大学数学实验基础知识整理(清华大学)

数学实验基础知识整理

Contents

差分方程和数值微分实验 ....................................................................................................................................................... 4

1.1 差分方程的基本定义 ................................................................................................................................................ 4 1.2 一阶线性常系数差分方程 ........................................................................................................................................ 4 1.3高阶线性常系数差分方程 ......................................................................................................................................... 4 1.4 线性常系数差分方程组 ............................................................................................................................................ 5 1.5 非线性差分方程 ........................................................................................................................................................ 5

...................................................................................................................................................................... 6

1 插值与拟合 ................................................................................................................................................................... 6

1.1 插值与拟合的基本概念 .................................................................................................................................... 6 1.2 三种插值方法 .................................................................................................................................................... 6 2 数值积分 ....................................................................................................................................................................... 8

2.1 数值积分的基本思路 ........................................................................................................................................ 8

.................................................................................................................................... 8

................................................................................................................................................................ 10

常微分方程的初值问题 ................................................................................................................................................. 10 2.初值问题的数值解法 .................................................................................................................................................. 10

2.1 欧拉方法 .......................................................................................................................................................... 10 2.2 龙格-库塔方法 ................................................................................................................................................. 11 常微分方程组和高阶方程初值问题的数值方法 ................................................................................................. 11 2.3 龙格-库塔方法的MATLAB实现 ..................................................................................................................... 12 2.4 算法的收敛性、稳定性分析

.......................................................................................................................... 12 刚性现象与刚性方程 ............................................................................................................................................. 13

.................................................................................................................................................... 13

线性代数方程组的一般形式和解法 ............................................................................................................................. 13 2.求解线性代数方程组的直接法 .................................................................................................................................. 13

2.1 高斯消元法 ...................................................................................................................................................... 13 2.2 LU分解 .............................................................................................................................................................. 14 2.3 解的误差分析P95 ........................................................................................................................................... 14 3.求解线性代数方程组的迭代法 .................................................................................................................................. 15

3.1 雅可比迭代法 .................................................................................................................................................. 15 3.2 高斯-赛德尔迭代法 ......................................................................................................................................... 15 3.3 迭代法的收敛性和收敛速度 .......................................................................................................................... 15 3.4 超松弛迭代 ...................................................................................................................................................... 16 4.超定线性代数方程组的最小二乘解 .................................................................................................................. 16 4.1 超定线性方程组的概念 .................................................................................................................................. 16 4.2 最小二乘准则 .................................................................................................................................................. 16 4.3 最小二乘解 ...................................................................................................................................................... 16 4.4 基函数的选取 .................................................................................................................................................. 17

.................................................................................................................................................................. 17 .................................................................................................................................................................... 17

1 非线性方程(组)的定义及特点 ................................................................................................................................... 17 2 非线性方程的基本解法 ............................................................................................................................................. 18

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2.3 牛顿法 .............................................................................................................................................................. 19 3 非线性方程组的牛顿法、拟牛顿法 ......................................................................................................................... 19 4 用MATLAB工具箱解非线性方程(组) ....................................................................................................................... 20

4.1 fzero的基本用法 .............................................................................................................................................. 20 4.2 fsolve的基本用法 ............................................................................................................................................. 21

的基本用法 .............................................................................................................................................. 22

............................................................................................................................................................................ 23

1．无约束优化的基本原理、解法 ............................................................................................................................... 23

1.1 无约束优化的一般形式 .................................................................................................................................. 23 1.2 最优性条件 ...................................................................................................................................................... 23 1.3 下降法的基本思想 .......................................................................................................................................... 23 1.4 用MATLAB优化工具箱解无约束优化问题 ................................................................................................... 23 2．非线性最小二乘拟合的基本原理、解法 ............................................................................................................... 25

2.1 非线性最小二乘拟合问题 .............................................................................................................................. 25 2.2 非线性最小二乘拟合问题的解法 .................................................................................................................. 25

用MATLAB优化工具箱解非线性最小二乘拟合问题 ................................................................................... 26

................................................................................................................................................................................ 27

11.线性规划的基本原理、解法 .................................................................................................................................... 28

1.1 线性规划的图解法 .......................................................................................................................................... 28 1.2 线性规划的标准形 .......................................................................................................................................... 28 1.3基本可行解 ....................................................................................................................................................... 28 1.4 线性规划的基本性质 ...................................................................................................................................... 28 1.5 单纯形法的基本思路 ...................................................................................................................................... 28 1.6 线性规划解的几种可能 .................................................................................................................................. 29 1.7 用MATLAB优化工具包解线性规划 .............................................................................................................. 29 2.非线性规划的基本原理、解法 .................................................................................................................................. 31

