高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

§01. 集合与简易逻辑

1. 元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式

CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

3.包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

?A?CUB???CUA?B?R

4.容斥原理

card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式

nnnnN?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0

M?NM?Nf(x)?N|??0 ?|f(x)??22M?f(x)11?. ?f(x)?NM?N8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是

充分条件.特别地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0,或

2f(k1)?0且k1??k?k2k?k2bb?1???k2. ,或f(k2)?0且12a222ab处及区间的两端点处取得，具2a9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??体如下：

(1)当a>0时，若x??bb??p,q?，则f(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2a2ab??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2abb??p,q?，则f(x)min?min?f(p),f(q)?，若x????p,q?，则(2)当a<0时，若x??2a2af(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.

x??

10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 .

1

设f(x)?x2?px?q，则

?p2?4q?0?（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或?p；（2）方程f(x)?0在区间

???m?2?f(m)?0?f(n)?0??f(m)?0?f(n)?0?或?； (m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p2?4q?0或?af(n)?0??af(m)?0??m??p?n??2?p2?4q?0?（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或?p .

???m?211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式

f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L).

(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L).

?a?0?a?0?(3)f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要条件是?b?0或?2.

?c?0?b?4ac?0?12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有x，成立 存在某x，不成立 对任何x，不成立 存在某x，成立

14.四种命题的相互关系

原命题 若ｐ则ｑ 互 否 否命题 若非ｐ则非ｑ 互 否 互逆 为 逆 互逆 互 为 逆 否 逆命题 若ｑ则ｐ 互 否 逆否命题 若非ｑ则非ｐ 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 p或q 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q p且q ?p或?q

2

15.充要条件

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

§02. 函数

16.函数的单调性

(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x)?f(x)?0??12x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为

(x1?x2)?f(x?f(x0?)??1)2减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数

y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则

f(x?a)?f(?x?a).

20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?a?b;两2a?b对称. 2a21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数

2y?f(x)为周期为2a的周期函数.

22．多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性

)?f(a? x)(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x?f(2a?x)?f(x).

(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b)?f(b?m)x对称?f(a?mx

2?f(a?b?m)x?(fm)x.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?(3)函数y?f(x)和y?f?1a?b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

3

f(a)?b?f?1(b)?a.

27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1?1[f(x)?b],并不是y?[f?1(kx?b),而函数ky?[f?1(kx?b)是y?1[f(x)?b]的反函数. k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.

(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.

(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).

(4)幂函数f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.

(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，

f(0)?1,limx?0g(x)?1. x29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0，

1(f(x)?0)， f(x)1或f(x?a)??(f(x)?0),

f(x)12或?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a； 21(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)?1?f(x?a)f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周期T=4a；

1?f(x1)f(x2)(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a.

或f(x?a)?30.分数指数幂 (1)a(2)amn??1n?mnam1mn（a?0,m,n?N，且n?1）. （a?0,m,n?N，且n?1）.

??a31．根式的性质 （1）(na)n?a.

（2）当n为奇数时，an?a；

n?a,a?0当n为偶数时，a?|a|??.

?a,a?0?nn32．有理指数幂的运算性质 (1) a?a?a(a?0,r,s?Q).

rsrs(2) (a)?a(a?0,r,s?Q).

rrr(3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q).

注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数

4

p

rsr?s幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).

34.对数的换底公式

logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

logmann推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).

mlogaN?35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;

M?logaM?logaN; N(3)logaMn?nlogaM(n?R).

(2) loga236.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则a?0，且??0;

若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广

1,则函数y?logax(bx) a11 (1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.

aa11和上y?log. (为减函数))(,??)， (2)当a?b时,在(0,axbxaa 若a?0,b?0,x?0,x?推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga

2

m?n. 2§03. 数 列

38. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p)x. 39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an??s?s,n?2?nn?140.等差数列的通项公式

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

其前n项和公式为

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d1?n2?(a1?d)n. 22sn?41.等比数列的通项公式

5

an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)； q其前n项的和公式为

?a1(1?qn),q?1?sn??1?q

?na,q?1?1?a1?anq,q?1?或sn??1?q.

