大学物理课后习题答案（赵近芳）下册

习题八

8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示

(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷

1q212cos30??4π?0a24π?0qq?(32a)3

解得 q???3q 3 (2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2? ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可

解: 如题8-2图示

Tcos??mg??q2 ?Tsin??F?1e2?4π?(2lsin?)0?

解得 q?2lsin?4??0mgtan? 8-3 根据点电荷场强公式E?q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r

→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

?解: E?q4π?0r2?r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电

荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=

q24??0d2,又有人

qq2说，因为f=qE,E?，所以f=．试问这两种说法对吗?为什么?

?0S?0Sf到底应等于多少?

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处的场强?0Sq2?0S，另一板受它的作用

也是不对的．正确解答应为一个板的电场为E?q2力f?q，这是两板间相互作用的电场力． ?2?0S2?0Sq???8-5 一电偶极子的电矩为p?ql，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与l的夹角为?,(见题8-5图)，且r??l．试证P点的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量E?分别为

?Er=

pcos?psin?E, = ?2??0r34??0r3证: 如题8-5所示，将p分解为与r平行的分量psin?和垂直于r的分量

???psin?．

∵ r??l

∴ 场点P在r方向场强分量

Er?垂直于r方向，即?方向场强分量

pcos?

2π?0r3E0?psin? 34π?0r

题8-5图 题8-6图

-1

8-6 长l=15.0cmAB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强． 解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为

dEP?1?dx 24π?0(a?x)?EP??dEP?4π?0??l2l?2dx 2(a?x)?11[?]

ll4π?0a?a?22?用l?15cm，??5.0?10?9?lπ?0(4a?l)22

C?m?1, a?12.5cm代入得

EP?6.74?102N?C?1 方向水平向右

(2)

dEQ?1?dx 方向如题8-6图所示

4π?0x2?d22由于对称性dEQxl???0，即EQ只有y分量，

1?dx?4π?0x2?d22d??24π?2∵ dEQyd2x?d222

EQy??dEQyl?22l2l?2dx(x2?d22)32

?以??5.0?10?9?l2π?0l?4d2

C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得

EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向

8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强．

解: 如8-7图在圆上取dl?Rd?

题8-7图

dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为 dE??Rd?方向沿半径向外 24π?0R则 dEx?dEsin???sin?d?

4π?0R??cos?d?

4π?0R dEy?dEcos(???)?积分Ex???0??sin?d??

4π?0R2π?0REy???0??cos?d??0

4π?0R∴ E?Ex??，方向沿x轴正向．

2π?0R8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E

?q解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷在P点产生物强dEP方向如图，大

4小为

dEP???cos?1?cos?2?4π?0r2?l2r2?l22l42

∵ cos?1?

cos?2??cos?1

∴ dEP??4π?0r2?l42lr2?l22

?dEP在垂直于平面上的分量dE??dEPcos?

∴ dE???l4π?0r2?l42rr2?l22r2?l42

题8-8图

由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为

EP?4?dE??4?lr4π?0(r2?ll)r2?4222

∵ ??∴ EP?q 4l2qr4π?0(r2?ll)r2?422 方向沿OP

8-9 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个

顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面．q在该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量．(??arctanR) x??q 解: (1)由高斯定理?E?dS?

s?0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量?e?q． 6?0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?e?q 6?0q， 24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?如果它包含q所在顶点则?e?0．

如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图

题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为的电通量，球冠面积*

R2?x2的球冠面

S?2π(R2?x2)[1?xR?x22]

∴ ??q0S22?04π(R?x)??q[1?2?0xR?x22]

*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

S??2πrsin??rd?

0?2πr2??0sin??d?

?2πr2(1?cos?)

8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10C·m求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强．

?5-3

???q解: 高斯定理?E?dS?,E4πr2?s?0?q

?0?当r?5cm时，?q?0,E?0

r?8cm时，?q?p4π33(r ?r内) 3?∴ E?4π32r?r内3?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． 24π?0r??r?12cm时,?q??4π33(r外?r内 ）3?∴ E?4π33r外?r内3?4.10?104 N?C?1 沿半径向外. 24π?0r??8-11 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．

解: 高斯定理E?dS?s????q

?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl 则 E?dS?E2πrl

S???对(1) r?R1

?q?0,E?0

(2) R1?r?R2 ∴ E??q?l?