2.1 非线性规划的一般形式 .................................................................................................................................. 31 2.2 可行方向与下降方向 ...................................................................................................................................... 31 2.3 最优解的必要条件 .......................................................................................................................................... 31 2.4 二次规划的一般形式 ...................................................................................................................................... 32 2.5 二次规划的有效集方法 .................................................................................................................................. 32 2.6 用MATLAB优化工具包解二次规划 .............................................................................................................. 33 2.7

非线性规划的解法 .......................................................................................................................................... 34 优化工具包解非线性规划 .......................................................................................................... 34

................................................................................................................................................................ 36

1 统计的基本概念 ......................................................................................................................................................... 36 2 频数表和直方图 ......................................................................................................................................................... 37 3 统计量 ......................................................................................................................................................................... 37 4 统计中几个重要的概率分布 ..................................................................................................................................... 38

4.1 分布函数、密度函数和分位数 ...................................................................................................................... 38 4.2 统计中几个重要的概率分布 .......................................................................................................................... 38 4.3 MATLAB统计工具箱(Toolbox\Stats)中的概率分布 P246 .............................................................................. 39 5 正态总体统计量的分布 ............................................................................................................................................. 39 6. 用随机模拟计算数值积分 ........................................................................................................................................ 40

6.1两种方法 ........................................................................................................................................................... 40

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统计推断 ................................................................................................................................................................................. 40

1、参数估计 ................................................................................................................................................................... 40

概述 ......................................................................................................................................................................... 40 1.1 点估计 .............................................................................................................................................................. 41 1.2 点估计的评价标准 .......................................................................................................................................... 41 1.3 总体均值的区间估计 ...................................................................................................................................... 42 1.4 总体方差的区间估计 ...................................................................................................................................... 44 1.5 参数估计的MATLAB实现............................................................................................................................... 44 2、假设检验 ................................................................................................................................................................... 45

概述 ......................................................................................................................................................................... 45 2.1 均值的假设检验 .............................................................................................................................................. 45 2.2 方差（或标准差）的假设检验 ...................................................................................................................... 46 2.3 两总体的假设检验 .......................................................................................................................................... 46 2.4 0-1分布总体均值的假设检验 ......................................................................................................................... 47 2.5 总体分布正态性检验 ...................................................................................................................................... 47 2.6 假设检验与Matlab命令汇总 ......................................................................................................................... 49

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差分方程和数值微分实验 1.1 差分方程的基本定义

差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型。

现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。

1.2 一阶线性常系数差分方程

一阶线性常系数差分方程的一般形式

差分方程的平衡点

差分方程的解

平衡点稳定的条件

1.3高阶线性常系数差分方程

高阶线性常系数差分方程的一般形式

特征方程

特征根

平衡点

差分方程的解

平衡点稳定的条件 所有特征值的模均小于1 (用roots(c)---c:多项式的系数（降幂）P125)

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1.4 线性常系数差分方程组

当我们研究的对象是若干变量构成的一个向量的离散动态过程时，就需要引入差分方程组来描述，详见前面对一阶或高阶线性常系数差分方程的描述。

平衡点——X=Ax+b

稳定条件：A的所有特征根小于1（eig）

1.5 非线性差分方程

2 数值微分

数值微分是用离散方法近似地计算函数y=f(x)在某点x=a的导数值。常用公式有： 前差公式

后差公式

中点公式

三点公式

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1 插值与拟合

1.1 插值与拟合的基本概念

插值与插值函数：已知由

互异插值节点

值条件：

(可能未知或非常复杂

)产生的一批离散数据

，在插值区间内寻找一个相对简单的函数

，且 个

，使其满足下列插

再利用已求得的

数，

计算任一非插值节点

的近似值

，这就是插值。其中

称为插值函

称为被插函数。

，

互不相同，寻求一个拟合函数

，

最小二乘拟合：

已知一批离散的数据

使

1.2

三种插值方法

与

的误差平方和在最小二乘意义下最小。在最小二乘意义下确定的 称为最小二乘拟合函数。

1）

Lagrange插值法

a．待定系数法： 假设插值多项式 插值条件

的插值函数。关键在于确定待定系数

个满足条件：

的

，利用待定系数法即可求得满足

。 次插值基函数

，再将其

b

．利用基函数的构造方法 首先构造 线性组合即可得如下的Lagrange插值多项式：

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其中

c．Lagrange插值余项

注：上述两种构造方法所得的Lagrange插值多项式是一样的，即满足插值条件

Lagrange插值多项式是唯一的。Lagrange插值会发生Runge现象。

2）分段线性插值

作分段线性插值的目的在于克服Lagrange插值方法可能发生的不收敛性缺点。所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值节点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：

