； ③令f（t）=3，则t=f1（3）（﹣2≤t＜0），所以有t2+2=3，所以t=±1，因为﹣2≤t＜0，所以t=﹣

﹣

，∴1＞sinθ＞cosθ

1，故③错误；

④∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc， 结合余弦定理知cosA=

=

=，

又A∈（0，π），∴A=从而真命题有两个 故选B．

，故④正确．

【点评】本题的考点是命题的真假判断与应用，解题时需依据函数的性质，余弦定理一一判断，综合性强．

6．（2013?茂南区校级模拟）设函数f（x）=x|x|+bx+c（x∈R）给出下列4个命题 ①当b=0时，f（x）=0只有一个实数根； ②当c=0时，y=f（x）是偶函数；

③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称； ④当b≠0，c≠0时，方程f（x）=0有两个不等实数根． 上述命题中，所有正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 【专题】压轴题；阅读型．

【分析】对于①当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=﹣c只有一个交点，故可判断；②当c=0时，f（x）=x|x|+bx，可判断函数为奇函数；③y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故可判断；④当b≠0，c≠0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根．

【解答】解：①当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=﹣c只有一个交点，故①正确； ②当c=0时，f（x）=x|x|+bx，f（﹣x）=﹣f（x），故y=f（x）是奇函数；

③y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确； ④当b≠0，c≠0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根． 故选C．

【点评】本题的考点是命题的真假判断与应用．主要考查函数性质的判断，关键是正确理解函数．

7．（2014?黄山一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2011）的值为（ ） A．﹣1 B．0

C．1

D．2

【考点】对数的运算性质；函数的值．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题．

【分析】通过函数的表达式，利用f（2011）推出x＞0时，函数的周期，求出f（2011）=f（1），然后求解函数的值．

【解答】解：f（2011）=f（2010）﹣f（2009）=f（2009）﹣f（2008）﹣f（2009）=﹣f（2008）=

﹣f（2007）+f（2006）=﹣[f（2006）﹣f（2005）﹣f（2006）]=f（2005）． 函数f（x），x＞0时，周期为6， ∴f（2011）=f（1）=f（0）﹣f（﹣1） =log21﹣log22 =﹣1． 故选A．

【点评】本题主要考查对数的运算性质和有理数指数幂的化简求值的知识点，解答本题的关键是熟练对数的运算性质，此题难度一般．

8．（2014?庐阳区校级模拟）若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y=f（x）的图象上；②P和Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数数的“友好点对”有（ ）

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【考点】对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有 【专题】压轴题；新定义；函数的性质及应用．

，则此函

，

【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可． 【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x， 可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，

则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x 由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，

看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数． 如图，

观察图象可得：它们的交点个数是：2． 即f（x）的“友好点对”有：2个． 故答案选 C．

【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．

9．（2013?文昌模拟）已知函数f（x）的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．若g（x）=x+m﹣lnx的保值区间是[e+∞），则m的值为（ ） A．﹣1 B．1

C．e

D．﹣e

【考点】对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题；新定义．

【分析】根据g（x）的保值区间得到m的取值范围，求出函数的导函数的增减区间． 【解答】解：∵g′（x）=1﹣＞0，得x＞1

所以g（x）在（1，+∞）上为增函数，同理可得g（x）在（0，1）上为减函数． 又因为g（x）=x+m﹣lnx的保值区间是[e，+∞），则定义域为[e，+∞） 所以函数g（x）在[e，+∞）上单调递增 g（x）min=g（e）=e+m﹣1=e 所以m=1

故选B

【点评】本题主要考查学生求函数定义域、值域的能力，以及利用导数研究函数增减性的能力，属于中档题．

10．（2013?天河区三模）已知函数

且函数y=f（x+1）﹣1为奇函数，则下列结论： （1）点P的坐标为（1，1）；

（2）当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0恒成立； （3）关于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有两个实根． 其中正确结论的题号为（ ）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）

【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题．

【分析】由函数y=f（x+1）﹣1为奇函数，结合奇函数的定义列式，可证出y=f（x）的图象关于点P（1，1）对称，故（1）正确；求出函数g（x）在x∈（﹣∞，0）时的表达式，根据对数函数的单调性得到g（x）＜1恒成立，故（2）不正确；由以上的讨论，得到函数y=f（x）的表达式，再结合对数函数的图象与性质对f（x）的进行讨论，可得（3）也是正确的．由此不难得到正确选项．

【解答】解：∵函数y=f（x+1）﹣1为奇函数，

∴f（﹣x+1）﹣1=﹣[f（x+1）﹣1]，即f（1+x）+f（1﹣x）=2， 可得y=f（x）的图象关于点P（1，1）对称，故（1）正确； ∵f（1+x）+f（1﹣x）=2，得f（x）=2﹣f（2﹣x）

