广东省各地2010年高三数学联考试题分类汇编(3)数列

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广东省各地市2010年高考数学最新联考试题（3月-6月）分类汇编第

3部分:数列

一、选择题:

4．（广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）等差数列{an}的前n项和为

，那么S13值的是 Sn,若a2?a8?a11?30A．130

B．65

（ A ）

C．70 D．以上都不对

7．（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）设等比数列{an}的公比q?2， 前n项和为

Sn，则

S4?（ ） a2 B. 4

C.

A. 2

【答案】C

1517 D. 22

4．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为

A．2 B．4 C．2 D．【答案】C

2【解析】设数列{an}的公差为d（d?0），由a3?a1a7得(a1?2d)2?a1(a1?6d)?a1?2d

1 2故q?a3a1?2d2a1???2，选C. a1a1a11，a??1，842．（2010年广东省揭阳市高考一模试题文科）已知数列{an}是等比数列，且a1?则{an}的公比q为 A.2 B.－【答案】C 【解析】由

11 C.－2 D. 22a4?q3??8?q??2，故选C. a17．（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到08年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两

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间工厂08年6月份的月产值大小，则有（ C ） A． 甲的产值小于乙的产值

C． 甲的产值大于乙的产值

B． 甲的产值等于乙的产值 D．不能确定

8．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，

它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端

1?n≥2?，每个数是它下一行左右相邻两数 n111111111的和，如??，??，??，…，

1222363412的数均为

则第10行第4个数（从左往右数）为（ B ）

1 12601C．

504A．

1 8401D．

360B．

10．（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，

它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为一行左右相邻两数

的和，如?1?n≥2?，每个数是它下n1111111111?，??，??，?， 2223634121 1051D．

42B．

则第7行第4个数（从左往右数）为（ A ）

1 1401C．

60A．

6．（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）数列{an}前n项和为Sn，已知a1?1，且3对任意正整数m,n，都有am?n?am?an，若Sn?a恒成立则实数a的最小值为（ A ）

123A．2 B． C． D．2

324．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知点An（n，an）（n?N*）a?1）的图象上，则a3?a7与2a5的大小关系是( A ) 都在函数y?ax（a?0，A．a3?a7＞2a5 B．a3?a7＜2a5

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C．a3?a7＝2a5

D．a3?a7与2a5的大小与a有关

二、填空题:

9. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科） 为确保信息安全，信息需加密传输，发送

方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文则解密得到的1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28时，明文为 . 【答案】6,4,1,7

开始 输入a,b,c,d 4d?28?d?7,2c?3d?23?c?1,2b?c?9?b?4,a?2b?14?a?6 【解析】

【考点定位】本题考查实际应用能力等数学基本能力。

【备考要点】复习时，要加强新的信息与创新题，高考中几乎年年必有。

9. （广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在等比数列{an}中，若a1a2a3?2，a2a3a4?16, 则公比q? 2

m?a?2bn?2b?c p?2c?3dq?4d输出m,n,p,q 结束 第9题图

9（．2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）在等比数列?an?中，公比q?2，a1?1，若?an?前n项和Sn?127，则n的值为 7 ．

9．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列{an}的前n项和为

Sn，若S9?81，则a2?a5?a8? 27 ．

三、解答题 21．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）（本小题满分14分）

设数列

?an?的前n项和为Sn，且对任意的n?N，都有an?0，

*Sn?a13?a23??an3．

（1）求a1，a2的值；

（2）求数列?an?的通项公式an；

nnn（3）证明：a2n?1≥a2n?a2n?1．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

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（1）解：当n?1时，有a1?S1?由于an?0，所以a1?1． 当n?2时，有S2?a13，

333a13?a2，即a1?a2?a1?a2，

将a1?1代入上式，由于an?0，所以a2?2． [来源:高考资源网]

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nnn证明2：要证a2n?1≥a2n?a2n?1，[来源:高考资源网]

只需证?2n?1?≥?2n???2n?1?，

nnn1?1???只需证?1?≥1?1????，

?2n??2n?1??1??只需证?1??1????≥1．

?2n??2n?1??1??由于?1??1????