? 沿径向向外

2π?0r(3) r?R2

?q?0

∴ E?0

题8-12图

8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，

解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2，

?1?(?1??2)n 两面间， E?2?0?1?(?1??2)n ?1面外， E??2?0?2面外， E??1?(?1??2)n 2?0?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．

8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O与O?点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解: 将此带电体看作带正电?的均匀球与带电??的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．

(1) ??球在O点产生电场E10?0，

???? 球在O点产生电场E2043πr??3OO' 4π?0d3?r3?∴ O点电场E0?OO'； 33?0d??(2) ??在O产生电场E10?43?d??3OO' 4π?0d3???球在O?产生电场E20??0

??OO' ∴ O? 点电场 E0??3?0

题8-13图(a) 题8-13图(b)

??(3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r (如题8-13(b)图)

???r则 EPO?，

3?0???r?EPO???,

3?0?????????d∴ EP?EPO?EPO?? (r?r?)?OO'?3?03?03?0∴腔内场强是均匀的．

-6

8-14 一电偶极子由q=1.0×10Cd=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×10N·C

5

-1

??解: ∵ 电偶极子p在外场E中受力矩

???M?p?E

∴ Mmax?pE?qlE代入数字

Mmax?1.0?10?6?2?10?3?1.0?105?2.0?10?4N?m

8-15 两点电荷q1=1.5×10C，q2=3.0×10C，相距r1=42cm，要把它们之间的距离变为r2=25cm，需作多少功? 解: A?-8

-8

?r2r1??r2qqdrqq11F?dr??122?12(?)

r24π?r4π?0r1r20??6.55?10?6J

外力需作的功 A???A??6.55?10 J

?6

题8-16图

8-16 如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，

AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，

解: 如题8-16图示

UO?1qq(?)?0 4π?0RRUO?1qqq(?)?? 4π?03RR6π?0R∴ A?q0(UO?UC)?qoq

6π?0R8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?

?则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向

题8-17图

E??dEy??2???Rd?cos?

?4π?R202????［sin(?)?sin］

4π?0R22??

2π?0R?(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0

U1??AB2R?dx?dx????ln2 R4π?x4π?0x4π?00同理CD产生 U2??ln2 4π?0半圆环产生 U3?πR???

4π?0R4?0∴ UO?U1?U2?U3???ln2? 2π?04?04

-1

8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量m0=9.1×10kg，电子电量

-31

e=1.60×10-19C)

解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强

E??

2π?0re? 2π?0r电子受力大小 Fe?eE?e?v2∴ ?m

2π?0rr2π?0mv2?12.5?10?13C?m?1 得 ??e8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此

解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 ∴ U?Ed?1.5?10V

8-20 根据场强E与电势U的关系E???U，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子p?ql的r??l处(见题8-20图)

4-1

??解: (1)点电荷 U?q 4π?0r 题 8-20 图

??U?q??r0?r∴ E?? r0为r方向单位矢量． 20?r4π?0r(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势

U??q4π?0R?x22

∴ E???U?qxi??x4π?0R2?x2??3/2?i

??(3)偶极子p?ql在r??l处的一点电势

U?q[4π?01l(r?cos?)2?1l(1?cos?)2]?qlcos?

4π?0r2∴ Er???Upcos?? ?r2π?0r3E???1?Upsin?? 3r??4π?0r8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，

证: 如题8-21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度

依次为?1，?2，?3，?4

题8-21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有

?? ?E?dS?(?2??3)?S?0

s∴ ?2??3?0

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0又∵ ?2??3?0 ∴ ?1??4

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．

2

8-22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0 mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0

-7

×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?

解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为

?2

题8-22图

(1)∵ UAC?UAB，即 ∴ EACdAC?EABdAB ∴

?1EACdAB???2 ?2EABdACqA S且 ?1+?2?

得 ?2?qA2q, ?1?A 3S3S而 qC???1S??2qA??2?10?7C 3qB???2S??1?10?7C(2) UA?EACdAC?

