大一高数期末考试题(精doc

1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有(　).

（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.

1?x2. 设?(x)?1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（　　）.

（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）?(x)与?(x)是等价无穷小；

（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.

x3. 若F(x)??0(2t?x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且f?(x)?0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。14.

设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2（A）2 （B）2?2（C）x?1 （D）x?2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 25.

limsinxx?0(1?3x)? .

6.

已知cosxx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?cosx . xdx???7.

nlim??n(cos2?n?cos22n???cos2n?1n?)? .

1?2x2arcsinx?18. －11?x2dx?2 .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数y?y(x)由方程

ex?y?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0). 1?x10. ?7求x(1?x7)dx.

设f(x)????xe?x，　　x?0　求11. ??2x?x2，0?x?1? 1?3f(x)dx．

)

12. 设函数f(x)连续，

g(x)??f(xt)dt01，且x?0limf(x)?Ax，A为常数. 求

g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.

1y(1)???xy?2y?xlnx9的解. 13. 求微分方程满足

q

?f(x)dx?q?f(x)dx001.

?f(x)dx?0?f(x)cosxdx?0?14. 设函数f(x)在?0,??上连续，且，.

00?证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提

示：设

F(x)??f(x)dx0x）

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

e35.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

x?y??e(1?y??)coxys(xy)(y? )

ex?y?ycos(xy)y?(x)??x?ye?xcos(xy)

x?0,y?0，y?(0)??1 77x6dx?du 10. 解：u?x　　6?1cosx2　()?c . 6.2x.7. 2. 8.

?.

原式?1(1?u)112du?(?)du??7u(1?u)7uu?1

1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12?ln|x7|?ln|1?x7|?C77 ?x2f(x)dx?xedx?2x?xdx??3??3?00110111. 解：

???3xd(?e?x)??01?(x?1)2dx002

?x?x2??(令x?1?sin?)??xe?e???3????cos?d?　

12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。

1xt?u??4?2e3?1

g(x)??f(xt)dt?0x?f(u)du0xx (x?0)

g?(x)?xf(x)??f(u)duxx02 (x?0)

g?(0)?lim0x?0?f(u)dux2?limx?0xf(x)A? 2x2

?A?AA?22，g?(x)在x?0处连续。

limg?(x)?limx?0x?0xf(x)??f(u)dux02dy2?y?lnx13. 解：dxx

?xdx(e?xdxlnxdx?C)y?e?

11?xlnx?x?Cx?29 3

111y(1)??C,?0y?xlnx?x939 ，

?22四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且

y??2?0ydx?yx，

将此方程关于x求导得y???2y?y?

2特征方程：r?r?2?0

解出特征根：r1??1,r2?2.

其通解为

y?C1e?x?C2e2x

21C1?,C2?33 代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得

21y?e?x?e2x33 故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

15. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：

y?lnx0?1(x?x0)x0

1y?xx?ee 由于切线过原点，解出0，从而切线方程为：

1A??(ey?ey)dy?e?120则平面图形面积

11V1??e23（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积

为V2

V2???(e?ey)2dy01

6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qqV?V1?V2??(5e2?12e?3)1q

16. 证明：0q?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)0001q

?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0

f(?1)?f(?2)?1?[0,q]?2?[q,1]?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1?故有：

q0

?f(x)dx?q?f(x)dx00 证毕。

x17.

证：构造辅助函数：

?F(x)??f(t)dt,0?x??0。其满足在[0,?]上连续，在(0,?)?0上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0 由题设，有

?0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx000??，

F(x)sinxdx?0?有，由积分中值定理，存在??(0,?)，使F(?)sin??0即

0F(?)?0

综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗

尔定理，知存在

?1?(0,?)和?2?(?,?)，使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.

高等数学I 解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. 当x?x0时，

??x?,??x?都是无穷小，则当x?x0时（ D ）不一定是

22(B) ??x????x?

无穷小. (A) (C)

??x????x?

ln?1??(x)??(x)?

1x?a?2(x)(D) ?(x)

?sinx?lim??x?asina??2. 极限

（A） 1

的值是（ C ）. （B） e

（C）

ecota （D） etana

?sinx?e2ax?1x?0?f(x)??x?x?0在x?0处连续，则a =（ D ）. ?a3.