?2n??2n?23?0111??????23??Cn?C1n???Cn???Cn????2n??2n??2n???35?1?1?3?1?5?1??2?Cn???Cn???Cn????2n??2n???2n??5?3?1?35?1??1?2?Cn???Cn????2n????2n?23??0111??????123???Cn－Cn???Cn??－Cn????2n??2n??2n?????nnnnnn?? ???? ????≥1． ??因此原不等式成立．

21．（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）（本小题满分14分）

已知数列

3a13?a2??an?满足对任意的

n?N*，都有an?0，且

?an??3a?a1??2an?．

2（1）求a1，a2的值；

（2）求数列?an?的通项公式an； （3）设数列??11?S?loga?1?a?对任意的正整数n恒的前项和为，不等式Sn?nn3aa?nn?2?成立，求实

数a的取值范围．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

3（1）解：当n?1时，有a1?a12，

由于an?0，所以a1?1．

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33当n?2时，有a1?a2??a1?a2?，

2将a1?1代入上式，由于an?0，所以a2?2．

33（2）解：由于a1?a2?33则有a1?a2?3?an??a1?a2??an?， ① ?an?an?1?． ②

22233?an?an?1??a1?a2?3②－①，得an?1??a1?a2??an?an?1???a1?a2??an?，

22由于an?0，所以an?1?2?a1?a2??an??an?1． ③

同样有an?2?a1?a2?2?an?1??an?n≥2?， ④

22③－④，得an?1?an?an?1?an．

所以an?1?an?1．

由于a2?a1?1，即当n≥1时都有an?1?an?1，所以数列?an?是首项为1，公差为1的等差数列．

故an?n． [来源:ks5u.com]

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20.

（广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（本小题满分14分） 已知数列?an?中，

a1?2,an?an?1?2n?0?n?2,n?N?.

（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列?an?的通项公式； （2）设bn?1111???????，若对任意的正整数n，当m???1,1?时，不等式an?1an?2an?3a2nt2?2mt?1?bn恒成立，求实数t的取值范围。 620、解：（1）∵ a1?2,an?an?1?2n?0?n?2,n?N? ∴ a2?6,a3?12 ?????2分

当n?2时，an?an?1?2n,an?1?an?2?2?n?1?,???,a3?a2?2?3,a2?a1?2?2， ∴ an?a1?2??n??n?1??????3?2??，

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∴an?2??n??n?1??????3?2?1???2n?n?1?2?n?n?1? ???????5分

当n?1时，a1?1??1?1??2也满足上式， ∴数列?an?的通项公式为an?n?n?1??6分

（2）bn?111111????????????? an?1an?2a2n?n?1??n?2??n?2??n?3?2n?2n?1?111111?????????

2n?2n?1??n?1??n?2??n?2??n?3? ? ?11n1 ???????8分 ??2?1?n?1??2n?1?2n?3n?1(2n?)?3n 令f?x??2x?11?x?1?，则f??x??2?2， 当x?1时,f??x??0恒成立 xx∴ f?x?在x??1,???上是增函数，故当x?1时，f?x?min?f?1??3

1 ?????11分 61 要使对任意的正整数n，当m???1,1?时，不等式t2?2mt??bn恒成立，则须使

611t2?2mt??(bn)max?，即t2?2mt?0,对?m???1,1?恒成立，

66即当n?1时， (bn)max??t2?2t?0∴ ?,解得，t?2或t??2 ∴ 实数t的取值范围为???,?2???2,????14分

t?2t?0?2另解： bn?1?bn?111111?1????????n?22n?3n?1n2?1n?2n?2?1n?2n?3?1? ?13n?33n?4??0 222n?5n?22n?5n?31∴ 数列?an?是单调递减数列，∴(bn)max?b1?

6?21．（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）（本小题满分14分）

函数 f (x) 对任意x ? R都有 f(x)?f(1?x)?（1）求 f()的值．

（2）数列{an} 满足：an= f(0)+f(1 21212n?1)?f()????f()?f(1)，nnn数列?an? 是等差数列吗？请给予证明；

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（3）令bn?44an?12222,Tn?b1?b2?b3????bn,Sn?32?16.n

试比较Tn与Sn的大小．

所以Tn?Sn??????????????????????????14分

21．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）（本题满分14分） 已知：x1,x2（x1?x2）是方程x?6x?5?0的两根，且yn?2n?N?．

（1）求y1,y2,y3的值；

xn?11，xn?2?(5?)xn?1. xnyn亿库教育网 http://www.eku.cc

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（2）设zn?ynyn?1，求证：

?zi?1ni?26n；

11?n?2． 62526w。.w.? （3）求证：对?n?N有|y2n?yn|?221．解：（1）解方程x?6x?5?0得x1?1，x2?5，---------------------------------------------1分

∴y1?x2?5,---------------------------------------------------------------------------------------------2分 x11)x2?26， y1x3?(5?∴y2?x326，------------------------------------------------------------------------------------------3分 ?x25x1351---------------------------------------------------------4分 )x3?135,∴y3?4?x326y2x11)xn?1得n?2?5? ynxn?1yn1?yn?1yn?5yn?1----------------------------------------------------------------6分 ynx4?(5?（2）由xn?2?(5?即yn?1?5?当n?2时yn?5，于是z1?y1y2?26,zn?ynyn?1＝5yn?1?26（n?2） ∴

