求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得以

a121an?12n?1?an2na?1anan33则n，故数列?，??{}是n?1nn22222an2n?22以?1为首项，

32为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

3212)2。

an?12n?1n?1?(n?1)32，

所以数列{an}的通项公式为an?(n?评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为

{an2}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出nan2n?an2n?32，说明数列

?1?(n?1)32，进而求出数列

{an}的通项公式。

二、利用

an?nn?S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)

n例2．若S和T分别表示数列{a}和{b}的前n项和，对任意正整数

nan??2(n?1)，Tn?3Sn?4n.求数列{bn}的通项公式；

解

?an??2(n?1)?a??41d??2Sn??n2?3n?Tn?3Sn?4n??3n2?5n： …

…2分 当n?1时,T1?b1??3?5??8 当n?2时,bn?Tn?Tn?1??6n?2?bn??6n?2.……4分

练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)

当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;

2

当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a3=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 2．（2006年全国卷I）设数列?an?的前n项的和

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Sn?43an?13?2n?1?23，n?1,2,3,???

（Ⅰ）求首项a1与通项an； （Ⅱ）设Tn?2nSn，n?1,2,3,???，证明：?Ti?i?1n32

解：（I）

a1?S1?43n43a1?13?2?1223，解得：a1n?2?2

?2n?1an?1?Sn?1?Sn?an?1?43an??23?2n?1??an?1?4?an?2n?

a所以数列?n?2n?是公比为4的等比数列

1所以：得：an（II）

Tn?2nan?2??a1?2??4

n?1?4?2Sn??32nnn （其中n为正整数）

13?22nn43an?n?1?23?4?433n?2n??3?21n?1?23?2?23n?1?1??2?1?n

Sn??2n?1?1??2?1??1?1???n?n?1?2?2?12?1?

所以： i?1三、累加法

?Ti?31?1?3??1?n?1??2?2?12?1?2

例3 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1?2(n?1)n22?(n?1)?1

?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。

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例4 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3?2(3?2n?1?1)?(2?3n?2n?22?1)???(2?3?1)?(2?3?1)?3121n?1?3???3?3)?(n?1)?33(1?3nnn?1)

?(n?1)?31?3?3?3?n?1?3?3?n?1所以an?3n?n?1.

nn评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3?1转化为an?1?an?2?3?1，

进而求出an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。

n例5已知数列{an}满足an?1?3an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

n解：an?1?3an?2?3?1两边除以3n?1，得

an?13n?1?an3n?23?13n?1，

则

an?13n?1?an3n?23?13n?1，故

an3n?(?(?an323n?an?1an?11)?(2313nan?1an?11313n?an?23n?2)?(??an?231n?2?an?33)???(n?323?13a232?a13)?1a13?3)?(n?(??)?(n?1?132333)???(n?2???132)?233

2(n?1)31n?2n?1)?11因此

an3n?232(n?1)3?n?3?n?312n(1?31?3nn?1)?1?2n3?12?12?3n，

则an??3?12.

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评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3n?1转化为进而求出(an3nan?13n?1?an3n?23?13n?1，

?an?13)?(n?1an?13n?1?an?23n?2)?(an?23n?2?an?33)???(n?3a232?a13)?1a13，即得数列??an?n?3??的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。 四、累乘法

例6 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

an?1an解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则

anan?1a3a2??a1a2a1][2(n?2?1)5n?2?2(n?1)5，故

nan?an?1an?2n?1?????[2(n?1?1)5?2n?1]???[2(2?1)?5][2(1?1)?5]?3

?321[n(n?1)???3?2]?5n(n?1)n?1(n?1)?(n?2)???2?1?3?2?52?n!n(n?1)所以数列{an}的通项公式为an?3?2n?1?52?n!.

an?1ann评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5?an转化为

进而求?2(n?1)5，

n出

anan?1an?2?an?1???a3a2??a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1例7已知数列{an}满足a1?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。

解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)

②

①

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故

an?1an?n?1(n?2)

所以an?anan?1an?2?an?1???a3a2?a2?[n(n?1)???4?3]a2?n!2a2. ③

由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知

a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?n!2n!2。

所以，{an}的通项公式为an?.

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为

an?1an?n?1(n?2)，

进而求出

anan?1an?2?an?1???a3a2从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的?a2，

通项公式。

五.构造等差或等比an??pan?q或an?1?pan?f(n)

例8（2006年福建卷）已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).

求数列?an?的通项公式；

?an?1?1?2(an?1),

??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。

n解：?an?1?2an?1(n?N*),

?an?1?2.

即 an?2?1(n?N).