（A） 1

（B） 0

（C） e

（D） ?1

f(a?h)?f(a?2h)?h?0f(x)x?ah4. 设在点处可导，那么（ A ）.

（A） 3f?(a) （B） 2f?(a)

lim(C) f?(a)

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1f?(a)（D） 3

ln(x?a)?lna1(a?0)x5. 极限x?0的值是 a.

xye?ylnx?cos2x确定函数y(x)，则导函数y?? 6. 由

y2sin2x??yexyx . ?xyxe?lnx,,3)且与两平面x?2y?z?0,2x?3y?5z?6都平行，则直7. 直线l过点M(12x?1y?2z?3???1?1 . 线l的方程为 1lim2y?2x?ln(4x)8. 求函数的单调递增区间为 （－?，0）和（1，+? ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

(1?x)?ex9. 计算极限x?0.

lim1x

(1?x)?ee?1ln(1?x)?xe?elim?elim??x?0x?0xxx22 解：x?0??????|a|?3|b|?26|a10. 已知：，，a?b?30，求?b|。 ??a?b512cos?????,sin??1?cos2????13ab13a?b?72lim解：

，

1x1ln(1?x)?1x

11. 设

f(x)在[a，b]上连续，且

xxaaF(x)??(x?t)f(t)dtx?[a,b]ax，试求出F??(x)。

解：

F(x)?x?f(t)dt??tf(t)dtx

xF?(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dtaaF??(x)?f(x)

cosxxdx.3?sinx12. 求 cosx1?2xdx??xdsinx3??2解：sinx 1111??xsin?2x??sin?2xdx??xsin?2x?cotx?C2222

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

13. 求

?x2312322dxx2?1.

1令　?tx

原式??1t1(?1)dt2t1?1t2

21?t 6 2xy?1?x2 的极值与拐点. 14. 求函数

2??132dt?arcsint3212??解：函数的定义域（－?，+?）

?4x(3?x2)2(1?x)(1?x)y???y??2322(1?x)(1?x)

令y??0得 x 1 = 1, x 2 = -1

y??(1)?0 x 1 = 1是极大值点，y??(?1)?0x 2 = -1是极小值点 极大值y(1)?1，极小值y(?1)??1

令y???0得 x 3 = 0, x 4 = x (-?,-3, x 5 = -3 3,0) + (0, 3) (-3) (3,+?) + y?? － － 33故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2）

x3y?24与y?3x?x所围成的平面图形的面积. 15. 求由曲线

x3解:?3x?x2,　x3?12x?4x2?0,4

x(x?6)(x?2)?0,　　x1??6,　x2?0,　　x3?2.

0x32x322S??(?3x?x)dx??(3x?x?)dx?6404 4334x3x03xx2?(?x2?)?6?(x2??)016232316

11?45?2?4733

216. 设抛物线y?4?x上有两点A(?1,3)，B(3,?5)，在弧A B上，求一点P(x,y)使?ABP的面积最大.

解：

AB连线方程：y?2x?1?0　　AB?452x?y?1?x2?2x?3点P到AB的距离?　(?1?x?3)55?ABP的面积

1?x2?2x?3　　　S(x)??45??2(?x2?2x?3)25

　S?(x)??4x?4　当x?1　　S?(x)?0 　　　S??(x)??4?0当x?1时S(x)取得极大值也是最大值 此时y?3　　所求点为(1，3)

另解：由于?ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线2的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4?x0),使f?(x0)??2x0??5?33?1??2,　解得x0?1,所求C点为(13,)

六、证明题（本大题4分）

17. 设x?0，试证e

证明：设

2x(1?x)?1?x.

f(x)?e2x(1?x)?(1?x),x?0

f?(x)?e2x(1?2x)?1，f??(x)??4xe2x，

f??(x)?0，因此f?(x)在（0，+?）内递减。

在（0，+?）内，f?(x)?f?(0)?0,f(x)在（0，+?）内递减， x?0,在（0，+?）内，亦即当 x>0时，e2xf(x)?f(0),即e2x(1?x)?(1?x)?0

(1?x)?1?x 。

高等数学I A

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数

?ln(x?1)?x?1,x?1???f(x)??tanx,0?x?1?2?x?sinx,x?0?? 的全体连续点的集合是 （ ）

(A) (-?,+?) (B) (-?,1) ?(1,+ ?)