?1dAC?2.3?103V ?08-23 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q

(1)

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及

*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变

解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势

题8-23图

U???R2???E?dr??R2qdrq?

4π?0r24π?0R(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：

U?q4π?0R2?q4π?0R2?0

(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带

电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?0

4π?0R2得 q??外球壳上电势

R1q R2?q?q'?R1?R2?q? 24π?0R24π?0R2UB?q'4π?0R2?q'4π?0R2?8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为

d?3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．

解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势UO?0

8-24图

由电势叠加原理有：

UO?q'q??0

4π?0R4π?03Rq 3得 q???8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F0．试求：

(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；

(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2

q2解: 由题意知 F0?

24π?0r(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电

q, 2小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

3q???q

4∴ 此时小球1与小球2间相互作用力

q??32qq'q\38F1???F0 4π?0r24π?0r28(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为

2q. 322qq4∴ 小球1、2间的作用力F2?33?F0

4π?0r29*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别

维持电势UA=U，UB=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势． 解: 依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为?1，?2，

?3，?4,?5,?6如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持UAB?U可得以下6个方程

题8-26图

?0UqA1?

?????CU?20?1

SSd

?

?????q

4

?3S?

?????qB???0U

56?Sd?????0

3?2

??4??5?0?

??1??2??3??4??5??6

q解得 ?1??6?

2S?2???3??0Ud?q 2S?4???5?所以CB间电场 E2??0Ud?q 2S?4Uq?? d2?0S?0d1qd?(U?) 222?0SUC?UCB?E2注意：因为C片带电，所以UC?UU，若C片不带电，显然UC? 228-27 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为?r，金属球带电Q．试求： (1)电介质内、外的场强；

(2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．

??解: 利用有介质时的高斯定理?D?dS??q

S(1)介质内(R1?r?R2)场强

???Qr?QrD?,E内?; 334πr4π?0?rr介质外(r?R2)场强

??Qr?QrD?,E外? 334πr4π?0r (2)介质外(r?R2)电势

???U??E外?dr?rQ 4π?0r介质内(R1?r?R2)电势

U??

?r?????E内?dr??E外?drr

?11Q(?)?

4π?0?rrR24π?0R2q? (3)金属球的电势

1??1(?r)

4π?0?rrR2QU??R2R1R2?????E内?dr??E外?dr

R2??Qdr4π?0?rr2R??Qdr

R24π?r20??Q4π?0?r(1?r?1?) R1R28-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为

?r的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度

的比值．

??解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，自

由电荷面密度分别为?2与?1

??由?D?dS??q0得

D1??1，D2??2

而 D1??0E1,D2??0?rE2

E1?E2?∴

U d?2D2???r ?1D1

题8-28图 题8-29图

8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且两柱面之间充有介电常数?的均匀电介质.当两圆柱面分别带等l>>R2-R1，

量异号电荷Q和-Q时，求：

(1)在半径r处(R1＜r＜R2＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；

(2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r的同轴圆柱面(S)

??则 ?D?dS?2πrlD

(S)当(R1?r?R2)时，

?q?Q

Q 2πrl∴ D?D2Q2?222 (1)电场能量密度 w?2?8π?rlQ2Q2dr2πrdrl?薄壳中 dW?wd??

8π2?r2l24π?rl(2)电介质中总电场能量

W??dW??VR2R1RQ2drQ2?ln2 4π?rl4π?lR1Q2(3)电容：∵ W?

2CQ22π?l∴ C? ?2Wln(R2/R1)*8-30 金属球壳A和B的中心相距为r，A和B原来都不带电．现在A的

中心放一点电荷q1，在B的中心放一点电荷q2，如题8-30图所示．试求： (1) q1对q2作用的库仑力，q2有无加速度；

(2)去掉金属壳B，求q1作用在q2上的库仑力，此时q2有无加速度． 解: (1)q1作用在q2的库仑力仍满足库仑定律，即

F?1q1q2

4π?0r2但q2处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度． ．．

q1作用在q2上的库仑力仍是F?(2)去掉金属壳B，

受合力不为零，有加速度．

1q1q2，但此时q224π?0r

题8-30图 题8-31图

8-31 如题8-31图所示，C1=0.25?F，C2=0.15?F，C3=0.20?F ．C1上电压为50V．求：UAB． 解: 电容C1上电量

Q1?C1U1

电容C2与C3并联C23?C2?C3 其上电荷Q23?Q1 ∴ U2?Q23C1U125?50?? C23C2335UAB?U1?U2?50(1?25)?86 V 358-32 C1和C2两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V解: (1) C1与C2串联后电容

?

