第15讲 解析几何中的对称问题I学案

第十五讲.解析几何中的对称问题I

【教学目标】

1.掌握两点的中点坐标公式；

2.掌握一个点关于已知点的对称点坐标公式； 3.会求解点对称的相关问题

【知识、方法梳理】

1.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点坐标是(x1?x2y1?y2,) 222.P(x,y)关于M(a,b)的对称点坐标是(2a?x,2b?y)

【典例精讲】

例1.已知点A(1,2),B(3,4),点M,N满足：M为AB中点，B为AN中点， （1）求M的坐标。 （2）求N的坐标。

例2.已知l1:x?y?3?0,l2:x?y?3?0，点P为直线l1上的动点，定点A(?1,4)，当AP的中点M落在l2上的时候，求P的坐标

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,?1)，当线段NP?例3.已知P为直线l:2x?y?3?0上的动点，P关于M(3,2)的对称点为P?，记N(2的长度为5的时候，求P的坐标

例4.直线l被两条直线l1:4x?y?3?0和l2:3x?5y?5?0截得的线段中点为P(?1,2)，求直线l的方程

例5.求直线l:x?2y?3?0关于P(?3,1)的对称直线l?的方程

例6.已知直线l1:x?2y?1?0,l2:x?2y?2?0，直线l3到l2的距离与l1到l2的距离相等，求直线l3的方程。

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例7.点M是曲线(x?1)2?(y?2)2?1上的动点，O为坐标原点，又点M是线段OP中点，求动点P轨迹方程。

例8.点M是曲线(x?1)2?(y?2)2?1上的动点，O为坐标原点，又点P是线段OM中点，求动点P轨迹方程。

例9.求圆A:(x?1)?(y?2)?1关于点M(3,4)的对称圆方程

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【双基训练】

1.已知点P为直线l:3x?4y?1?0上的动点，定点A(3,5)，AP的中点纵坐标为2，求点P的坐标

2.已知P为直线l:x?y?1?0上的动点，P关于M(1,2)的对称点为P?，记N(1,6)，当线段NP??l的时候，求P的坐标

3.过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x?y?2?0和l2：x?y?3?0之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程。

4.求直线l:3x?4y?2?0关于P(?1,1)的对称直线l?的方程

5.已知直线l1:x?y?3?0,l2:x?y?5?0，直线l3与l1和l2的距离相等，求直线l3的方程。

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x2y2??1上的动点，O为坐标原点，又点M是线段OP中点，求动点P轨迹方程。 6.点M是椭圆84

x2y2??1上的动点，O为坐标原点，又点P是线段OM中点，求动点P轨迹方程。 7.点M是椭圆84

【纵向应用】

8.设P是曲线(x?1)2?y2?4上任意一点，过P作PQ?x轴，Q为垂足，求线段PQ的中点M的轨迹方程。

9.一根长度为2a的木棒，两端点A,B满足：A在x轴上，B在y轴上，木棒随意滑动，求木棒中点M的轨迹方程。

【横向拓展】

10.求y?x关于(1,2)对称的函数解析式

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【练习题答案】

1.(1,?1) 2.(2,?1)

2t?2)又P(3,0)为AB的中点 3.设所求直线分别与l1、l2交于A、B 因为A在l1直线上 故可设A(t，2?2t)由B在l2上，得(6?t)?(2?2t)?3?0解得t?由中点坐标公式，得B(6?t，由两点式得所求直线方程为8x?y?24?0 4.3x?4y?4?0 5.x?y?4?0

111611

，即A(，)

333

x2y2??1 6.

3216x2?y2?1 7.28.设点M(x,y)，则M(x,2y)，依题意，点M在曲线上，代入，得：(x?1)2?(2y)2?4，所以

(x?1)2?4y2?4

9.x?y?a

222)对称点(2?x,4?y)应在y?x3上10.设所求函数上任一点(x,y)，则(x,y)关于(1,2的

?4?y?(2?x)3，即y?4?(2?x)3

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