2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题5 定值问题

初三中考冲刺

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编

专题5：定值问题

6. （2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若 1 2 3 4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．

理解与作图：

（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD

的

反射四边形EFGH．

计算与猜想：

（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否

为定值？

启发与证明：

（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华

同学给我

们的启发证明（2）中的猜想．

【答案】解：（1）作图如下：

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（2）在图2中，

EF FG GH HE

∴四边形EFGH

的周长为 在图3

中，EF GH

，FG HE

∴四边形EFGH

的周长为2 2 猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。 （3）延长GH交CB的延长线于点N，

∵ 1 2， 1 5， ∴ 2 5。 又∵FC=FC，

∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。 ∴EF=MF，EC=MC。

同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。

∵ M 90 5 90 1， N 90 3， 1 3，∴ M N。 ∴GM=GN。

过点G作GK⊥BC于K，则KM ∴GM

12

MN 8。

。

∴四边形EFGH

的周长为2GM 。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为

定值。

【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。

（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利

用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。

（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，

根

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据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出KM 用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。 7. （2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上. （1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度； ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A=

BC2R

12

MN 8，再利

；

（2）.若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.

【答案】解：（1）i）∵∠A=45°，

∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。

又∵R=1，∴由勾股定理可知

ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。 可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°）， 且∠E=∠A（同弧所对的圆周角相等）。

故sin∠A=sin∠A=

BCBE

BC2R

。

（2）保持不变。理由如下：

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如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK， 在Rt△APC中，CK=

12

AP=AK=PK。

同理得：BK=AK=PK。

∴CK=BK=AK=PK。∴点A、B、P、C都在⊙K上。 ∴由（1）ii）sin∠A=∴

AP=

BCsin60

3

BC2R

可知sin60°=

BCAP

。

（为定值）。

【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。

【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；

ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sin∠A=sin∠E=

可。

（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin∠A=

（定值）即可。

8. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

BC2R

BCBE

BC2R

，得出即

，得出

AP=

BCsin60

3

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠FAC。

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∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC和△ACD为等边三角形。 ∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。 ∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。 作AH⊥BC于H点，则BH=2，

S四边形AECF S ABC

12

BC AH

12

BC 。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直

时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积

会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．

∴S△CEF=S四边形AECF﹣S

△AEF

12

。

∴△CEF

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。

（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S

四边形AEC

F=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即

可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形

AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。

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9. （2012四川成都12分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=

54

x+m (m为常数)

的图象与x轴交于点A( 3，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B． （1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1 x1，y1 ，M2 x2，y2 两点，试探究究过程．

M1P M2PM1M2

是否为定值，并写出探

【答案】解：（1）∵y=

54

，∴ x+m经过点（﹣3，0）

54x+154

154

x+m=0，解得m=

154

。

∴直线解析式为y=令x=0，得y=

154

。

154

。∴C（0，）。

∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0）， ∴另一交点为B（5，0）。

设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5）， ∵抛物线经过C（0，

154

），∴

14

154

=a 3（﹣5），解得a=

14x+

2

1412

。

x+154

∴抛物线解析式为y= （x+3）（x﹣5），即y= 。

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（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则AC∥EF且AC=EF，如答图1。

（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G， ∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG。

又∵∠COA=∠EOF=90，AC=EF，∴△CAO≌△EFG（AAS）。 ∴EG=CO=∴

舍去）。

∴E（2，

154

154=

15414

，即yE=

2

154

。

，解得xE=2（xE=0与C点重合，

xE+

12

xE+

154

），S ACEF=

152

。

（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′， 同理可求得

，

154

），S ACE′F′

4

。

（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可。

如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性

质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）。

∵B（5，0），C（0，

154

），

34x+154

∴直线BC解析式为y= 。

∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）。

令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，

y kx 3 k

联立 12115得

y= x+x+

424

x+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0， ∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3。

∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）。 根据勾股定理得：

2

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M1M2=

1+k

2

，

M1P=

， M2P=

。 ∴M1P M2P= 1+k2

1+k2

=1+k

2

1+k

2

∴M1P M2P=M1M2。∴

M1P M2PM1M2

=1为定值。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。

【分析】（1）把点A的坐标代入y=

54

x+m即可求出m的值。由抛物线的对称轴和点A的坐标可

得抛物线与x轴另一交点B的坐标，从而设抛物线的交点式，由点C在抛物线求出待定系数得到抛物线解析式。

（2）分点E在x轴上方和下方两种情况讨论即可。

（3）设出M1M2的解析式，与抛物线联立，根据一元二次方程根与系数的关系得M1、M2

两点坐标的关系：x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3，y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k， y1﹣y2=k（x1﹣x2）。由勾股定理表示出M1M2、M1P和M2P，化简即可求证。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lxb1.html