C??(2)串联后电压比

C1C2200?300??120 pF

C1?C2200?300U1C23??，而U1?U2?1000 U2C12∴ U1?600V,U2?400 V

即电容C1电压超过耐压值会击穿，然后C2也击穿．

8-33 将两个电容器C1和C2充电到相等的电压U以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求： (1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．

解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为q1,q2

题8-33图

?q1?q2?q10?q20?C1U?C2U?CU?q则?1?11 ?q2C2U2??U1?U2解得 (1) q1?C1(C1?C2)C(C?C2)U,q2?21U

C1?C2C1?C2(2)电场能量损失

?W?W0?W

2q12q21122?(C1U?C2U)?(?) 222C12C2?2C1C22U

C1?C28-34 半径为R1=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2=4.0cm和R3=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0×10C

-8

(1)整个电场储存的能量；

(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值．

解: 如图，内球带电Q，外球壳内表面带电?Q，外表面带电Q

题8-34图

(1)在r?R1和R2?r?R3区域

?E?0

?在R1?r?R2时 E1??r?R3时 E2?∴在R1?r?R2区域

?Qr 34π?0r?Qr

4π?0r3W1??R2R11Q22?0()4πrdr 224π?0r??在r?R3区域

R2R1Q2drQ211?(?) 28π?0R1R28π?0r1QQ2122 W2???0()4πrdr?2R328π?0R34π?0r?Q2111∴ 总能量 W?W1?W2?(??)

8π?0R1R2R3?1.82?10?4J

?(2)导体壳接地时，只有R1?r?R2时E??Qr,W2?0 34π?0rQ211∴ W?W1?(?)?1.01?10?4 J

8π?0R1R2(3)电容器电容 C?2W11?4π?/(?) 02R1R2Q?4.49?10?12F

习题九

?9-1 在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等?为何不把作用于运动电?荷的磁力方向定义为磁感应强度B的方向?

解: 在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电

??荷的磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关，而且与电荷速度方向有关，?即磁力方向并不是唯一由磁场决定的，所以不把磁力方向定义为B的方向．

题9-2图

?9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)?

(2)若存在电流，上述结论是否还对?

解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd可证明

??B1?B2

?abcd??B?dl?B1da?B2bc??0?I?0

??∴ B1?B2

(2)若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平

???行直线，但B方向相反，即B1?B2.

9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场? 答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用．

9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部B??0nI，外面B=0，所以在载流螺线管

外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分

??·d=0 lB?L外但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为

?? ?LB外·dl=?0I

这是为什么?

解: 我们导出B内??0nl,B外?0有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这时图中环路L上就一定没有电流通过，即也是

?L?????B外?dl??0?I?0，与?B外?dl??0?dl?0是不矛盾的．但这是导

L线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实际上以上假设并不真实存在，所

?以使得穿过L的电流为I，因此实际螺线管若是无限长时，只是B外的轴向

分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量B??的距离．

?0I,r为管外一点到螺线管轴2?r

题 9 - 4 图

9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发

生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?

解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转．

-2

x轴正方向， 9-6 已知磁感应强度B?2.0Wb·m

如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量． 解： 如题9-6图所示

题9-6图

(1)通过abcd面积S1的磁通是

???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通过befc面积S2的磁通量

?2?B?S2?0

(3)通过aefd面积S3的磁通量

???3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb (或曰

?0.24Wb)

??45题9-7图

?9-7 如题9-7图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆

弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

?解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中

AB 产生 B1?0 CD 产生B2???0I12R，方向垂直向里

CD 段产生 B3??0I?I3(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向R2?R24?2里

∴B0?B1?B2?B3??0I3?(1??)，方向?向里． 2?R269-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感

题9-8图

?B解：如题9-8图所示,A方向垂直纸面向里

BA??0I12?(0.1?0.05)??0I2?1.2?10?4T

2??0.05?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处

则

?0I2?(r?0.1)??I2?0 2?r解得 r?0.1 m

题9-9图

9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度． 解： 如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场为零。且

I1电阻R2???. I2电阻R12????I1产生B1方向?纸面向外

B1??I2产生B2方向?纸面向里

?0I1(2???)，

2R2?B2??0I2?