∴当x＜1时，f（x）=g（x）=2﹣[1+lg（1﹣x）]=1﹣lg（1﹣x） 因此当x∈（﹣∞，0）时，lg（1﹣x）＞lg1=0，可得g（x）＜1 所以g（x）＞0不能恒成立，故（2）不正确； 由以上的分析可得：

的图象关于点P对称，

结合对数函数图象与性质可得：函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，在（﹣∞，1）上为增函数，

函数y=f（x）的图象以x=1为渐近线，且在渐近线的两侧y的取值都是（﹣∞，+∞） 关于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有两个实根，故（3）正确． 综上所述，正确的选项是（1）、（3） 故选C

【点评】本题给出一个与对数函数有关的特殊函数，叫我们讨论它的单调性与图象的对称性．着重考查了对数函数图象与性质和函数奇偶性的应用等知识，属于中档题．

11．（2012?武汉模拟）已知函数f（x）=2|x1|，若

﹣

，b=f（log23），，

则a，b，c的大小关系是（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c

C．a＜c＜b

D．b＜c＜a

【考点】对数值大小的比较；指数型复合函数的性质及应用．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题． 【分析】由f（x）=2|x1|，知

﹣

=2|\\frac{1}{ln2}1|=

﹣

，b=f（log23）

=

log23﹣1＜1﹣

=，==，由＜

，能比较a，b，c的大小．

﹣

【解答】解：∵f（x）=2|x1|， ∴

=2|\\frac{1}{ln2}1|=

﹣

，

b=f（log23）==，

=

∵

＜log23﹣1＜1﹣

=，

，

∴a＜b＜c． 故选B．

【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

12．（2012?四川模拟）已知定义域为R的函数f（x）存在反函数f1（x），且对于任意的x∈R，

﹣

恒有f（x）+f（﹣x）=1，则f1（2010﹣x）+f1（x﹣2009）=（ ）

﹣

﹣

A．0 B．2 C．3 D．与x有关

【考点】反函数．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题．

【分析】注意（2010﹣x ）与 （x﹣2009）的和等于1，若（2010﹣x ）与 （x﹣2009）一个是m，则另一个是1﹣m，令 f（t）=m，f（﹣t）=n，再应用反函数的定义解出 t 和﹣t即可得． 【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=1， 令 2010﹣x=m，x﹣2009=n，∴m+n=1，

∴可令 f（t）=m，f（﹣t）=n，由反函数的定义知， ∴t=f1（m），﹣t=f1（n）

﹣

﹣

∴f′（m）+f′（n）=0，

即：f1（2010﹣x）+f1（x﹣2009）的值是0，

﹣

﹣

故选A．

【点评】本题考查反函数的定义、函数的对称性，考查了换元的数学思想，属于基础题．

13．（2011?金东区校级模拟）设[x]表示不超过x的最大整数（如：[1]=1，[2，4）的函数f（x）=x[x]﹣ax（其中a为常数，且a≤4）的值域为（ ）

），则定义在

A．[4﹣2a，64﹣4a） B．[4﹣2a，9﹣3a）∪[27﹣3a，64﹣4a） C．[9﹣3a，64﹣4a） D．[4﹣2a，9﹣3a]∪（27﹣3a，64﹣4a] 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．菁优网版权所有 【专题】压轴题；新定义．

【分析】利用特殊值排除法，a为常数，且a≤4，故考虑先令a=0，f（x）=x|x|，则2≤x＜4可得，|x|=2或|x|=3，分别代入求出函数的值域，在结合选项中a=0，找出符合条件的即可 【解答】解：利用特殊值排除法

a为常数，且a≤4，可先令a=0，f（x）=x|x|则2≤x＜4可得，|x|=2或|x|=3 当2≤x＜3，|x|=2，f（x）=x2﹣ax，令a=0可得此时4≤f（x）＜9 当x=3，|x|=3，f（x）=33﹣3a=27﹣3a，令a=0可得f（x）=27 当3＜x＜4，|x|=3，f（x）=x3﹣ax，令a=0 27＜f（x）＜64 从而可排除选项A，C，D 故选：B

【点评】本题主要考查漏掉函数的值域的求解，直接法比较麻烦，而根据选择题的特点，考虑利用特殊值代入检验及排除法寻找正确答案，体会排除法的应用．

14．（2011?上海校级二模）设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定

义函数：

取函数f（x）=aA．

D．

﹣|x|

（a＞1）．当

B．

时，函数fk（x）值域是（ ）

C．

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题；新定义；分类讨论．

【分析】先求出新函数的分界值，在利用定义求出新函数的解析式，最后利用指数函数的单调性求出结论即可． 【解答】解：当f（x）=a

﹣|x|

时，∵a＞1

∴|x|＜1，此时1≤fk（x）=a|x|＜a； 当f（x）=a

﹣|x|

时，∴|x|≥1，此时0＜f（x）=a

．

﹣|x|

；

综上函数fk（x）值域是故选D．

【点评】此题是个中档题．此题是在新定义下对函数单调性以及含的值域的综合考查．在作带有新定义的题目时，一定要先理解定义，再用定义作题．

15．（2011?枣庄校级模拟）已知函数（fx）=x2﹣x，实数x，y满足

，则

的取值范围是（ ） A．[1，4]