?zi?1ni?z1?z2??zn?26n--------------------------------------------------------------------9分 12526??，结论成立；------------------------------------------10分 25625625（3）当n?1时|y2?y1|?当n?2时，有|yn?1?yn|?|5?y?yn?1111?(5?)|?|n|?|yn?yn?1| ynyn?1ynyn?126?1|yn?1?yn?2|?226?111|y?y|?＝----------------------------------------12分 21n?1n?1262526∵|y2n?yn|?|y2n?y2n?1?y2n?1?y2n?2?y2n?2?∴|y2n?yn|?|yn?1?yn|??yn?1?yn|

?|y2n?1?y2n?2|?|y2n?y2n?1|

?11[n?1?2526?11?] 2n?32n?22626亿库教育网 http://www.eku.cc

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11(1?)n126n?126?26?1?1?1 ＝?n?1n?212562526625261?2611??n?2(n?N?)----------------------------------------------14分 ∴对?n?N有|y2n?yn|?6252620．（本题满分14分）

已知曲线C：xy?4x?4?0，数列{an}的首项a1?4，且当n?2时,点(an?1,an)恒在曲线C上，数列{bn}满足bn?1.

2?an（1）试判断数列{bn}是否是等差数列？并说明理由；

（2）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（3）设数列{cn}满足anbn2cn?1，试比较数列{cn}的前n项和Sn与2的大小. 20．解：（1）∵当n?2时,点(an?1,an)恒在曲线C上

∴an?1an?4an?1?4?0-----------------------------------------------1分 由bn?1得

2?an当n?2时，bn?bn?1?an?an?111 ??2?an2?an?14?2an?1?2an?anan?1?an?an?11??----5分

?2an?2an?12an?an?1?4?2an?1?2an?4an?1?4∴数列{bn}是公差为?（2）∵a1＝4，∴b1?1的等差数列.-------------------------------------------------------6分 211?? 2?a12111∴bn???(n?1)?(?)??n-----------------------------------8分

222由bn?1得an?2?1?2?2-----------------------------------------------10分 2?anbnn1211?＝2(?)----------------------12分 2nn?1anbnn(n?1)111111)?2-----14分 ?cn?2[(1?)?(?)??(?)]?2(1?n?1223nn?1（3）∵anbn2cn?1 ∴cn?∴Sn?c1?c2?18．（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）（本小题满分14分）在等差数列{an}中，设Sn为它的前n项和，若S15?0,S16?0,且点A(3,a3)与B(5,a5)都在斜率为－2的直线l上，

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（Ⅰ）求a1的取值范围； （Ⅱ）指出

S1S2,,a1a2,S15中哪个值最大，并说明理由． a15a5?a3??2,则公差d??2, …………………2分 5?318．解（Ⅰ）由已知可得

15?14?S?15a??d?15(a1?14)?0151??2????14?a1?15…………………7分 ?S?16a?16?15?d?16(a?15)?01611??2（Ⅱ）最大的值是

S8 …………………8分 a8S15?15a8?0 S16?8(a8?a9)? 0 …………………10分 ?a8?0,a9?0 即S8最大 …………………11分

又当1?i?8时，

SiS?0；当9?i?15时，i?0，数列{an}递减…………………13分 aiai?S8S9SS??????15?8最大…………………14分 a8a9a15a82所以，

S1S2??a1a220（．广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）（本小题满分14分）已知函数f(x)?x?2x. （Ⅰ）数列{an}满足:a1?1,an?1?f?(an),求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）已知数列{bn}满足b1?t?0,bn?1?f(bn)(n?N*)，求数列{bn}的通项公式； （Ⅲ）设cn?bn?1,数列{cn}的前n项和为Sn，若不等式??Sn对所有的正整数n恒成立，bn?1求?的取值范围。

20、(本小题满分14分)

解：（I）f?(x)?2x?2，???1分 ?an?1?2an?2 ?an?1?2?2a )(n?2

n?1…………4分 {an?2}为等比数列,?an?2?(a1?2)2n?1 ?an?3?2?2（Ⅱ）由已知得bn?0， bn?1?1?(bn?1)2,??1分?lg(bn?1?1)?2lg(bn?1), ∴又lgb(1?1?)tl?g(?1所)以0{,lgbn(?1的)公比为2的等比数列，∴