2R2?B1I1(2???)??1 B2I2?∴

???有 B0?B1?B2?0

9-10 在一半径R=1.0cm流I=5.0 A通过，电流分布均匀.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．

题9-10图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取坐标如题9-10图所示，取宽为dl的一无限长直电流

?IdI?dl，在轴上P点产生dB与R垂直，大小为

?RI?0Rd??0dI?Id??RdB???02 2?R2?R2?R?Icos?d? dBx?dBcos??022?R?Isin?d?? dBy?dBcos(??)??0222?R∴ Bx???2??2?0I?Icos?d??0I???5 ?[sin?sin(?)]??6.37?102222?R2?R22?RT

By??(??2??2?0Isin?d?)?0 22?R???5∴ B?6.37?10i T

-8

9-11 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.52×10cm的轨道上作

匀速圆周运动，速率v=2.2×10cm·s．求电子在轨道中心所产生的磁感应强

8

-1

度和电子磁矩的值．

解：电子在轨道中心产生的磁感应强度

????0ev?aB0? 34?a如题9-11图，方向垂直向里，大小为

B0???0ev?13 T 4?a2电子磁矩Pm在图中也是垂直向里，大小为

Pm?e2eva?a??9.2?10?24 A?m2 T2题9-11图9-12图

题

9-12 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I1=I2=20A，如题9-12图所示．求：

(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A(2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm, 解：(1) BA?

l=25cm)

?0I1d2?()2??0I2d2?()2?4?10?5 T

?纸面向外

(2)

dS?ldr

r1?r2r1???Wb

?1I1?0I1?Il?Il1?Il[?]ldr?01ln3?02ln?1ln3?2.2?10?62?r2?(d?r)2?2?3?9-13 一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平

面S，如题9-13图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率???0.

解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度

??B?dl??0?I

lIr2B2?r??02

R∴ B??0Ir 2?R2

题 9-13 图

??R?Ir?0I?60磁通量 ?m??B?dS?? Wb dr??10(s)02?R24?9-14 设题9-14图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线

a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：

?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等?

(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?

???解： ?B?dl?8?0

a??ba??B?dl?8?0

c???B?dl?0

(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．

???(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0．

题9-14图题9-15图

9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率???0，试证明导体内部各点(a?r?b) 的磁感应强度的大小由下式给出：

r2?a2 B? 22r2?(b?a)?0I解：取闭合回路l?2?r (a?r?b)

??则 ?B?dl?B2?r

l?I?(?r2??a)2I 22?b??a?0I(r2?a2)∴ B?

2?r(b2?a2)9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别

为b,c)构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小

??解： ?B?dl??0?I

LIr2(1)r?a B2?r??02

RB?(2) a?r?b B2?r??0I

?0Ir 2?R2B??0I 2?rr2?b2??0I (3)b?r?c B2?r???0I2c?b2?0I(c2?r2) B?2?r(c2?b2)(4)r?c B2?r?0

B?0

题9-16图题9-17图

9-17 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴

(1) (2) 解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和． (1)圆柱轴线上的O点B的大小：

电流I1产生的B1?0，电流?I2产生的磁场

?0I2?0Ir2B2?? 222?a2?aR?r∴ B0?(2)空心部分轴线上O?点B的大小：

?0Ir22?a(R?r)22

??0， 电流I2产生的B2?0Ia?0Ia2???电流I1产生的B2 22222?aR?r2?(R?r)??∴ B0?0Ia2?(R2?r2)

题9-18图

9-18 如题9-18图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流

I2，二者

共面．求△ABC的各边所受的磁力．

???A解： FAB??I2dl?B

BFAB?I2a?0I1?0I1I2a? 方向垂直AB向左 2?d2?d???CFAC??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为

AFAC??d?adI2dr?同理 FBC方向垂直BC向上，大小

?0I1?0I1I2d?a ?ln2?r2?dFBc??d?adI2dl?0I1 2?r∵ dl?∴ FBC?dr ?cos45?d?aa?0I2I1dr?IId?a?012ln

2?rcos45?d2?题9-19图

?9-19 在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流

弯曲导线，电流为I，如题9-19

?