的

其中

特点：插值函数序列

具有一致收敛性，克服了高次Lagrange插值方法的缺点，故可通过增加插值节

点的方法提高其插值精度。但存在于节点处不光滑、插值精度低的缺点。

3）三次样条插值

三次样条插值的目的在于克服Lagrange插值的不收敛性和提高分段线性插值函数在节点处的光滑性。所谓三次样条插值方法就是在满足下列条件：

a． b．

在每个子区间

上是三次多项式的三次样条函数中寻找满足如下插值条件：

一及形如

等边界条件的插值函数

的方法。

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特点：三次样条插值函数序列

4）插值方法的Matlab实现

一致收敛于被插函数，因此可通过增加节点的方法提高插值的精度。

a．对于Lagrange插值必须自编程序 b．低次插值的Matlab命令 分段线性插值：

y=interp1(x0, y0, x)，其中输入离散数据x0、y0、x，输出对应x的插值y。 三次样条插值：

y=interp1(x0, y0, 'spline') 或

y=spline(x0, y0, x)

其中，x0、y0、x和y的意义同上。

2 数值积分

2.1 数值积分的基本思路

2.2 三种常用数值积分方法

1) 梯形公式

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2) 辛普森公式

3) 高斯求积公式

Gauss-Lobatto公式 P60

4）数值积分的Matlab实现

trapz(x)

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用梯形公式计算(h=1)，输入数组x为各区间端点的函数值。 trapz(x,y)

用梯形公式计算，输入x,y为同长度的数组，输出y对x的积分(步长可不相等)。 quad('fun',a,b,tol)

用自适应辛普森公式计算，输入被积函数fun可以自定义如exp(-x.^2)，也可以是fun.m命名的函数M文件，积分区间(a,b)，绝对误差tol，输出积分值。

quadl('fun',a,b,tol)

用自适应的Gauss-Lobatto公式计算，其余同上。

常微分方程的初值问题

2.初值问题的数值解法

2.1 欧拉方法

欧拉方法的基本思想

向前欧拉公式

向后欧拉公式

改进的欧拉公式

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精度归纳：

向前1阶 向后1阶 梯形2阶 改进欧拉2阶 O（h^p+1）——p阶精度

2.2 龙格-库塔方法

龙格-库塔方法的基本思想

龙格-库塔方法一般形式

经典的龙格-库塔方法

常微分方程组和高阶方程初值问题的数值方法 P73\74

高阶方程，需要先降阶化为一阶常微分方程组

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2.3 龙格-库塔方法的MATLAB实现

2.4 算法的收敛性、稳定性分析

收敛性分析

P81

稳定性分析

P81

向后欧拉公式无条件稳定

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刚性现象与刚性方程

精度——慢稳态解的特征根决定 步长——快稳态解

快慢稳态解衰减速度（两个特征根）相差悬殊——刚性现象——刚性方程 求解ode23s,ode15s

线性代数方程组的一般形式和解法

2.求解线性代数方程组的直接法

2.1 高斯消元法 高斯消元法

列主元消去法

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2.2 LU分解

LU分解和Cholesky分解

求解三对角线性方程组的追赶法

2.3 解的误差分析P95

病态是解的固有性质，与解法无关。

向量范数和矩阵范数P96 相容性条件

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3.求解线性代数方程组的迭代法

3.1 雅可比迭代法

3.2 高斯-赛德尔迭代法

高斯赛德尔收敛快于雅可比 3.3 迭代法的收敛性和收敛速度

迭代公式收敛——B的谱半径ρ（B）<1。 谱半径不超过任一种范数ρ（B）<||B||

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3.4 超松弛迭代

4.超定线性代数方程组的最小二乘解 4.1 超定线性方程组的概念

方程个数超过了未知数个数的方程组称为超定线性方程组。

一般来说，超定线性方程组在普通意义下是无解的，只能在新设定的准则下定义它的解。

求解超定线性方程组的一个重要实际应用背景是数据拟合,我们下面的讨论也将就这个问题展开.

4.2 最小二乘准则

4.3 最小二乘解

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4.4 基函数的选取

MATLAB实现

x=A\b;%求解方程Ax=b。若A为可逆方阵，输出原方程组的解；若A列多于行，输出最小二乘解

n=norm(x,1);n=norm(x);n=norm(x,inf);%输出x的1、2、无穷范数

c=cond(x,1);c=cond(x);c=cond(x,inf);%输出x的1、2、无穷条件数 r=rank(x);%输出向量x的秩

e=eig(x);%输出矩阵x的全部特征值

v=diag(x);v=diag(diag(x)); %提取对角矩阵

v=triu(x);v=tril(x);%输出矩阵x的上三角阵、下三角阵

v=triu(x,1);v=tril(x,-1);%输出矩阵x的上三角阵、下三角阵，对角元素为0 h=hilb(n);p=pascal(n);%n阶希尔伯特矩阵、Pascal矩阵

