SPSS 正态性检验方法

正态性检验方法的比较 理论部分

正态分布是许多检验的基础,比如 F 检验, t 检验,卡方检验等在总体不是正太分 布是没有任何意义。因此,对一个样本是否来自正态总体的检验是至关重要的。当然, 我们无法证明某个数据的确来自正态总体,但如果使用效率高的检验还无法否认总体 是正太的检验,我们就没有理由否认那些和正太分布有关的检验有意义,下面我就对 正态性检验方法进行简单的归纳和比较。

一、图示法 1. P-P图

以样本的累计频率作为横坐标,以按照正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标, 以样本值表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正态分布,则样本点应围绕第一象 限的对角线分布。

2. Q-Q图

以样本的分位数作为横坐标,以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标,把 样本表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正太分布,则样本点应围绕第一象限的 对角线分布。

以上两种方法以 Q-Q 图为佳,效率较高。 3. 直方图(频率直方图

判断方法:是否以钟型分布,同时可以选择输出正态性曲线。 4. 箱线图

判断方法:观察矩形位置和中位数 , 若矩形位于中间位置且中位数位于矩形的中间 位置,则分布较为对称,否则是偏态分布。

5. 茎叶图

判断方法:观察图形的分布状态 , 是否是对称分布。 二、偏度、峰度检验法(冒牌 K-S 检验法: 1. S, K 的极限分布 样本偏度系数 ( 3 32

2B S B =; 该系数用于检验对称性, S>0时, 分布呈正偏态, S<0时, 分布呈负偏态。 样本峰度系数 ( 4 2 23B K B =

-;该系数用于检验峰态, K>0时为尖峰分布, S<0时为 扁平分布;当 S=0, K=0时分布呈正态分布。 0H:F(x服从正态分布 1H :F(x不服从正态分布 当原假设为真时,检验统计量 ~N(0,1 ~N(0,1

对于给定的 α, R ||={| >λ?| >λ} 其中 14 u α - λ=

2. Jarque-Bera检验(偏度和峰度的联合分布检验法 检验统计量为 JB 22164n k S K -??= + ??? (2

2χ~, JB 过大或过小时,拒绝原假设。 三、非参数检验方法

1. Kolmogorov-Smirnov正态性检验 (基于经验分布函数(ECDF 的检验 ((0max ||n D F x F x =-

(n F x 表示一组随机样本的累计概率函数, (0F x 表示分布的分布函数。 当原假设为真时, D 的值应较小,若过大,则怀疑原假设,从而,拒绝域为 {}R D d =>。对于给定的 α, {}p P D d α=>=,又 ?{}n n

p P D D =≥ 2. Lilliefor正态性检验 该检验是对 Kolmogorov-Smirnov 检验的修正,参数未知

时,由 22??, S μσ==可计算得检验统计量 ?n D 的值。 3. Shapiro-Wilk(W检验 检验统计量: ( ( ( ((( 2 1 2 2 1 1 n i i i n n i i

i i a a X X W a a

X X ===??--?? ?? =--∑∑∑

当原假设为真时, W 的值应接近于 1,若值过小,则怀疑原假设,从而拒绝域为 R {}W c =≤。在给定的 α水平下 P {}W c ≤=α。

4. 2χ拟合优度检验 (也是基于经验分布函数(ECDF 的检验 检验统计量为 22 2 11( ( k k

i i i i i i i i f f np n p p n np χ==-=-=∑∑1 k ~χ(- 22 2 11?( ?( ??k k

i i i i i i i i f f np n p

p n np χ==-=-=∑∑1 k r ~χ(-- r 是被估参数的个数

若原假设为真时, 2χ应较小,否则就怀疑原假设,从而拒绝域为 2{}R d χ=≥,对 于给定的 α, 2{}P d χα≥= 又 22?{}p P χχ =≥。 四、方法的比较

1. 图示法相对于其他方法而言,比较直观,方法简单,从图中可以直接判断,无 需计算,但这种方法效率不是很高,它所提供的信息只是正态性检验的重要补充。

2. 经常使用的 2χ拟合优度检验和 Kolmogorov-Smirnov 检验的检验功效较低, 在许 多计算机软件的 Kolmogorov-Smirnov 检验无论是大小样本都用大样本近似的公式,很 不精准,一般使用 Shapiro-Wilk 检验和 Lilliefor 检验。

3. Kolmogorov-Smirnov 检验只能检验是否一个样本来自于一个已知样本,而 Lilliefor 检验可以检验是否来自未知总体。

4. Shapiro-Wilk检验和 Lilliefor 检验都是进行大小排序后得到的,所以易受异常值 的影响。

5. Shapiro-Wilk检验只适用于小样本场合(3≤n ≤50 , 其他方法的检验功效一般随 样本容量的增大而增大。

6. 2χ拟合优度检验和 Kolmogorov-Smirnov 检验都采用实际频数和期望频数进行 检验,前者既可用于连续总体,又可用于离散总体,而 Kolmogorov-Smirnov 检验只适 用于连续和定量数据。

7. 2χ拟合优度检验的检验结果依赖于分组,而其他方法的检验结果与区间划分无 关。

8. 偏度和峰度检验易受异常值的影响,检验功效就会降低。

9. 假设检验的目的是拒绝原假设, 当 p 值不是很大时, 应根据数据背景再作讨论。

SPSS 软件操作 1. P-P图 操作步骤:

(1 工具栏 'Analyze' -> 'Descriptive Statistics' -> 'P-P plots'。

2. Q-Q图 操作步骤:

(1 工具栏 'Analyze' -> 'Descriptive Statistics' -> 'Q-Q plots'。

3. 频率直方图 操作步骤:

(1 工具栏 'Analyze' -> 'Descriptive Statistics' -> 'Frequencies';

(2 点击'Frequencies'窗口中的’Statistics’选项； (3 点击'Frequencies'窗口中的’Charts’选项。

4. K-S 检验 操作步骤： (1 工具栏'Analyze' -> 'Descriptive Statistics' -> 'Explore'； ‘Dependent List’是要被探索的变量。 (2 点击’Explore’窗口中的’Plots’选项；

选项’Normality plots with tests’将触发 K-S 检验和 Q-Q 图。 (3 点击’Explore’窗口中的’Options’选项； ‘Exclude cases listwise’：if a case has a missing value for any variable, then they are excluded from the whole analysis. ‘Exclude cases pairwise’: data

will be excluded only for an alyses for which she has missing data. K-S 测试结果：红框中的是 p -value。

5. 按分组的 K-S 检验 操作步骤： (1 点击工具栏’Data’->’Split File’； ‘Group Based on:’：按分组的变量，可以多个。 (2 点击’OK’后，其余按’4. K-S 检验’操作。

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