(C) (-?,0)

? (0,

+?)

(D) (-?,0)

? (0,1) ? (1,+ ?)

19.

x2?1lim(?ax?b)?0x??x?1设，则常数a,b的值所组成的数组（a,b）为（ ）

（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1） 20.

f(x)二阶可导且f??(x)?0，则（ ）

（A）f?(0)?f?(1)?f(1)?f(0) (B) f?(0)?f(1)?f(0)?f?(1) (C) f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) （D）f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)

设在[0，1]上

?2??22sinxcos4x34M??dx,N??(sinx?cosx)dxP??(x2sin3x?cos4x)dx21?x???2221.

则（ ）

（A） M < N < P （B） P < N < M （C） P < M < N （D） N < M < P

二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

???221. 设x?1d(xarctanx?1)?（ ）

f(x)dx?sinx?c,?f2. 设?则

(n)(x)dx?（ ）

x?4yz?5??3. 直线方程2?mn6?p，与xoy平面，yoz平面都平行，

那么m,n,p的值各为（ ）

ie2x???ni?14. lim?n?i????n?2?（ ）

三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

1??1lim?2?2?1. 计算 x?0?sinxx?

1?2?xcos,x?0f(x)??x?x?0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f?(x) ?x2. 设

3. 设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数f?(x)的图形如图

所示，给出

f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐点。

y x a O b c d 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 1. 求不定积分

e?(x?22dx)x?1x

?lnxdx2. 计算定积分

1e

3. 已知直线

l2的平面方程。

l1:xyz?1??123l2:x?1y?2z?3??254,求

l1且平行于直线

81?y?ax54. 过原点的抛物线及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为，确定

2抛物线方程中的a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

21. 设F(x)?(x?1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)?0，试证明存在

?（1???2）使得F??(?)?0。

2.

f(x)??(t?t2)sin2ntdt(x?0)0x（1） 求

f(x)的最大值点；

f(x)?（2） 证明：

1(2n?2)(2n?3)

一、单项选择题 B D B C.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 6. 7. 8.

x1(?4arctanx?1)dxdy?2x?1.

n?n?(n)cos(x?)dx?sin(x?)?c?f(x)dx??22. m?2,p??6,n?0. 1(e?1)2.

lim(x?0三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

9. (8分)计算极限

11?)sin2xx2.

11x2?sin2xlim(2?2)?lim22x?0xsinx 解：x?0sinxxx?sinxx?sinx?limx?0x3x

1?cosx1?2lim?x?03x23

1?2xcos,x?0?f(x)??x?x?0，试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出?x10. (8分)设

f?(x).

11x?0,f?(x)?2xcos?sinxx；当x?0,f?(x)?1 解： 当1?0?x?0?xx?0f?'(0)?lim?0f?'(0)?lim?1?x?0??x?0??x?x

11?2xcos?sinx?0?f??x???xx?x?0 ?1故f (x)在x=0处不可导。

11. (8分)设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数

f?(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐

?x2cos点.

y x a O

解：极大值点：x?ax?d 极小值点：x?b

b c d 拐点(0,f(0)),(c,f(c))

四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

(x?2)2dx2?x(x?1)12. (9分)求不定积分 .

41?3(??)dx2?x(x?1)x?1解：原式=

14lnx??3lnx?1?cx?1 =

?13. (9分)计算定积分

11ee1elnxdx.

e1??lnx?dx??lnxdx?解：原式=

?????xlnx?x???1??xlnx?x?1e1e?2?xyz?1x?1y?2z?3l1:??l2:??123，254,求过直线l1且平行于14. (9分)已知直线

2e

???n解：?s1?s2?(1,2,3)?(2,5,4)?(?7,2,1)

取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面方程为

直线l2的平面方程.

?7x?2y?(z?1)? 02)及y=0, x=1所围成的平面图形绕x15. (9分)过原点的抛物线y?ax (a?0

81?5轴一周的体积为. 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.

52222x?aV???(ax)dx??a?505 0解：

?a281??2y?9x55由已知得 故 a = 9 抛物线为：

11x492V??2?x?9xdx?18???402 0绕y轴一周所成的旋转体体积：

五 综合题（每小题4分，共8分）

16. (4分)设F(x)?(x?1)11f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)?0.

