三、中心对称图形

第三章 中心对称图形（一）

§3.1图形的旋转 知识点：

1、旋转基本内涵。将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。

考点：主要围绕旋转的定义、性质来作图以及解决一些简单数学问题和实际应用问题。 典型例题： 例1、（2008 盐城）如图，△ABC是等腰三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，且PA=3，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP’重合，那么线段PP’的长等于---------。

例2、画出△ABC绕点A逆时针90°后的图形。 A

CB

例3、（2008 南京）如图，菱形ABCD与菱形EFGH的形状、大小完全相同，请从下列序号中选择正确选项的序号填在横线上。

①点E、F、G、H；②点G、F、E、H；③点E、H、G、F；④点G、H、E、F。 D

A C E G

B F 图1 图2

（1）如果图1 经过一次旋转后得到图2，那么点A、B、Ｃ、Ｄ对应点分别是＿＿＿。

（2）如果图1经过一次轴对称后得到图2 ，那么点A，B，C，D对应点分别是＿＿＿。 （3）如果图1经过一次平移后得到图2 ，那么点A，B，C，D对应点分别是＿＿＿。

§3.2中心对称与中心对称图形 知识点：

1、中心对称与中心对称图形联系和区别：

中心对称是指两个图形之间的关系：一个图形绕着一点旋转180°，与另一个图形完全重合，那么着这两个图形叫做中心对称；

中心对称图形是一个图形而言，一个图形绕着一点旋转180°，它与自身重合，那么这个图形叫中心对称图形。

2、中心对称与旋转区别：中心对称图形一定是旋转角度为180°的旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形。 3、任何一条经过对称中心的直线都将一个中心对称图形分成两个形状大小完全一样的图形。

4、中心对称图形与轴对称图形的区别：

轴对称图形是指一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能互相重合的图

形；

中心对称图形是指如果把一一个图形绕着一点旋转180°，它与自身重合；

5、常见的中心对称图形：线段、平行四边形、长方形、菱形、正方形、偶数条边的

正多边形、圆；

常见的轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、菱形、正方

形、等腰梯形、正多边形、圆；

即是轴对称图形又是中心对称图形的是线段、长方形、菱形、正方形、偶数条边

的正多边形。

考点：考查利用中心对称定义、性质来作图，找对称点、对称中心；利用中心对称图形定义

判别一个图形是否是中心对称图形；利用中心对称、中心对称图形定义、性质解决实际问题。 典型例题：

1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、按下列要求画图

(1)画出△ABC绕点B顺时针旋转120后的图形； (2)画出△ABC关于BC的中点O成中心对称的图形；

3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的

长．

§3.3设计中心对称图形 要点（考点）：能够利用相关知识设计轴对称或中心对称的图形。 典型例题：

1、下列各组图形中,由左边变成右边的图形,分别进行了平移、旋转、轴对称、中心对称等变换,其中进行了中心对称变换的是( )组，进行轴对称变换的是 ( )组

A．

．

．

．

2、按要求画一个图形，所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

§3.4平行四边形 知识点：

1、平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：□ABCD，读作平行四边形ABCD.

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 2、平行四边形的性质：

①是中心对称图形 ②对边平行且相等； ③对角相等，邻角互补； ④对角线互相平分。 3、平行四边形的判定：

①2组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②2组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③2组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

考点：考查平行四边形的定义、性质、判定，利用他们解决数学问题（如证明平行四边形、三角形全等、线段相等，有关线段、角度、周长、面积的计算等） 典型例题：

1、如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，四边形AECF是平行四边形吗？为什么？

2、如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，点G、H分别在AB、CD上，且AG=CH，AC与GH相交于点O， 试说明：（1）EG∥FH，（2）GH、EF互相平分。

C

3、如图，在平行四边形ABCD中，点E在AC上，AE=2EC，点F在AB上，BF=2AF，如果△BEF的面积为2cm2，求平行四边形ABCD的面积。

§3.5矩形、菱形、正方形 知识点：

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。 2、矩形的性质：

①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；

②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，对称中心是对角线的交点。 ③矩形的对角线相等；

④矩形的四个角都是直角。 3、矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有3个角是直角的四边形是矩形。 4、菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

5、菱形的性质：

①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；

②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，对称中心是对角线的交点。

③菱形的四条边相等；

④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 6、菱形的判定：

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

D

C

②四边都相等的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 7、菱形的面积：

S菱形=

1

AC·BD 2

D

8、正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

9、正方形的性质：

①正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。

②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点。 10、正方形的判定：

①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②有一组邻边相等矩形形是正方形； ③有一个角是直角的菱形是正方形。

11、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：

考点：考查矩形的对称性的实际应用以及对角线相等；菱形的判定；正方形的性质、三角形全等的判定、旋转的定义；正方形具有旋转对称的性质。围绕特殊四边形的定义、性质、判定来解决简单实际问题，是中考的重要内容。 典型例题：

1、如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，对角线AC、BD交于O，若∠OAE＝15°。（1）试说明：OB＝BE；（2）求∠BOE的度数.

D

C E

2、如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点 C＇处，BC＇交AD于E，AD=8，

′

AB=4，求△BED的面积。

A D

C 3、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AE是角平分线，交CD于点F， EG⊥AB，G为垂足。试说明四边形

CEGF是菱形。

§3.6三角形、梯形的中位线 知识点梳理：

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。 推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。 2、三角形中位线：

（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3、梯形中位线：

（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

考点：主要考查三角形中位线定理，利用它来解决中点四边形以及实际应用问题和梯形中位线定理。 典型例题：

1、（徐州市）顺次连结等腰梯形各边中点，所得的四边形一定是：（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形

2、如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点。

求证：

OE=BE。

3、已知：梯形ABCD中，AB//CD，BC=AD，AC⊥BD，CE⊥AB于E，CE=m，FG是梯形中位线，求：FG的长。

4、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F分别为AB、DC中点，点O为AC、BD的交点。求证：OM=ON。

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