B．[1，8]

C．[1，2]

D．[1，

]

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；二次函数的性质．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由已知f（x）=x2﹣x及

可得

，而

，利用线性规划的知识可先求2x+y的范围，进一步可求．

【解答】解：f（x）=x2﹣x 由

可得

而，利用线利用线性规划的知识可知

当过（1，1）时，2x+y取得最大值3，当过（0，0）时2x+y取得最小值0， 1≤22x+y≤8 故选：B．

【点评】本题主要考查了二次函数、不等式的基本运算、指数式的基本运算、线性规划求目标函数的最值等知识的综合应用，解题中涉及到了转化的思想，是一道综合性比较好的试题

16．（2011?临清市校级一模）已知函数f（x）=9x﹣m?3x+m+1对x∈（0，+∞）的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是（ ） A．2﹣2

＜m＜2+2

B．m＜2 C．m＜2+2

D．m≥2+2

【考点】指数函数的图像与性质；二次函数的性质．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题；分类讨论．

【分析】本题通过换元法将原函数转化为二次函数，然后结合二次函数的特点进行分类解题．即

△=（﹣m）2﹣4（m+1）＜0或都满足题意．

【解答】解：令t=3x，则问题转化为函数f（t）=t2﹣mt+m+1对t∈（1，+∞）的图象恒在x轴的上方

即△=（﹣m）2﹣4（m+1）＜0或

解得m＜2+2故答案为C

．

【点评】本题考查了指数函数的图象与性质，二次函数的性质，还有通过换元法将原函数转化为二次函数，属于基础题．

17．（2011?山东校级一模）已知函数

，正实数a、b、c满足f（c）

＜0＜f（a）＜f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列5个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④c＜a；⑤a＜b．其中可能成立的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点；函数零点的判定定理．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据函数的单调性的性质，我们可以判断出函数

为减函数，

再由正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，我们易判断出a，b，c，d的大小，进而得到答案． 【解答】解：∵函数

为减函数，

又∵正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b）， 实数d是函数f（x）的一个零点 ∴f（c）＜f（d）＜f（a）＜f（b）， ∴c＞d＞a＞b 故①②正确 故选B

【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性，指数函数的单调性，函数的零点，其中根据已知中函数的解析式，结合函数的单调性的性质，判断出函数数，是解答本题的关键．

18．（2010?全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ）

A． B． C．（3，+∞） D．[3，+∞）

【考点】对数的运算性质；函数的值域；函数的单调性及单调区间；基本不等式．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题；转化思想．

【分析】由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数， 确定a+2b的取值范围．

为减函

【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令1）上为减函数，

所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）． 故选C．

，所以a+2b=

，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，

【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=用心良苦之处．

19．（2015?安徽三模）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，

，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的

所有零点之和为（ ） A．2a﹣1 B．2a﹣1

﹣

，从而错选A，这也是命题者的

C．1﹣2a

﹣D．1﹣2a

【考点】函数的零点．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题．

【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，为计算提供简便．

【解答】解：当﹣1≤x＜0时?1≥﹣x＞0，x≤﹣1?﹣x≥1，又f（x）为奇函数 ∴x＜0时，

y=a（0＜a＜1）的图象，

画出y=f（x）和

如图

共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则

?log2（1﹣x3）=a?x3=1﹣2a，

可得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a， 故选D．

【点评】本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．

20．（2015?梅州二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，φ（x）=cosx（x∈（β，γ的大小关系是（ ）

A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．γ＜α＜β D．β＜α＜γ 【考点】函数的零点；函数的图象．菁优网版权所有 【专题】压轴题；新定义．

【分析】由题设中所给的定义，方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项．

【解答】解：由题意方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”， 对于函数g（x）=x，由于g′（x）=1，故得x=1，即α=1

对于函数h（x）=lnx，由于h′（x）=，故得lnx=，令r（x）=lnx﹣，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2 对于函数φ（x）=cosx（故有γ=

＞2

），由于φ′（x）=﹣sinx，故得cosx=﹣sinx，即tanx=﹣1，

，π））的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，

综上γ＞β＞α 故选A

【点评】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出α，β，γ的值或存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，计算能力属于基本题型

21．（2015?钦州模拟）若函数f（x）满足

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，

若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题；数形结合． 【分析】根据

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）

的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论． 【解答】解：∵∴x∈（﹣1，0）时，∴f（x）=