证明：存在?（1???2）使得F??(?)?0。

证明：由f(x)在[1，2]上二阶可导，故F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F

?2)使F?(x0)?0 得F?(1)?0

(1???x0?2)F??(?)?0

2(2) = 0

在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点x0,(1?x0

F?(x)?2(x?1)f(x)?(x?1)2f?(x)17. (4分).

在[1，x0]上对F?(x)用罗尔定理，至少有点?解：（1）x?1为f(x)的最大值点。

f?(x)?(x?x2)sin2nx，当0?x?1，f?(x)?(x?x2)sin2nx?0；当x?1，f?(x)?(x?x2)sin2nx?0。f(1)为极大值，也为最大值。

（2）

f(x)??(t?t2)sin2ntdt?f(1)0122n100x

f(1)??(t?t)sintdt??(t?t2)t2ndt?1(2n?2)(2n?3)

高等数学上B（07）解答

一、 填空题：（共24分，每小题4分）

dy?221．y?sin[sin(x)]，则dx2xcos[sin(x)]cosx。

??adx?????1?x22． 已知，a=__1______。

e21lnxdx?2??e。 3． e2xy?e4． 过原点的切线方程为y?ex。

f'(lnx)dxx?f(x)?ex5．已知，则=x?c。

39?6．a?2，b?2

32y?ax?bx(1,3)时，点是曲线的拐点。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分） 1．求y?(sinx)cosx的导数。

cosxlnsinxcosxlnsinx??y?(e)?e(?sinxlnsinx?cotxcosx) 解：

2．求?解：?sinlnxdx。

sinlnxdx?xsinlnx??coslnxdx

?xsinlnx?xcoslnx??sinlnxdx1?(xsinlnx?xcoslnx)?C2 x?5dx?2x?1。 3．求

?解：

x?51d(x2?1)5dx?dx?dx??2222x?1x?1x?1

22?x?1?5ln|x?x?1|?C

x?x?0?e,f(x)??kx?0在点x?0处可导，则k为何值？ ??x?1,4．设

xkf??(0)?lim?limxk?1x?0?xx?0?解： ex?1f??(0)?lim?1x?0?x k?1

111lim(22?22???22)n??n?1n?2n?n。 5．求极限

解：

111????)222222n??n?1n?2n?nn1?lim?22n??k?1n?k n11?lim?n??k?1k2n1?2n

11??dx201?x =

lim(21?ln(x?1?x)|0?ln(1?2)

?x?2y?z?1?0?2x?y?z?0??x?y?z?1?0(2,2,0)6．求过点且与两直线?和?x?y?z?0平行的平面

方程。

解

：两直线的方向向量分别为

s1?(1,2,?1)?(1,?1,1)?(1,?2,?3),s2?(2,?1,1)?(1,?1,1)?(0,?1,?1)，平面的法向量n?(1,?2,?3)?(0,?1,?1)?(?1,1,?1)。

平面方程为x?y?z?0。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

?x?Rcostd2y?21．设?y?Rsint，求dx。

dy??cottdx解： d2y11??(?cott)??t2?RsintRsin3t dxxF(x)??t(t?1)dt[?1,2]2．求

0在上的最大值和最小值。

解：F?(x)?x(x?1)?0,x?0,x?1

1F(0)?0,F(1)??t(t?1)dt??,06?1252F(?1)??t(t?1)dt??,F(2)??t(t?1)dt?0063

25? 最大值为3，最小值为6。

223．设y?y(x)由方程x(1?y)?ln(x?2y)?0确定，求y'(0)。

122解：方程x(1?y)?ln(x?2y)?0两边同时对x求导

(1?y2)?2xyy??将

x?0,y?12代入上式

2x?2y??02x?2y

58

224．求由y?x与y?x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。

y'(0?)解：

V???(y?y4)dy01

四、证明题：(共12分，每小题6分)

1．证明过双曲线xy?1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

证明：双曲线xy?1上任何一点(x,y)的切线方程为

?3?10

Y?y??1(0,y?),(2x,0)x 切线与x轴、y轴的交点为

1s?x(y?)?2x故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为

2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点?使得

1(X?x)x2

bf(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?axab?