?na,q?1?142.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为

?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；

,q?1?q?1?其前n项和公式为

?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??. d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?43.分期付款(按揭贷款)

ab(1?b)n每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1?b)?1

§04. 三角函数

44．常见三角不等式 （1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.

?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

)，则1?sinx?cosx?2. 45.同角三角函数的基本关系式

sin2??cos2??1，tan?=

sin?，tan??cot??1. cos?46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?n?n??(?1)2cos?, cos( ??)??n?12?(?1)2sin?,?(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) 47.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;

cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

tan??tan?tan(???)?.

1?tan?tan?

6

sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式); cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan??48.二倍角公式

b ). asin2??sin?cos?.

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.

2tan?tan2??. 21?tan?49. 三倍角公式

sin3??3sin??4sin3??4sin?sin(??)sin(??).

33cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??)33????.

3tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??). 21?3tan?3350.三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?函数y?tan(?x??)，x?k??51.正弦定理

2??；

?2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T??. ?abc???2R. sinAsinBsinC52.余弦定理

a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC.

53.面积定理

111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.

222????????2????????21(|OA|?|OB|)?(OA?OB). (3)S?OAB?2（1）S?54.三角形内角和定理

在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C?A?B???2C?2??2(A?B). 222k55. 简单的三角方程的通解

sinx?a?x?k??(?1)arcsina(k?Z,|a|?1). cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).

tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).

特别地,有

sin??sin????k??(?1)k?(k?Z).

cos??cos????2k???(k?Z).

7

tan??tan????k???(k?Z).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.

sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z. cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?Z.

cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa),k?Z.

tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k???2),k?Z.

tanx?a(a?R)?x?(k??

?2,k??arctana),k?Z.

§05. 平面向量

57.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).

???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).

63.两向量的夹角公式

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).

cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式

???????????? dA,B=|AB|?AB?AB ?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.

8

66.线段的定比分公式

????????设P12的分点,?是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1??PP2，则

x1??x2?????????x??????OP??OP2?1?? ?OP?1?y??y1??2?y?1?1???????????????1t?（）. ?(1?t)OP?OP?tOP121??67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是

G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 3368.点的平移公式

''????????????'???x?x?h?x?x?h'???OP?OP?PP . ?''???y?y?k?y?y?k'????注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP'的坐标为(h,k).

'''69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x?h,y?k).

(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y?f(x?h)?k. (3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解析式为

''''y?f(x?h)?k.

''(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x?h,y?k)?0. (5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

????2????2????2（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC.

?????????????O?ABC（2）为的重心?OA?OB?OC?0.

????????????????????????（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.

?????????????（4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0.

????????????（5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.

§06. 不 等 式

71.常用不等式：

（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

22a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333（3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（2）a,b?R??（4）柯西不等式

(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.

（5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p；

9

（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值

12s. 4推广 已知x,y?R，则有(x?y)2?(x?y)2?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.

（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.

73.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与ax?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；

22x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

x?a?x2?a??a?x?a.

2x?a?x2?a2?x?a或x??a.

75.无理不等式 （1）（2）（3）?f(x)?0? . f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0或?g(x)?0?f(x)?[g(x)]2???f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?76.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.

?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)?

§07. 直线和圆的方程

77.斜率公式

k?

y2?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2?x110

78.直线的五种方程

（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).

y?y1x?x1(y1?y2)(P?1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).

y2?y1x2?x1xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0)

ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 ①l1||l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,

A1B1C1；

??A2B2C2②l1?l2?A； 1A2?B1B2?0①l1||l2?80.夹角公式

k2?k1|.

1?k2k1(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)

AB?A2B1(2)tan??|12|.

A1A2?B1B2(l1:A). 1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0?直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是.

281. l1到l2的角公式

k?k1(1)tan??2.

1?k2k1(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)

AB?A2B1(2)tan??12.