解：在曲线上取dl ???bF?Idl?B 则 ab?a??????∵ dl与B夹角?dl，B??不变，B是均匀的．

2????bb?∴ Fab??Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B

aa方向⊥ab向上，大小Fab?BIab

题9-20图

9-20 如题9-20图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已CDEF中通有电流I2=10

知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm

(1)导线AB(2) 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

?FCD?I2b?0I1?8.0?10?4 N 2?d?同理FFE方向垂直FE向右，大小

FFE?I2b?0I12?(d?a)?8.0?10?5 N

?FCF方向垂直CF向上，大小为

FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln?9.2?10?5 N 2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF?9.2?10?5N

?????(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

F?7.2?10?4N

合力矩M?Pm?B ∵ 线圈与导线共面

?????∴ Pm//B

?M?0．

题9-21图

9-21 边长为l=0.1mB=1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题9-21图所示，使线圈通以电流I=10A，求： (1)线圈每边所受的安培力； (2)对OO?轴的磁力矩大小；

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

???解： (1) Fbc?Il?B?0

???Fab?Il?B 方向?纸面向外，大小为

Fab?IlBsin120??0.866 N

???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小

Fca?IlBsin120??0.866 N

(2)Pm?IS

???M?Pm?B 沿OO?方向，大小为

3l2M?ISB?IB?4.33?10?2 N?m

4(3)磁力功 A?I(?2??1)

∵ ?1?0 ?2?32lB 4

∴ A?I32lB?4.33?10?2J49-22 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I，并把线圈放

?在均匀的水平外磁场B中，线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡

位置作微小振动时的振动周期T.

??解：设微振动时线圈振动角度为? (???Pm,B?)，则

M?PmBsin??NIa2Bsin?

d2?22由转动定律 J2??NIaBsin???NIaB?

atd2?NIa2B??0 即 2?Jdt∴ 振动角频率 ??NIa2B J2??2?J 2NaIB周期 T??9-23 一长直导线通有电流I1＝20A，旁边放一导线ab，其中通有电流

I2=10A，且两者共面，如题9-23图所示．求导线ab所受作用力对O点的力

矩．

解：在ab上取dr，它受力

?dF?ab向上，大小为

dF?I2dr?0I1 2?r????dF对O点力矩dM?r?F ?dM方向垂直纸面向外，大小为

dM?rdF??0I1I2dr 2??IIM??dM?012a2?b?badr?3.6?10?6 N?m

题9-23图题

9-24图

9-24 如题9-24图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为??剩余电荷．假定圆盘绕其轴线AA?以角速度? (rad·s)转动，磁场B的方

-1

向垂直于转轴AA?．试证磁场作用于圆盘的力矩的大小为

M????R4B4．(提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑．)

解：取圆环dS?2?rdr，它等效电流

dI? ?dq??dq T2???dS???rdr 2?23等效磁矩 dPm??rdI????rdr

受到磁力矩 dM?dPm?B，方向?纸面向内，大小为

???

dM?dPm?B????r3drB

M??dM????B?rdr?0R3???R4B4

9-25 电子在B=70×10T

-4

??r=3.0cm．已知B垂直于纸面向外，某时刻电子在A点，速度v向上，如题

9-25图．

(1)试画出这电子运动的轨道；

?(2)求这电子速度v的大小； (3)求这电子的动能Ek．

题9-25图

解：(1)轨迹如图

v2(2)∵ evB?m

reBr?3.7?107m?s?1 m12?16(3) EK?mv?6.2?10 J

2-4

9-26 一电子在B=20×10TR=2.0cm

∴ v?动，螺距h=5.0cm，如题9-26(1)

?(2)磁场B的方向如何?