证明：令

F(x)??g(x)dx?f(x)dxx

F(a)?F(b)?0，由Rolle定理，存在一点??[a,b]，使F?(?)?0，即

f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?ab?

高等数学上解答（07）

一、单项选择题（每小题4分，共16分）

?|sinx|f(x)?xcosxe(???x???)是 A 。 1．

（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数

2f(x)?(1?cosx)ln(1?2x)与 B 是同阶无穷小量。 x?02．当时，

3452（A）x； （B）x； （C）x； （D）x

?x?2y?z?0?3．直线?x?y?2z?0与平面x?y?z?1的位置关系是 C 。

（A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。

??????????a?b?0, a?c?0a,b,c4．设有三非零向量。若，则b?c? A 。

（A）0； （B）-1； （C）1； （D）3

二、 填空题（每小题4分，共16分）

1．曲线y?lnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e,1)。

tanx?x1?x?0x2(ex?1)3。 2．

y23．方程e?6xy?x?1?0确定隐函数y?y(x)，则y?(0)? 0 。

lim24．曲线y?x 、x?1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

?5。

三、解下列各题（每小题6分，共30分）

t?sin2xtf(x)?lim()t???t1．已知，求f?(x)。 t?sin2xt?sin2xf(x)?lim()?et???t解：

f?(x)??e?sinxsin2x

1[ln(lnx)?]dx?lnx。 2．求不定积分11[ln(lnx)?]dx?ln(lnx)dx?dx???lnxlnx 解:

11?xln(lnx)??dx??dxlnxlnx

2

设f(x)在?a，b?连续，F(x)??f(x)dt　(a?x?b)，则F(x)是f(x)的ax4、

　(A)．原函数一般表示式　　　　　　　　 (B)．一个原函数　(C)．在?a，b?上的积分与一个常数之差 　(D)．在?a，b?上的定积分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

x0若已知x?0时，F(x)??(x2?t2)f??(t)dt的导数与x2是等价无穷小，则f??(0)?1(A)1　　　 (B)　2(C)　?1　 (D)　?12　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、y?xe2、3

1x2

的铅直渐近线是_________________

__________.

、

2tan?xdx?设f(x)为以T为周期的连续周期函数，则f(x)在?a，a?T?(a?0)上的定积分与f(x)在?0，T?上的定积分的大小关系是______________

xy?2z?7??135与平面3x?y?9z?17?0的交点为4、直线

??????????????????? 。

三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分) 2、(本小题6分)

写出f(x)?ln(1?x)?x?1?带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.

x2y2??z216指出锥面4被平行于zox平面的平面所截得的曲线的名称。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分) 2、(本小题2分)

40求　?xdx.

计算?(x?x)dx．3、(本小题5分)

求?求?44、(本小题5分)

1lnxdx.x1?lnx dx．x(1?x)

5、(本小题11分)

设　y(x)?(2?x)tanx2?五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

?01，(?x?1)求dy．2

试证：F(t)??ln(t2?2tcosx?1)dx为偶函数．2、(本小题7分)

试证：对角线向量是A?3,?4,?1六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分) 2、(本小题6分)

??,B??2,3,?6?的平行四边形是菱形，并计算其边长。

在抛物线y?x2找出到直线3xk?4y?2的距离为最短的点

设曲线的方程为y?f(x).已知在曲线的任意点(x,y)处满足y???6x,且在曲线上的(0,?2)点处的曲线的切线的方程为2x?3y?6,求此曲3、(本小题8分)

线的方程.

经济学上,均衡价格p0定义为供给曲线与需求曲线相交时的价格,消费者剩余定义为需求曲线与直线p?p0间的面积(右图区域?),生产者剩余定义为供曲线与直线p?p0间的面积(右图区域?).已知需求曲线方程p(x)?1000?0.4x2,供给曲线方程为p(x)?42x.求均衡点及消费者剩余和生产者剩余.

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

2、(本小题5分)

x?x0设f(x)在x?x0处连续，g(x)在x0处不连续，试判定F(x)?f(x)?g(x)在x0处的连续性．

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

若limf(x)??，limg(x)?A，试判定limf(x)?g(x)是否为无穷大？x?x0x?x01、D

2、答　(B) 3、B 4、B

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、x?0

2、?tanx?x?c. 3、= 4、(2,4,3) 三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)

?x2(x)??xx3xnf2?3???n?Rn(x) R(x)??11nn?1?(1??)n?1xn?1,?介于0与x之间2、(本小题6分)

??x222y?04?z??用y?y0所截得的曲线为?y16?y?0 故y0?0时为一对相交直线

y0?0时为双曲线 四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

?xdx?233x2?c.