A1A2?B1B2(l1:A). 1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0?直线l1?l2时，直线l1到l2的角是.

2(1)tan??|82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为

(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx?Ay???0,λ

是参变量．

83.点到直线的距离

11

A?B84. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域

设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是：

若B?0，当B与Ax?By?C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?By?C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B?0，当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

85. (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域

设曲线C:(A，则 1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0（A1A2B1B2?0）

d?|Ax0?By0?C|22(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).

(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域是： (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分； (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分.

86. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2.

（2）圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).

22?x?a?rcos?（3）圆的参数方程 ?.

y?b?rsin??（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

87. 圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0

?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方程,λ是待定的

系数．

(2)过直线l:Ax?By?C?0与圆C:x2?y2?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是

x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数．

22(3) 过圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F2?0的交点的圆系方程是1?0与圆C2:x?y?D2x?E2y?Fx2?y2?D1x?E1y?F1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0,λ是待定的系数．

88.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种 若d?(a?x0)2?(b?y0)2，则

d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种:

d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0.

Aa?Bb?Cd?其中.

22A?B90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d

d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线;

12

r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线;

d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x0?x)E(y0?y)??F?0. 22D(x0?x)E(y0?y)??F?0表示过两个切点的切点弦方程． 当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y?22②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不

x0x?y0y?要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆x2?y2?r2．

2①过圆上的P点的切线方程为; (x,y)xx?yy?r00000②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?r1?k2.

§08. 圆锥曲线方程

?x?acos?x2y292.椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?.

ab?y?bsin?x2y293.椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式

aba2a2PF1?e(x?)，PF2?e(?x).

cc94．椭圆的的内外部

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部?abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部?ab95. 椭圆的切线方程

22x0y0?2?1. 2ab22x0y0??1. a2b2xxyyx2y2(1)椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.

ababx2y2 （2）过椭圆2?2?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y?2?1. 2abx2y222222 （3）椭圆2?2?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.

abx2y296.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式

aba2a2PF1?|e(x?)|，PF2?|e(?x)|.

cc97.双曲线的内外部

13

x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的内部?abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的外部?ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22x0y0?2?1. 2ab22x0y0??1. a2b2x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x.

aababxyx2y2b (2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.

abaabx2y2x2y2 (3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??（??0，焦点在x轴上，??0，焦点在

ababy轴上）.

99. 双曲线的切线方程

xxyyx2y2 (1)双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.

ababx2y2 （2）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y?2?1. 2abx2y222222 （3）双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.

ab100. 抛物线y2?2px的焦半径公式

p抛物线y2?2px(p?0)焦半径CF?x0?.

2pp过焦点弦长CD?x1??x2??x1?x2?p.

222y?2101.抛物线y?2px上的动点可设为P(,y?)或P(2pt2,2pt)或 P(x?,y?)，其中 y?2?2px?.

2pb24ac?b22(a?0)的图象是抛物线：102.二次函数y?ax?bx?c?a(x?)?（1）顶点坐标为

2a4ab4ac?b2b4ac?b2?14ac?b2?1(?,)；,)；（2）焦点的坐标为(?（3）准线方程是y?. 2a4a2a4a4a103.抛物线的内外部

(1)点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的内部?y2?2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y?2px(p?0)的外部?y?2px(p?0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y??2px(p?0)的内部?y??2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y??2px(p?0)的外部?y??2px(p?0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x?2py(p?0)的内部?x?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x?2py(p?0)的外部?x?2py(p?0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x?2py(p?0)的内部?x?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x??2py(p?0)的外部?x??2py(p?0). 104. 抛物线的切线方程

(1)抛物线y?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).

14

222222222222222 （2）过抛物线y2?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y?p(x?x0). （3）抛物线y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB2?2AC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是

f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数).

x2y2?2?1,其中k?max{a2,b2}.当k?min{a2,b2}时,表示椭(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2a?kb?k圆; 当min{a2,b2}?k?max{a2,b2}时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或

AB?(1?k2)(x2?x1)2?|x1?x2|1?tan2??|y1?y2|1?cot2?（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由

方程??y?kx?b2 消去y得到ax?bx?c?0，??0,?为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

?F(x,y)?0107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0. （2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是

F(x?2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)?0.