，

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，

，

因为g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点， 所以y=f（x）与y=mx+m的图象有两个交点，

函数图象如图，由图得，当0＜m故选 D．

时，两函数有两个交点

【点评】此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．

22．（2015?柳州一模）已知函数

，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根

的个数不可能为（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 【专题】压轴题；数形结合．

【分析】先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根数即可．

【解答】解：画图

，和y=2x2+x图象，

结合两个函数的图象可知

或a＞3，4个根， ，5个根，

，6个根．

故选A．

【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于难题之列．

23．（2015?黄山三模）已知函数

有且仅有3个实

数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（ ） A．5

B．

C．3

D．

【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据函数f（x）的对称性可知

=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅

有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得． 【解答】解：∵方程有3个实数根，所以必含有1这个根 令

=1，

=k有解时总会有2个根，

解得x=2或x=0

所以x12+x22+x32═02+12+22=5． 故选A

【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用．利用了函数图象的对称性和方程根的分布，考查了学生分析问题的能力．

24．（2014?广东模拟）已知a是函数f（x）=2x﹣满足（ ）

A．f（x0）=0 B．f（x0）＞0 C．f（x0）＜0 【专题】压轴题． 【分析】a是函数

的零点，函数

是增函数，本题

D．f（x0）的符号不确定

【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有

x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值

根据函数的单调性和零点的性质进行求解．

【解答】解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数

的零点，即f（a）=0， ∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0， 故选 C． 【点评】函数

是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数

的唯一零点．

25．（2014?武侯区校级模拟）已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（ ） A．（

，+∞）

B．（﹣∞，﹣

） C．（﹣

，﹣2） D．（2，

）

【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】压轴题；函数的性质及应用．

【分析】函数f（x）=|xex|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值 ，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（ ，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围． 【解答】解：f（x）=|xex|=

，

当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数； 当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），

由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，

所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e1=，

﹣

要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，

令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（ ，+∞）内，

再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0， 则只需g（ ）＜0，即（ ）2+t+1＜0， 解得：t＜﹣

．

所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（﹣∞，﹣故选B．

【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．

26．（2014?重庆三模）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量若不等式

恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数

，在[1，

）．

2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ ） A．[0，+∞） B．

C．

D．

【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 【专题】压轴题；新定义．

【分析】本题求解的关键是得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题． 【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，的最大值，所以本题即求

的最大值．

恒成立即k恒大于等于

，则k≥

由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，） AB方程y=（x﹣1）

由图象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤故选D．

【点评】解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．

27．（2013?四川）设函数

（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上

（均值不等式）

存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（ ） A．[1，e]

B．[e1﹣1，1]

﹣

C．[1，e+1] D．[e1﹣1，e+1]

﹣

【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有

【专题】综合题；压轴题；转化思想；函数的性质及应用．

【分析】考查题设中的条件，函数f（f（y0））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项 【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]

考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项

当a=0时，

（y0））=y0是否成立 由于

，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f

是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=

＞1，故a=0

不合题意，由此知B，D两个选项不正确 当a=e+1时，

此函数是一个增函数，

=0，而

f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确 综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确 故选A

【点评】本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错

28．（2015秋?上海校级期中）在等比数列{an}中，a1＞1，且前n项和Sn满足a1的取值范围是（ ）

A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，【考点】极限及其运算．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【分析】在等比数列{an}中，能够推导出a1的取值范围． 【解答】解：由题意知∴a12=1﹣q，

∵a1＞1，|q|＜1，∴1＜a12＜2， ∴故选D．

【点评】本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意掌握极限的逆运算．

29．（2015?锦州一模）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=ax?g（x）（a＞0，且a≠1），的前n项和大于62，则n的最小值为（ ） A．6

B．7

C．8

D．9

【考点】简单复合函数的导数；数列的函数特性．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题．

，若数列

．

Sn=

=

，

Sn=

，由题意可知

，

=

，再由a1＞1，|q|＜1

）

Sn=

，那么

【分析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合

，可求a．利用等比数列的求和公式可求

，从而可求

【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）， ∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0， ∴

，

从而可得∵∴a=2． 故

单调递增，从而可得a＞1，

，

=2+22+…+2n=

∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*． ∴n=6． 故选：A．

．

【点评】本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数

30．（2015?天津校级模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（ ） A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} 【专题】计算题；压轴题．

【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=

为减函数，

D．{x|﹣1＜x＜1，且x≠0}

【考点】函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法．菁优网版权所有

单调递增．

由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x?g（x）＞0，数形结合解不等式组即可 【解答】解：设g（x）=

，则g（x）的导数为g′（x）=

，

∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，

∴当x＞0时，函数g（x）=又∵g（﹣x）=

=

为减函数， =

=g（x）

∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（1）=

=0

∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得 不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0??0＜x＜1或x＜﹣1 故选B

或

【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．

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