解: (1)∵ R?mvcos? eBh?2?mvcos?eB(题9-26 图

∴ v?eBR2eBh2)?()?7.57?106m?s?1 m2?m(2)磁场B的方向沿螺旋线轴线．或向上或向下，由电子旋转方向确定． 9-27 在霍耳效应实验中，一宽1.0cm，长4.0cm，厚1.0×10cm

长度方向载有3.0A的电流，当磁感应强度大小为B=1.5T的磁场垂直地通过

-5

该导体时，产生1.0×10V的横向电压．试求： (1)载流子的漂移速度； (2)每立方米的载流子数目．

解: (1)∵ eEH?evB ∴v?-3

?EHUH? l为导体宽度，l?1.0cm BlBUH1.0?10?5??2?6.7?10?4 m?s-1 ∴ v?lB10?1.5(2)∵ I?nevS ∴ n? ?I evS3 ?19?4?2?51.6?10?6.7?10?10?1029 ?2.8?10m?3

9-28 两种不同磁性材料做成的小棒，放在磁铁的两个磁极之间，小棒被磁化后在磁极间处于不同的方位，如题9-28图所示．试指出哪一个是由顺磁质材料做成的，哪一个是由抗磁质材料做成的?

解: 见题9-28图所示.

题9-28图题9-29图

9-29 题9-29图中的三条线表示三种不同磁介质的B?H关系曲线，虚线是

B=?0H关系的曲线，试指出哪一条是表示顺磁质?哪一条是表示抗磁质?哪

一条是表示铁磁质?

答: 曲线Ⅱ是顺磁质，曲线Ⅲ是抗磁质，曲线Ⅰ是铁磁质．

9-30 螺绕环中心周长L=10cm，环上线圈匝数N=200匝，线圈中通有电流I=100 mA．

??(1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度H和磁感应强度B0；

??(2)若环内充满相对磁导率?r=4200的磁性物质，则管内的B和H各是多少?

*(3)磁性物质中心处由导线中传导电流产生的B0和由磁化电流产生的B′各是多少?

解: (1) H?dl??I

l?????HL?NI

NIH??200A?m?1

LB0??0H?2.5?10?4T

(2)H?200 A?m?1B??H??r?oH?1.05 T ??4(3)由传导电流产生的B0即(1)中的B0?2.5?10T

∴由磁化电流产生的B??B?B0?1.05T

9-31 螺绕环的导线内通有电流20A，利用冲击电流计测得环内磁感应强度的

-2

大小是1.0 Wb·m．已知环的平均周长是40cm，绕有导线400匝．试计算：

(1)磁场强度； (2)磁化强度； *(3)磁化率； *(4)相对磁导率． 解: (1)H?nI?(2)M?NI?2?104lA?m?1

B?0?H?7.76?105A?m?1

(3)xm?M?38.8 H(4)相对磁导率 ?r?1?xm?39.8

9-32 一铁制的螺绕环，其平均圆周长L=30cm，截面积为1.0 cm，在环上均匀绕以300匝导线，当绕组内的电流为0.032安培时，环内的磁通量为2.0×-610Wb

(1)环内的平均磁通量密度； (2)圆环截面中心处的磁场强度；

2

解: (1) B???2?10?2 T S??(2) ?H?dl?NI0

H?NI0?32A?m?1 L题9-33图

*9-33 试证明任何长度的沿轴向磁化的磁棒的中垂面上，侧表面内、外两点1，2的磁场强度H相等(这提供了一种测量磁棒内部磁场强度H的方法)，如题9-33图所示．这两点的磁感应强度相等吗?

解: ∵ 磁化棒表面没有传导电流，取矩形回路abcd

则 H?dl?H1ab?H2cd?0

l??∴ H2?H1 这两点的磁感应强度B1??H1,B2??0H2 ∴ B1?B2

习题十

10-1 一半径r=10cm

垂直．当回路半径以恒定速率大小．

2解: 回路磁通 ?m?BS?Bπr

?回路平面与BB=0.8T的均匀磁场中．

dr-1

=80cm·s收缩时，求回路中感应电动势的dt感应电动势大小

d?mddr?(Bπr2)?B2πr?0.40 V dtdtdt10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路，半径R=5cm，如题10-2

-3

图所示．均匀磁场B=80×10T，B的方向与两半圆的公共直径(在Oz轴上)垂直，且与两个半圆构成相等的角? 当磁场在5ms内均匀降为零时，求回路

??中的感应电动势的大小及方向．

解: 取半圆形cba法向为i， 题10-2图

?