A2?B2A2?B22108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0，用x0x代x，用y0y代y2，用用

x0y?xy0代xy，2x0?xy?y代x，用0代y即得方程 22xy?xy0x?xy?yAx0x?B?0?Cy0y?D?0?E?0?F?0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是

222此方程得到.

§09. 立体几何

109．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径

15

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．

????????????????????P、A、B三点共线?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB.

????????????????AB||CD?AB、CD共线且AB、CD不共线?AB?tCD且AB、CD不共线.

????????????推论 空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对x,y,使MP?xMA?yMB，

?????????????????或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OP?OM?xMA?yMB.

????????????????119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OP?xOA?yOB?zOC（x?y?z?k），则当k?1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k?1时，若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

????????????????????????A、B、 C、D 四点共面?AD与AB、AC共面?AD?xAB?yAC? ????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p?ax?by．

????????????????OP?xOA?yOB?zOC.

121.射影公式

????''已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点在l上的射影B，

则

????AB?|AB|cos〈a，e〉=a·e

''122.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (2)a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1?a2b2?a3b3； 123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 124．空间的线线平行或垂直

????????????AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1).

16

rr设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则

?x1??x2rrrrrr?aPb?a??b(b?0)??y1??y2；

?z??z2?1rrrra?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.

125.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 cos〈a，b〉=a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b22推论 (a1b1?a2b2?a3b3)2?(a?a?a)(b12?b2?b3)，此即三维柯西不等式.

212122222323.

126. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中, AC与BD所成的角为?,则

|(AB2?CD2)?(BC2?DA2)|cos??.

2AC?BDrrcos??|cosa,b|

rr|x1x2?y1y2?z1z2||a?b|r?=r 222222|a|?|b|x1?y1?z1?x2?y2?z2rroob所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量） （其中?（0???90）为异面直线a,128.直线AB与平面所成角

??????AB?m???????arcsin???(m为平面?的法向量). |AB||m|129.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,A、B为?ABC的两个内角，则

127．异面直线所成角

sin2?1?sin2?2?(sin2A?sin2B)sin2?.

特别地,当?ACB?90时,有

?sin2?1?sin2?2?sin2?.

130.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、

?2,A'、B'为?ABO的两个内角，则

tan2?1?tan2?2?(sin2A'?sin2B')tan2?.

特别地,当?AOB?90时,有

?sin2?1?sin2?2?sin2?. 131.二面角??l??的平面角

?????????m?nm?n??arccos???或??arccos???（m，n为平面?，?的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.

133. 三射线定理

若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是

17

θ，则有sin2?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos? ;

|?1??2|???180??(?1??2)(当且仅当??90?时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 135.点Q到直线l距离

????????????222 dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).

????????122h?(|a||b|)?(a?b)(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

|a|136.异面直线间的距离

????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离). d?|n|???????|AB?n|??（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）. d?|n|137.点B到平面?的距离

138.异面直线上两点距离公式

d?h2?m2?n2?2mncos?. ????????222'd?h?m?n?2mncosEA,AF. d?h2?m2?n2?2mncos?（??E?AA'?F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，

'A'E?m,AF?n,EF?d).

139.三个向量和的平方公式

???2?2?2?2?????? (a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?2?2?2?????????????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3,则

有

2l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理

S'S?.

cos?(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?). 142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧?c1l. ②V斜棱柱?S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

18

'V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：1E?nF；

21（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E?mV.

2146.球的半径是R，则

4?R3, 32其表面积S?4?R．

其体积V?147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

66a,外接球的半径为a. 1241V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3

§10. 排列组合二项定理

149.分类计数原理（加法原理）

N?m1?m2???mn. 150.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn. 151.排列数公式

m=n(n?1)?(n?m?1)=Ann！*

.(n，m∈N，且m?n)．

(n?m)！注:规定0!?1. 152.排列恒等式

mm?1(1）An; ?(n?m?1)AnnmAn?1; n?mmm?1（3）An?nAn?1;

（2）An?m（4）nAn?An?1?An; （5）An?1?An?mAnmmm?1nn?1n.

