利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题

利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题

汤敬鹏（兰州市第五十七中学 730070）

文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：

性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；

性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变； 现以一些高考试题为例加以说明。

例1（2008年全国卷Ⅱ第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点

⑴若ED?6DF，求k的值；

⑵求四边形AEBF面积的最大值。

分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’， 线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D分线段EF的比相同，利用圆当中的相交弦定理求得D’点的坐标，再反求出D点坐．．．．．标，从而很容易求出k值；利用性质3，可以求得四边形AEBF与四边形A’E’B’F’的面积关系，由于四边形A’E’B’F’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF面积的最大值。

x2解：依题设得椭圆的方程为?y2?1

4x作仿射变换，令x’=，y’=y，则得仿射坐标系x’O’y’，在此坐标系中，上述椭圆变换为

2圆x’2+y’2=1，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，且E’F’为圆的直径，E’F’=2，A’(1,0)，B’(0,1)

⑴根据性质1 ∵ED?6DF ∴E'D'?6D'F' ∴E’D’=∵E’D’·D’F’=A’D’ ·D’B’ A’D’+D’B’=A’B’=2 42323242 D’B’=或A’D’= D’B’= 777734∴A'D'?D'B'或A'D'?D'B'

43122 D’F’= 77∴A’D’=

4334由定比分点公式可得：D’(,)或D’(,)

7777836432∴D点坐标为(,)或(,) ∴k=或k=

777783⑵设四边形AEBF的面积为S，四边形A’E’B’F’的面积为S’，E’F’与A’B’的夹角为θ，则1?22S’=E'F'?A'B'?sin?=2sin?≤2（当θ=时取“=”号，此时F’ ()） ,2222由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr2=π 根据性质3有

SS'?，故S=2S’ 2??1222)，即k=时取“=”号 ,222说明：由上述证明过程可知，当D’为A’B’中点是时四边形A’E’B’F’的面积取到最大值，

∴S≤22 当且仅当F坐标为(

根据性质1，当D为AB中点时四边形AEBF的面积取到最大值。此结论如果利用常规解法是较难获得的，但利用仿射变换却较易获得。

例2（2007年宁夏、海南高考理科第19题）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,2)x2且斜率为k的直线l与椭圆?y2?1有两个不同的交点P和Q

2⑴求k的取值范围；

⑵设椭圆与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为是A、B，是否存常数k，使得向量OP?OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。

分析：利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，即可利用圆心到直线的距离与半径的关．．．．．．．．．．．．．系来刻画直线与圆的位置关系，从而间接地刻画了直线与椭圆的位置关系，这样的处理方式．

使计算量大大降低。而在第⑵问当中，若OP?OQ=OM，根据向量加法的几何意义则OM与PQ互相平分，利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，OM变换为O’M’，PQ变换为P’Q’，根据性质1，O’M’与P’Q’ 也互相平分，又由于O’M’过圆心，那么就可以利用圆中的垂径定理．．．．判断出O’M’与P’Q’垂直，这将有助于问题的简化。

解：⑴作仿射变换，令x’=

x2，y’=y，则得仿射坐标系x’O’y’，在此坐标系中，上述椭

圆变换为圆x’2+y’2=1，直线l：y=kx+2变换为直线l’：y’=2kx’+2，即2kx’-y’+2=0

根据性质2可知：直线l’与圆x’2+y’2=1的交点有两个 ∴

122＜1 ∴k2＞ ∴k?或k?? 22221?2k2⑵经过⑴中的仿射变换，点A、B分别变换为点A’(1,0)、B’(0.1)，点P、Q分别变换为点

P’、Q’，根据性质2可知P’、Q’必在圆上，且直线A’B’的斜率为k1=-1，直线P’Q’的斜率即直线l’的斜率为2k

根据性质2，若有OP?OQ与AB共线，则必有O'P'?O'Q'与A'B'共线 设O'P'?O'Q'=O'M'，根据垂径定理，必有O'M'⊥P'Q' 当O'M'∥A'B'时，P'Q'⊥A'B'，由此可得2k=?12=1， k? k12由⑴可知：k?22或k??，所以没有符合题意的常数k. 22说明：此题的原解答较繁，特别是第⑵问的解答进行了一定量的向量坐标运算才得到2的结论，但如本解答这样利用仿射变换，再结合圆中的垂径定理，则几乎没用代数2运算就得到结论，运算量大幅度降低。 k?x2y2例3（2006年浙江省高考理科第19题）椭圆2?2?1(a>b>0)与过点A(2,0)、B(0,1)

ab的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=

3 2⑴求椭圆的方程；

⑵设F1、F2分别为椭圆的焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM＝∠AF1T

分析：本题第⑵问从结论分析只需证△MAT∽△TAF1，这需借助于对应边成比例，由于线段AM与AF1的长度均较易求出，因此求出线段AT的长度就尤其重要，在椭圆中线段AT的长度较难求出，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，AB变为圆的切线A’B’，切点T变为T’，借助圆的切线与过切点的半径垂直这一性质，求出线段A’T’与线段A’B’的比值将不是．．．．．．．．．．．．．难事，根据性质1，此比值即线段AT与线段AB的比值，从而可以较为轻松地求出线段AT的长度。

xy解：⑴作仿射变换，令x’=，y’=，则得仿射坐标系x’O’y’，在此坐标系中，上述椭

baxax'圆变换为圆x’2+y’2=1，直线AB：+y=1变换为直线A’B’：+by’=1

22根据性质2，直线A’B’与圆相切

13∴=1 ∴a2+4b2=4 ∵e=

2a2()?b221∴a2=2 b2=

2x2∴椭圆的方程为?2y2?1

2⑵可求得c=

6 22)，

如⑴进行仿射变换，点T变换为点T’，可得A’的坐标为(2,0)，B’的坐标为(0,

所以|O’A’|=|O’B’|，由于直线A’B’与圆O’相切于点T’，所以O’T’⊥A’B’，因此T’为线段A’B’的中点，根据性质1，T也必为线段AB的中点

∵|AB|=5 ∴|AT|=

5 2166又∵|AM|=(|OA|-|OF2|)=1- |AF1|=|OA|+|OF1|=2+

2426662552

＊ )(2+)=2[12-()]==()=|AT|2 ○

44242又∵∠MAT＝∠TAF1 ∴△MAT∽△TAF1

∴|AM||AF1|=(1-

∴∠ATM＝∠AF1T 说明：本题第⑵问标准答案给出的证法是先求出T点坐标，再利用T点坐标去计算∠ATM

与∠AF1T的正切值，其中还使用了两角差的正切公式，运算量很大，但如本法，由仿射变换很容易就发现T是线段AB的中点，从而很容易地计算出了线段AT的长度，为利用相似

＊及其之前的部分，也是对当年证明两角相等奠定了基础，整个证法运算量少。另外，其中○

浙江省高考文科第19题的解答，也比标准答案中的解答简练。

参考文献：

⑴程超，徐汉文，摭谈仿射变换的应用——从一道高考题说起，数学通讯，2009，11（下半月）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lxi5.html