2022年高三数学中学生标准学术能力诊断性测试(1月)试

2020年高三数学中学生标准学术能力诊断性测试（1月）试题理

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A＝{x|－1

A.Φ

B.{0，1}

C.{0，1，2}

D.{－2，0，1，2}

2.若(2＋i)z＝5，则z的虚部为

A.－1

B.1

C.－i

D.i

3.

已知双曲线

22

2

1(0)

2

x y

b

b

-=>的两条渐近线互相垂直，则b＝

A.1

B.2

C.3

D.2

4.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.

3

π

B.

2

π

C.π

D.2π

5.函数f(x)＝(x2－2x)e x的图象可能是

6.已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是

A.

3

,

3

??

-∞

?

?

??

B.

4

,

7

??

-∞

?

??

C.

3

,

3

??

+∞

?

?

??

D.

4

,

7

??

+∞

?

??

7.已知a，b为实数，则0

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

- 1 -

- 2 - 8.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示。则

A.,E E D D ξηξη<<

B.,E E D D ξηξη<>

C.,E E D D ξηξη<=

D.,E E D D ξηξη==

9.在△ABC 中，若2AB BC BC CA CA AB ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB BC =u

u u r u u u r A.1 B.22 C.3 D.6 10.在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝4，E 是边BC 上的点，EC ＝1，EF//CD ，将平面EFDC 绕EF 旋转90°后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是

A.圆

B.双曲线

C.椭圆

D.抛物线

11.已知函数f(x)＝(lnx －1)(x －2)i

－m(i ＝1，2)，e 是自然对数的底数，存在m ∈R

A.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有3个

B.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有4个

C.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有3个

D.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有4个

12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n (2S n －a n )＝1，则下列结论中

①数列{S n 2}是等差数列； ②2n a n <； ③a n a n ＋1<1 A.仅有①②正确 B.仅有①③正确 C.仅有②③正确 D.①②③均正确

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和。这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”。1966年，我国数学家陈景

- 3 - 润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果，若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是 。 14.已知△ABC

的面积等于1，若BC ＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA ＝ 。

15.已知F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点，P 是C 上的任意一点，则|FP|称为椭圆C 的焦半径。设C 的左顶点与上顶点分别为A 、B ，若存在以A 为圆心，|FP|为半径长的圆经过点B ，则椭圆C 的离心率的最小值为 。

16.设函数f(x)＝|x 3－6x 2＋ax ＋b|，若对任意的实数a 和b ，总存在x 0∈[0，3]，使得f(x 0)≥m ，则实数m 的最大值为 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：60分。

17.(12分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1，3)。

(1)求cos()2π

α+的值；

(2)求函数f(x)＝sin 2(x ＋α)－cos 2(x －α)(x ∈R)的最小正周期与单调递增区间。

18.(12分)如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABEF 和四边形CDFE 是两个全等的菱形，AB ＝2，∠BAF ＝∠ECD ＝60°。

(1)求证：BD ⊥DC ；

(2)如果二面角B －EF －D 的平面角为60°，求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值。

19.(12分)已知等比数列{a n }的公比q>1，且a 1＋a 3＋a 5＝42，a 3＋9是a 1，a 5的等差中项。数

列{b n }的通项公式*111

n

n n n b n N a a +=∈-+-。 (1)求数列{a n }的通项公式；

- 4 - (2)证明：1*122

1,n n b b b n N +++???+<

-∈。 20.(12分)已知抛物线C ：x 2＝2py(p>0)，焦点为F ，准线与y 轴交于点E 。若点P 在C 上，横

坐标为2，且满足：2PE PF =。

(1)求抛物线C 的方程；

(2)若直线PE 交x 轴于点Q ，过点Q 做直线l ，与抛物线C 有两个交点M ，N(其中，点M 在第

一象限)。若QM MN λ=u u u u r u u u u r ，当λ∈(1，2)时，求OMP ONP

S S ??的取值范围。 21.(12分)已知函数f(x)＝(x ＋1)(e x －1)。

(1)求f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程；

(2)若方程f(x)＝b 有两个实数根x 1，x 2，且x 1

b e eb x e x e ++≤++---。 (二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。

22.[选修4—4：极坐标与参数方程](10分)

(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴x 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程sin θ＋ρ2

cos θ＝2化成直角坐标方程。 (2)在直角坐标系xOy 中，直线l ：32cos 431sin 4

x t y t ππ?=-+????=-+??(t 为参数)，曲线C ：2cos sin x y θαθ=??=?(θ

为参数)，其中a>0。若曲线C 上所有点均在直线l 的右上方，求a 的取值范围。

23.[选修4—5：不等式选讲](10分)

已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1。

(1)求证：

2221

2323235

x y z

y z z x x y

+++≥

+++

；(2)求2

161616

x y z

++的最小值。

- 5 -

- 6 -

- 7 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lwtl.html