八年级上数学期末综合复习之一：勾股定理

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第一章：勾股定理

一、基础测试

1．在直角三角形中，两直角边的 等于 .若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则 。

2．在三角形中，若 等于第三边的平方，则这个三角形为 ，这是判定一个三角形是 的方法．

3．能构成直角三角形边长的三个 称为勾股数。

二、专题讲解：

专题1 勾股定理与面积 例1 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°○，以△ABC 各边为边在△ABC 个正方形，S 1，S 2，S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3 =225，则S 2= 。

思考：将△ABC 外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？

专题2 勾股定理与方程

例2 如图2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，且BD=6，AD=6，S ΔABC =42，求AC 的长。

思考：如图3，在△ABC 中，AC ＝3○，BC=4，求AB 的长。

专题3 勾股定理的实际应用

例3 如图4，一个机器人从O 点出发，向正东方向走3米到达A 1点，再向正北方向走6米到达A 2点，再向正西方向走9米到达A 3点．再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东方向走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6点时，离队点的距离是_______米．

解：15 点拨：解此题时要注意算对A 1A 2，A 2A 3，A 3A 4，A 5A 6，等各线段的长，再利用勾股定理求解．

例4 如图5，有一个圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆的母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m ．（结果不取近似值）

专题4 勾股逆定理的实际应用

例5 如图6，一棵大树在一次强台风中在离地面5米处折断倒下，倒下部分与地

面成30○夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）

A ．10米

B ．15米

C ．25米

D ．30米

解：B 点拨：主要考查直角三角形中

30○的角所对的直角边等于斜边的一半．

例6 在△

ABC 中，，AB=3，则cosA=_______．

第14题图

A时

B时

解

点拨：先运用勾股定理逆定理判断：AC2＋BC2 =2＋7=9，AB2 = 9，

所以AC2＋BC2=AB2，所以△ABC为直角三角形．再由三角函数定义求

cosA．

三、针对性训练：

1．（2010山东德州第14题）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影

长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.

答案： 4

2.（2010·浙江温州第16题）勾股定理有着悠久的历史，它曾引

起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮

票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，

它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠

BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，

E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于．

答案

:27+

3．（2010，浙江义乌）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是▲．(写出一组即可)

答案；3、4、5（答案不唯一，满足题意的均可）

4.（2010·绵阳第17题）如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB = a．将

△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为．

答案：a

4

2

6-

5．（2010哈尔滨第19题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点

C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．

答案：125

6．（2010湖北省咸宁市第24题）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，90

DAB

∠=?，24

AD DC

==，6

AB=．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运

动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两

点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为

Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当0.5

t=时，求线段QM的长；

（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；

（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究

CQ

RQ

是否为定值，若是，试求这个定

45?

60?

A′

B

M

A

O

D

C

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（第18题）

题图

24C B

A

值；若不是，请说明理由．

答案：见后面详细解答。

7．（2010年眉山第7题）如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 答案：C

8．全等、四边形、勾股定理（2010山西第18题）．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是______________。 答案：6013

9． (10重庆潼南县第24题)如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2，∠3=∠4．

（1）证明：△ABE ≌△DAF ； （2）若∠AGB=30°，求EF 的长．

答案：见后面详细解答。

第6题详解

．解：（1）过点C 作CF AB ⊥于F ，则四边形AFCD 为矩形．

∴4CF =，2AF =．

此时，Rt △AQM ∽Rt △ACF ．……2分 ∴

QM CF AM AF

=． 即40.52QM =，∴1QM =．……3分 （2）∵DCA ∠为锐角，故有两种情况：

①当90CPQ ∠=?时，点P 与点E 重合．

此时DE CP CD +=，即2t t +=，∴1t =．……5分

②当90PQC ∠=?时，如备用图1， A B C D （备用图1） A B C D （备用图2） Q A B C D l M P （第24题） E A B

C

D （备用图1） Q

P E l

M Q A B C D l M P （第6题） E F

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题图24此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ，∴EQ

MA

PE QM =．

由（1）知，42EQ EM QM t =-=-，

而()(2)22PE PC CE PC DC DE t t t =-=--=--=-， ∴421

222t

t -=-． ∴5

3t =．

综上所述，1t =或5

3．……8分（说明：未综述，不扣分）

（3）CQ

RQ 为定值．……9分

当t ＞2时，如备用图2，

4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．

由（1）得，4BF AB AF =-=．

∴CF BF =． ∴45CBF ∠=?．

∴6QM MB t ==-． ∴QM PA =．

∴四边形AMQP 为矩形． ∴PQ ∥AB

．……11分 ∴△

CRQ ∽△CAB ．

∴CQ BC RQ AB ===．……12分

第9题详解

解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD 。

在△ABE 和△DAF 中，

?????∠=∠=∠=∠3

41

2DA AB

∴△ABE ≌△DAF 。

（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠1+∠4=900。

∵∠3=∠4，∴∠1+∠3=900。∴∠AFD=900。

在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠1=∠AGB=300。

在Rt △ADF 中，∠AFD=900，AD=2，∴AF=3，DF =1。 由(1)得△ABE ≌△ADF 。∴AE=DF=1。∴EF=AF-AE=13-。

A B C D （备用图2） M Q R F P

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lxl1.html