11n?1an?()，求an222*例9．已知数列?an?中，a1?1,an?1?解：在an?1?1。

1n?1n?1nan?()两边乘以2n?1得：2?an?1?(2?an)?1 22令bn?2n?an，则bn?1?bn?1,解之得：bn?b1?n?1?n?1 所以an?练习.

bn2n?n?12n

1n?2）已知数列{an}满足an?2an?1?2n?（，且a4?81。

（1）求a1，a2，a3；

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（2）求数列{an}的通项公式。

（1）a1?5，a2?13，a3?33

解：

（2）an?2an?1?2n?1?an?1?2(an?1?1)?2n

?an?12n?an?1?12n?1?1?an?12n?n?1

∴an?(n?1)2n?1

六、待定系数法

例10已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。 解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)

④

nnn?1n将an?1?2an?3?5代入④式，得2an?3?5?x?5?2an?2x?5，等式两边消去

2an，得3?5?x?5an?1?5n?1nnn?1代入④式得?2x?5，两边除以5，得3?5x?2x则,x??1,

⑤

n?1nnn?2(an?5)

由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则

11nan?1?5an?5n?2，则数列{an?5}是以

na1?5?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5?2n?1n?1n，故an?2?5。

nn?1n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5转化为an?1?5?2(an?5)，

nn从而可知数列{an?5}是等比数列，进而求出数列{an?5}的通项公式，最后再求出数列

{an}的通项公式。

n例11 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。

n?1n解：设an?1?x?2?y?3(an?x?2?y)

⑥

n将an?1?3an?5?2?4代入⑥式，得

3an?5?2?4?x?2nn?1?y?3(an?x?2?y)

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n整理得(5?2x)?2n?4?y?3x?2n?3y。

?5?2x?3x?4?y?3yn?1令?，则??x?5?y?2，代入⑥式得

an?1?5?2?2?3(an?5?2?2)

n ⑦

由a1?5?21?2?1?12?13?0及⑦式，

an?1?5?2n?1n得an?5?2?2?0，则

n?2an?5?2?2?3，

故数列{an?5?2n?2}是以a1?5?21?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，因此an?5?2n?2?13?3n?1，则an?13?3n?1?5?2n?2。

n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2?4转化为

an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2?2)，从而可知数列{an?5?2?2}是等比数列，进而求

nnn出数列{an?5?2?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

2例12 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。

22解：设an?1?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z) ⑧

2将an?1?2an?3n?4n?5代入⑧式，得

2an?3n?4n?5?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z)，则

2222an?(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn?2yn?2z

22等式两边消去2an，得(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z， ?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得

?x?y?z?5?2z?z?18??第 7 页 共 13 页

22an?1?3(n?1)?10(n?1)?18?2(an?3n?10n?18) ⑨

22由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得an?3n2?10n?18?0

an?1?3(n?1)?10(n?1)?18an?3n?10n?1822则

2?2，故数列{an?3n?10n?18}为以

2a1?3?1?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n?10n?18?32?22n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3n2?4n?5转化为

an?1?3(n?1)?10(n?1)?18?2(an?3n?10n?18)，从而可知数列

22{an?3n?10n?18}是等比数列，进而求出数列{an?3n?10n?18}的通项公式，最后再

22求出数列{an}的通项公式。

七、对数变换法

n5例13 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。

n5n5解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3?an式两边取

常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)

3将⑩式代入○11式，得5lgan?nlg?⑩ 11 ○

?1y)?5a(l?gxn?y，两边消去nlg?2xn?(5lgan并整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则

lg3?x???lg3?x?5x?4，故 ??x?y?lg2?5ylg3lg2??y???164?第 8 页 共 13 页

代入○11式，得lgan?1?由lga1?得lgan?lg34lg34lg316lg316lg34(n?1)?lg316lg34?lg24?5(lgan?lg316lg24lg34n?lg316?lg24) 12

○

?1??lg24lg24?lg7??1???0及12式，

○

n???0，

lgan?1?lg3则

lgan?4lg34(n?1)?n?lg316??lg24?5，

lg316n?lg24?所以数列{lgan?lg344lg31616lg24?4n?1}是以lg7??(lg7?lg344??lg316??lg244为首项，以5为公比的等

n?1比数列，则lgan?lg341lg3n?lg3lg2lg3lg316lg2)5，因此

lgan?(lg7??lg316?1lg24)5?lg34n?nlg36?lg24111n?1nn?1?(lg7?lg34?lg36?lg24)5111?lg34?lg316?lg2411?[lg(7?34?316?24)]5111?lg(34?316?24)n11

?lg(7?34?316?24)55n?1n?1?lg(34?316?24)5n?1?n5n?1?1?1?lg(7?lg(75n?1?3?34?3165n?1?2?144)5n?4n?15n?116?25n?1)5n?4n?1?1则an?75n?1?316?24。

n5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3?an转化为

lgan?1?{lgan?lg34lg34(n?1)?n?lg316?lg3164?lg24?5(lgan?lg34n?lg316?lg24)，从而可知数列lg34n?lg316?lg24}的通项

lg2}是等比数列，进而求出数列{lgan?公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 八、迭代法