S=sparse(i,j,s,m,n)%稀疏矩阵，在第i行，第j列输入s，矩阵共m行，n列 SS=full(S);%输出S的满矩阵

tic;x=a\b;t1=toc;%计算求解时间

a=eye(3)%矩阵I a=inv(b)%矩阵求逆

a=polyfit(x,y,m);%完全多项式拟合，x，y要拟合的数据，m多项式的次数,a为拟合系数（降幂排列） y=polyval(a,x);%计算上述多项式在x处的值

关键是列出Ax=b的式子，其中x为包含要求量的矩阵，即列出方程后把包含要求量的项挪到一边，把其系数整理成A，剩下的部分就是b。

通常需要用稀疏矩阵整理A：A=sparse(i,j,s,m,n)%稀疏矩阵，在第i行，第j列输入s，矩阵共m行，n列 x=A\b即可求解

实验考点是雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的相关理论和迭代范围等

1 非线性方程(组)的定义及特点

n(>2)次代数方程(a0xn+a1xn-1+ +an=0)和超越方程(包含超越函数(如sinx, lnx)的方程) 通称为非线性方程。方程中的未知数也称为变量或变元，只含一个未知数的方程（即一元方程或单变量方程）可以记作

，该方程

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的解也称为方程的根（或函数的零点）。n次代数方程有且只有n个根(包括复根、重根)； 5次以上的代数

，其中

是一个向量，

称为非

方程无求根公式；超越方程有无根，有几个根通常难以判断。这里仅讨论方程的实根。 包含n个未知数的m个方程称为方程组，可以记作

是一个向量值函数。当

中至少有一个非线性函数时，

线性方程组。多数情况下，方程组中包含的方程的个数等于未知数的个数（即m=n) 。 求解非线性方程（组）的一般方法是迭代法，会出现分岔——混沌现象。

2 非线性方程的基本解法

2.1 图形法和二分法 解方程

的第一步通常是确定根的近似位置或大致范围。有两种方法：图形法和二分法。图形法是利用

后，可以用简单的二分法将区间缩小，具体步骤如下：即是根。否则，如

, 令 。 再取

; 如

的中点

MATLAB的函数图形功能作f(x)的图形,观察f(x)与x轴的交点，确定根的个数和范围。二分法是基于连续函数的零点存在定理，通过试探，确定函数值异号的区间取

的中点

, 令

, 若

。 在

, 则

内至少有一个根，且

, 如此进行下去，包含根的区间的长度每次缩小一半 (n=1, 2, )，n足够大时即可达

到满意的精度。图形法和二分法都可提供迭代法的初始迭代点。 2.2 迭代法

迭代法的基本思想是将原方程即为原方程f(x)=0的根。

迭代法的关键在于如何构造迭代函数率。（P118）

关于迭代法的收敛性，理论上有如下的所谓局部收敛性定理： 设则对于该邻域内的任意初值

，序列{xn}收敛于

。

在

的一个邻域内连续、可微，且

，使迭代序列

以较快速度收敛。迭代法是否收敛取决于曲线

的斜

改写成等价形式

收敛到

, 选择适当的初值, 则

满足

, 按照迭代公式，称为迭代函数

的不动点，

计算，若迭代序列

对迭代序列，记，若

为

，

为一个正数，其中||·||表示某种范数（对实数

可以认为就是绝对值），则称序列c=0，则称

阶收敛。特别地，1阶收敛称线性收敛，二阶收敛称平方收敛；若p=1,

为超线性收敛。P越大收敛越快。

利用在的泰勒展开：

可得

，从而可知

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若收敛。 2.3 牛顿法

，则为1阶收敛（线性收敛）；若，则为阶

将在作泰勒展开，去掉2阶及2阶以上项（即线性化）后得。设，

令上面的其几何意义是过

，用代替右端的，就得到迭代公式点的曲线

的切线与轴的交点即为

。对应的迭代函数为

(点击看图1)，称为牛顿切线法

。由

，

知，若

则

是

是

的单根，即，，

，这时牛顿切线法2阶收敛。当

的重根时，，牛顿切线法只是1阶收敛，并且重数越高收敛越慢。

用差商代替，迭代公式变为

，其几何意义是用割线代替了原

来的切线(点击看图2)，称为割线法（或称弦截法）其收敛速度比切线法稍慢（对于单根其收敛阶数是1.618），

且需要两个初值x0, x1开始迭代。 3 非线性方程组的牛顿法、拟牛顿法

将求解非线性方程的牛顿切线法推广到解方程组F(x)=0，其中

是第步近似解，在

作泰勒展开，线性化后用

。设

代替可得

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