(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 153.组合数公式

Cmn=

Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*

==(∈N，m?N，且m?n). nm1?2???mm！?(n?m)！Am154.组合数的两个性质

mn?m(1)Cn=Cn ;

19

mm?1m(2) Cn+Cn=Cn?1. 0注:规定Cn?1.

155.组合恒等式

n?m?1m?1Cn; mnmmCn（2）Cn??1; n?mnm?1m（3）Cn?Cn?1;

m（1）Cn?m （4）

?Cr?0rrnrn=2;

nrr?1（5）C?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1. 012rn(6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n. 135024(7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2n?1. 123n (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2n?1. r0r?110rrr(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. 021222n2n(10)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.

156.排列数与组合数的关系

mm . An?m！?Cn157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

mm?1m?11m?1①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）?An?1An?1（着眼位m1m?1置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.

n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所

hk有排列数有AhAh?1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.

Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm?n.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有

nnnnnN?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?(mn)!. (n!)m（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

20

nnnnnCmn?Cmn(mn)!?n?Cmn?2n...?C2n?Cn. N??mm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有

nmn1n2N?Cp?CpCn?m!??n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有

p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号

p!的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N?.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有

p!. N?n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，n2，?，nm等m个数是否全相N? ?异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2N?Cp?Cp...C?n1nm?nmn1n2Cp?Cp...C?n1nm?m!p!.

n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

1111?????(?1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n)?n![1234f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCm?n![1?1?2?2?4???(?1)p???(?1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数

(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的正整数解有Cm?1个. (2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的非负整数解有 Cn?m?1个.

(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)的非负整数解有n?1Cm个. ?1?(n?2)(k?1)??(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)的正整数解有

?n?1?n?1??n?12n?1n?2n?2n?1Cnn??m1?1?C1C?CC???(?1)Cn?2Cm?1?(n?2)k个.

n?2m?n?k?2n?2m?n?2k?3

21

0n1n?12n?22rn?rrnn161.二项式定理 (a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;

二项展开式的通项公式

rn?rr1，2?，n). Tr?1?Cnab(r?0，

§11、12. 概率与统计

162.等可能性事件的概率

P(A)?m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）P,2,?); i?0(i?1（2）P1?P2???1. 169.数学期望

E??x1P1?x2P2???xnPn??

170.数学期望的性质

（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?q171.方差

k?1p，则E??21. pD???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??

172.标准差

22??=D?.

173.方差的性质

(1)D?a??b??aD?；

2(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??q. 2p174.方差与期望的关系

D??E?2??E??.

175.正态分布密度函数

2f?x??1e2?62x?????262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表示个体的平均数与标

准差.

176.标准正态分布密度函数

22

x?1f?x??e2,x????,???.

2?6177.对于N(?,?2)，取值小于x的概率

?x???F?x?????.

???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?

2?F?x2??F?x1?

?x????x1??????2?????.

??????178.回归直线方程

n??xi?x??yi?y???i?1?b??n?2y?a?bx，其中??xi?x???i?1??a?y?bx?xy?nxyiii?1nn?xi2?nx2i?1.

179.相关系数

r???x?x??y?y?iii?1n?(x?x)?(y?y)2iii?1i?1nn ?2??x?x??y?y?iii?1n(?xi2?nx2)(?yi2?ny2)i?1i?1nn.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

§13. 极 限

180.特殊数列的极限

?0?n（1）limq??1n???不存在?|q|?1q?1|q|?1或q??1.