则 ?m1πR2?Bcos?

2?同理，半圆形adc法向为j，则

?m????2πR2?Bcos?

2∵ B与i夹角和B与j夹角相等，

∴ ??45

2则 ?m?BπRcos?

????V

d?mdB??πR2cos???8.89?10?2dtdt方向与cbadc相反，即顺时针方向．

题10-3图

2*10-3 如题10-3图所示，一根导线弯成抛物线形状y=ax，放在均匀磁场

?中．B与xOy平面垂直，细杆CD平行于x轴并以加速度a从抛物线的底部

向开口处作平动．求CD距O点为y处时回路中产生的感应电动势． 解: 计算抛物线与CD组成的面积内的磁通量

?m?2?BdS?2?ya02B2B(y??x)dx?2y

3?2311d?mB2dy2B2∴ ?????y??yv

dtdt??∵ v?2ay ∴ v?22ay

12则 ?i??2B?y122ay??By128a? ?i实际方向沿ODC．

题10-4图 10-4 如题10-4图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度v平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压 UM?UN．

解: 作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿v方向运动时d?m?0 ∴ ?MeNM?0 即 ?MeN??MN 又∵ ?MN?所以?MeN沿NeM方向，

大小为

??a?ba?bvBcos?dl??0Iva?bln?0 2?a?b?0Iva?b ln2?a?b?0Iva?bln 2?a?bM点电势高于N点电势，即

UM?UN?题10-5图

10-5如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以(1)任一时刻线圈内所通过的磁

dI的变化率增大，求： dt(2)

解: 以向外磁通为正则 (1)

b?ad?a?ln]

bd2πr2πr2πbdd??0ld?ab?adI(2) ????[ln?ln]

dt2πdbdt10-6 如题10-6图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆．令这半圆

?m??b?a?0Ildr??d?a?0Ildr??0Il[ln形导线在磁场中以频率f绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R．求：感应电流的最大值．

题10-6图

??πr2cos(?t??0) 解: ?m?B?S?B2d?mBπr2??i???sin(?t??0)dt2∴ 22Bπr?Bπr?m??2πf?π2r2Bf22π2r2Bf?∴ I? RR?m10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流I=5A，在其右方放一长方形线圈，

-1

两者共面．线圈长b=0.06m，宽a=0.04m，线圈以速度v=0.03m·s于直线平移远离．求：d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．

题10-7图

?解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA产生电动势

?I????1??(v?B)?dl?vBb?vb0

D2?dABC产生电动势

?2??∴回路中总感应电动势

CB???(v?B)?dl??vb?0I2π(a?d)

???1??2??0Ibv11(?)?1.6?10?8 V 2πdd?a方向沿顺时针．

10-8 长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动．已知导轨

???处于均匀磁场B中，B的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，B的大小为B=kt(k为正常)．设t=0时杆位于cd处，求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向．

??1122解: ?m??B?dS?Blvtcos60??ktlv?klvt

22∴ ???即沿abcd方向顺时针方向．

d?m??klvt dt题10-8图

?10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B的方向如题

10-9图所示．取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t=0)．

解: 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时题

10-9

d??0,??0； dt图

(a)图(b) 在磁场中时出场时

题10-9

d??0,??0； dtd??0，??0，故I?t曲线如题10-9图(b)所示. dt题10-10图

10-10 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，aO=强度B平行于转轴，如图10-10所示．试求： （1）ab两端的电势差； （2）a,b两端哪一点电势高? 解: (1)在Ob上取r?r?dr一小段 则 ?Ob?l磁感应3?2l30?rBdr?2B?2l 91B?l2 18同理 ?Oa??l30?rBdr?∴ ?ab??aO??Ob?(?121?)B?l2?B?l2 1896(2)∵ ?ab?0 即Ua?Ub?0 ∴b点电势高．

题10-11图

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