例14已知数列{an}满足an?1?an3(n?1)2n，a1?5，求数列{an}的通项公式。

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3(n?1)23n?2解：因为an?1?an，所以an?an?1nn?1?[an?23(n?1)?2n?2]3n?2n?1

?an?23(n?1)?n?22(n?2)?(n?1)?[an?3?an?3???a?a3131n?133(n?2)?2n?3]3(n?1)?n?22(n?2)?(n?1)3(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)

?2?3??(n?2)?(n?1)?n?2n(n?1)1?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n?1?n!?22n(n?1)又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53n?1?n!?22。

n3(n?1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an?1?ann两边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2?lgan，即

lgan?1lgan2再由累乘法可推知?3(n?1)2，

nlgan?lganlgan?1lgan?2?lgan?1n?1lga3lga23?n!?2?????lga1?lg5lga2lga1n(n?1)，从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2。

九、数学归纳法

8(n?1)(2n?1)(2n?3)2例15已知数列{an}满足an?1?an?，a1?289，求数列{an}的通项公式。

解：由an?1?an?8(n?1)(2n?1)(2n?3)8(1?1)22及a1?89，得

a2?a1?a3?a2?a4?a3?(2?1?1)(2?1?3)8(2?1)222?89?24258?29?25???2425??48498081(2?2?1)(2?2?3)8(3?1)(2?3?1)(2?3?3)22??8?325?498?449?81

48492由此可猜测an?(2n?1)?1(2n?1)22，往下用数学归纳法证明这个结论。

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（1）当n?1时，a1?(2?1?1)?1(2?1?1)22?89，所以等式成立。

（2）假设当n?k时等式成立，即ak?(2k?1)?1(2k?1)22，则当n?k?1时，

ak?1?ak?8(k?1)(2k?1)(2k?3)8(k?1)22

?(2k?1)?1(2k?1)222?(2k?1)(2k?3)222222?[(2k?1)?1](2k?3)?8(k?1)(2k?1)(2k?3)222?(2k?1)(2k?3)?(2k?3)?8(k?1)(2k?1)(2k?3)222222?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)(2k?3)(2k?3)?1(2k?3)222

??[2(k?1)?1]?1[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 十、换元法

例16已知数列{an}满足an?1?116(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。

*解：令bn?1?24an，则an?故an?1?1242124(bn?1) 12124(bn?1?1)，代入an?1?116124216(1?4an?1?24an)得

(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn]

222即4bn?1?(bn?3)

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因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?1212bn?32，

(bn?3)，

12所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以

111为公比的等比数

列，因此bn?3?2()n?1?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，得

222221n1n1()?()?。 34231an?评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化

bn?1?12bn?32形式，从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，

最后再求出数列{an}的通项公式。

附： 构造辅助数列 1．构造数列??1?ana?，使其为等差数列。 （形式：） ?n?1pan?1?an?an3an?1例：已知数列?an?满足 a1?1,an?1?的通向公式。 解： ? an?1?an3an?1，求证：??1?并求?an??是等差数列，

a?n?，?1an?1?1an?3，即

1an?1?1an??3.

?1?? ??是首项为1，公差为3的等差数列。

?an?1an?3n?2, an?13n?2 .

?

2. 构造数列??1?an???，使其为等比数列。（an?1?或Aan?Ban?c?0）

pa?qan?n?2anan?1 例：在数列?an?中，已知a1?2,an?1?，求证：数列?an?的通项公式。

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解：由a1?2,an?1?1an?1122anan?11可知，对n?N，an?0.

1an?1?1?1??. ?1??2?an? ?

??2an，即

12?1?又?a1?1, ??11a1?1??.

?数列?1?11?1?是首项为?，公比为的等比数列.

22?an?n?11?1? ? ?1????an2?2??1?????. ?2?n ? an?2nn2?1

3. 构造数列?an?1??an?，使其为等比数列。 an?2?pan?1?qan?1

例：已知数列?an?满足a1?1,a2?3，an?2?3an?1?2an?1，求?an?的通项公式。 解：设 an?2??an?1???an?1??an?1?，即an?2??????an?1???an?1,

则 an?2??????an?1???an?1,与an?2?3an?1?2an?1 比较后的得

????3,????2.

? ???2,??1

或 ???1,??2.

当???1,??2时，an?2?an?1?2?an?1?an?1?，?an?1?an?是以a2?a1?2为首项，2为公比的等比数列。?an?1?an?2n

?an??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1??a1

?2n?1?2n?2???2?1 ?2n?1(n?2).

经验证，n=1时适合上式，?an?2n?1. 同理，当???2,??1时，也得到an?2n?1. 综上知an?2n?1.

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