?0(k?t)?aknk?ak?1nk?1???a0?at（2）lim??(k?t).

n??bnt?bnt?1???btt?10?bk?不存在 (k?t)?（3）S?lima11?qn1?qx?x0?n????a11?q（S无穷等比数列

?aq? (|q|?1)的和）.

n?11181. 函数的极限定理

x?x0limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.

x?x0182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)?f(x)?h(x);

（2）limg(x)?a,limh(x)?a（常数）,则limf(x)?a.

x?x0x?x0x?x0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 183.几个常用极限

23

1?0，liman?0（|a|?1）；

n??n??n11（2）limx?x0，lim?.

x?x0x?x0xx0（1）lim184.两个重要的极限 （1）limsinx?1；

x?0xx?1?（2）lim?1???e(e=2.718281845?).

x???x?185.函数极限的四则运算法则

若limf(x)?a，limg(x)?b，则

x?x0x?x0(1)lim??f?x??g?x????a?b；

x?x0x?x0(2)lim??f?x??g?x????a?b; (3)limx?x0f?x?a??b?0?. g?x?bn??186.数列极限的四则运算法则 若liman?a,limbn?b，则

n??(1)lim?an?bn??a?b；

n??n??(2)lim?an?bn??a?b； (3)limn??ana??b?0?

n??bbnn??n??(4)lim?c?an??limc?liman?c?a( c是常数).

§14. 导 数

187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f(x0??x)?f(x0)?yf?(x0)?y?x?x0?lim?lim.

?x?0?x?x?0?x188.瞬时速度

??s?(t)?lim?ss(t??t)?s(t)?lim.

?t?0?t?t?0?t189.瞬时加速度

a?v?(t)?lim?vv(t??t)?v(t)?lim.

?t?0?t?t?0?t190.f(x)在(a,b)的导数

dydf?yf(x??x)?f(x)f?(x)?y????lim?lim.

dxdx?x?0?x?x?0?x191. 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义

函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程

是y?y0?f?(x0)(x?x0).

192.几种常见函数的导数 (1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q).

24

(3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??11ex；(loga)??loga. xx(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.

（1）(u?v)'?u'?v'. （2）(uv)'?u'v?uv'.

193.导数的运算法则

u'u'v?uv'(v?0). （3）()?2vv194.复合函数的求导法则

设函数u??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数yu'?f'(u)，则

'''复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且yx，或写作fx'(?(x))?f'(u)?'(x). ?yu?ux195.常用的近似计算公式（当x充小时）

1n1x;1?x?1?x； 2n1?1?x； (2)(1?x)??1??x(??R)；

1?xx(3)e?1?x； (4)ln(1?x)?x；

(5)sinx?x（x为弧度）； (6)tanx?x（x为弧度）； (7)arctanx?x（x为弧度）

196.判别f(x0)是极大（小）值的方法

(1)1?x?1?当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值.

§15. 复 数

197.复数的相等

a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）

198.复数z?a?bi的模（或绝对值）

|z|=|a?bi|=a2?b2. 199.复数的四则运算法则

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdbc?ad?2i(c?di?0). 222c?dc?d200.复数的乘法的运算律

对于任何z1,z2,z3?C，有 交换律:z1?z2?z2?z1.

结合律:(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3). 分配律:z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3 .

25

201.复平面上的两点间的距离公式

d?|z1?z2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.

202.向量的垂直

??????????非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 ??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2为纯虚数?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2

z1?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2 (λ为非零实数).

203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax?bx?c?0，

2?b?b2?4ac①若??b?4ac?0,则x1,2?; 2ab2②若??b?4ac?0,则x1?x2??;

2a2③若??b?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根

2?b??(b2?4ac)i2x?(b?4ac?0).

2a

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201.复平面上的两点间的距离公式

d?|z1?z2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.

202.向量的垂直

??????????非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 ??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2为纯虚数?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2

z1?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2 (λ为非零实数).

203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax?bx?c?0，

2?b?b2?4ac①若??b?4ac?0,则x1,2?; 2ab2②若??b?4ac?0,则x1?x2??;

2a2③若??b?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根

2?b??(b2?4ac)i2x?(b?4ac?0).

2a

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