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bn?(t?1)2?1。………8分

（Ⅲ）

n?1ck?1?bk2?2bk,?bk?2?bk?1b?1(bk?2)?111， ,ck?k???bk?1bk?1bkbk?1bkk?1,2,?,n

?Sn?c1?c2??cn?(1111?)?(?)?b1b2b2b3?(1111, ?)??nt(t?1)2?1bnbn?1t?0,?t?1?1,?Sn在n?[1,??)上是增函数

11t?1?, 又不等式??Sn对所有的正整数n恒成立，?Sn?S1??22t(t?1)?1t?2t???t?1, 2t?2tt?1)????14分 t2?2t故?的取值范围是(??,21．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)（本小题满分14分）

在单调递增数列{an}中，a1?1，a2?2，且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，

a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，n?1,2,3,?．

aaaa（1）分别计算3,5和4,6的值；

a1a3a2a4（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；

4n1（3）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn?，n?N*．

n?2an2a3329解：（1）由已知，得a3?2a2?a1?2?2?1?3，a4???，

a222a5?2a4?a3?2?9?3?62，

2a562a6???8． ??????????2分

9a42（2）（法1）∵a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，∴a2n?1?2a2n?a2n?1，n?1,2,3,?； ∵a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，∴a2n?2又

2a2?n?1，n?1,2,3,?． a2na33a54a75a9a16a25?，?，?，……；4?，6?，8?，…… a11a32a53a24a49a616亿库教育网 http://www.eku.cc

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2∴猜想

a2n?1n?2?a2n?1n，

a2n?2?n?2????a2n?n?1?2，

n?N*， ??????????4分

以下用数学归纳法证明之．

aa31?2a2?1?2a49?1?2?①当n?1时，2?1?1?3??，?????，猜想成立；

a2?1?1a111a2?1a24?1?1?ak?2a2k?2?k?2?②假设n?k(k?1)时，猜想成立，即2k?1?，???，

a2k?1ka2k?k?1?2a22?k?1?a2k?1a2a2k?2?a2k?1a2k2a那么2k?3???2k?1?1

a2k?1a2k?1a2k?1a2kak?24?2k?14?2a2k?1a2k?1k?1??1??1?a2k?1?a2k?1ak?21?1?2k?1k2a2k?12(k?2)(k?1)?2??1?，

k?1k?12a2k?322?2a2k?2?a2k?1?a2k?4a2k?2?a2k?3??? ?????????a2k?2a2k?2?a2k?2?a2k?2??2?2a2k?2?a2ka2k?2???a2k?2?2????2?a2k?2??2?1?a2k?????a2k?2????a2k??2k?2??2?1??2???(k?1)?2k?1??????． k?2(k?1)?1??????k?1??∴n?k?1时，猜想也成立．

由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，猜想成立． ?????6分 ∴

a2n?1?a1?，

a3a5a7aa345nn?1n(n?1)???????2n?3?2n?1?1??????123n?2n?12a1a3a5a2n?5a2n?3aa4a6a8?????2na2a4a6a2n?222a2n?a2?22(n?1)2?3??4??5??n?1?． ?2???????????????234n2???????????8分

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an?2（注：如果用数学归纳法仅证明了

2n?1a?，n?N*， 2n?1n则由

an(n?1)2n?1?2，n(n?1)(n?1)(n?2)2n?a?2n?1?a2n?12?22(n?1)22?2； 如果用数学归纳法仅证明a22n?2a???n?2??，n?N*，

2n?n?1?则

由

a(n?1)22n?2，aa(n?1)2(n?2)2(n?1)(n?2)2n?1?2na2n?2?2?2?2， 又a1?(1?1)n(n?1)1?1?2也适合，∴a2n?1?2．）

n?1?n?1?∴当n为奇数时，a2??2?1???(n?1)(n?3)n?28；

??n?1?2?当n为偶数时，a?2?(n?2)2n?2?8． ?(n?1)(n?3a?),n为奇数即数列{?8n}的通项公式为an??． ???9分?(n?2)2 ??8,n为偶数（注：通项公式也可以写成a1217?(?1)nn?8n?2n?16）（法2）令ba2n?1n?a，n?N*，则

2n?12ba?2a2k?2?a2?a2k?1?a2k?12k?1?a2k?2a2k?1n?1?2k?3a?1

2k?1a2k?1a2k?1a2k4?a2k?1?2a2k?1a?1?a2k?1?1?4bn?1． 2k?1?a2k?1a2k?11?21?bna2k?1∴b1?2(bn?1)1?(bn?1)?211n?1?1?b，b??．

nn?1?12(bn?1)2bn?1从而111b??（常数），n?N*，又1?1，

n?1?1bn?12b1?12亿库教育网 http://www.eku.cc

得

得

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