2、(本小题2分)

原式?(x2?23x2)4230 40

?3 3、(本小题5分)

?lnxx1?lnxdx ??lnx1?lnxd(lnx) ??1?lnxd(1?lnx)??d(1?lnx)1?lnx

?23(1?lnx)32?21?lnx?c.

4、(本小题5分)

4分分

10分 10分 10分 10分

10分

7分 10分

10分

7分 10分

3分 7分 10分

10令　x?t

原式??22t1t2(1?t)dt

?2?21(1t?1t?1)dt ?2?lnt?ln(t?1)?21

?2ln43

5、(本小题11分)

dy?y?(x)dx

　?(2?x)tan?2x????2sec2?x1?x?2ln(2?x)?2?xtan2??dx

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

F(?t)???0ln(t2?2tcosx?1)dx 令　x???u

F(?t)???0?ln(t2?2tcosu?1)du ?

??0lnt(2?2tcosx?1)dx

?F(t)

2、(本小题7分)

因为A?B?3?2?(?4)?3?(?1)?(?6)?0，故A?B

因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。 （6分）边长=?05.?|A|?2??05.?|B|?2

???11/2?1/2?

?2?32?(?4)2?(?1)2?2?????1?2?22?32?(?6)2?2??

?5 23 （10分）六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)

设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为

d?3x?4x2?29?16?125(4x?3x?2)

4分 6分 8分 10分 2分

10分

2分

6分 8分 10分

4分

d??15(8x?3)唯一驻点　x?38d???85?03 故当x?8时,d最小 即点??3?8，9?64??到直线3x?4y?2?0的距离最短(注如用切线平行于已知直线解也可以)

2、(本小题6分)

?y???y??dx?3x2?c　　　　　　(1) 又由2x?3y?6得y?23x?2?y?2(0,?2)?3　　　代入(1)得y??3x2?2 3

?y??(3x2?23)dx?x3?23x?c

再将(0,?2)代入得c??2,?y?x3?23x?2.

3、(本小题8分)

?p?1000?04.x2??p?42x, 解出x?20. 均衡点p?840.

消费者剩余?200?(1000?0.4x2)?840?dx　　　　?2133.33生产者剩余?200?840?42x?dx

?8400 七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

F(x)?f(x)?g(x)在x0处必不连续 若F(x)在x0处连续，则g(x)?F(x)?f(x)在x0处也连续，矛盾！

2、(本小题5分)

8分 10分3分

5分

10分3分

6分 10分4分

10分

答：不一定．若A?0，lim1x?x(x)?1g(x)?00f?limx?xf(x)?g(x)??

0 但若A?0则等式可能不成立

例如lim1x?1x?1??，xlim?x(x?1)2?0１

但lim1x?1x?1?(x?1)2?0??

b1、极限limx?0(1?xa)x　　(a?0，b?0)的值为

(A)1．　(B)lnb　(C)eba．　(D)beaa　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、

3lim(x?01?cosx)cosx?A．e3　　B．8　　C．1　　D．?　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导记(Ⅰ)f(a)?f(b)(Ⅱ)在(a,b)内f?(x)?0则：(A)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要,但非充分条件(C)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)(Ⅰ)与(Ⅱ)既非充分也非必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　)4、

若?x0，f(x0)?为连续曲线,y?f(x)上的凹弧与凸弧分界点,则((A)　(x0，f(x0))必为曲线的拐点(B)　(x0，f(x0))必定为曲线的驻点(C)　x0为f(x)的极值点(D)　x0必定不是f(x)的极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答(　　)5、

4分 6分

10分)

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

1、2、

23(3?x)dx??1一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动.杆的线密度??,rr为杆上一点到O点的距离,角速度为?,则总动能??1111(A)　?2L2　　(B)　?2L2　　(C)　?2L2　　(D)　?2L22345

答( )

_______________.

设f(x)??t(t?1)dt，则f(x)的单调减少的区间是__________0x3、对于?的值，讨论级数n?1（1）当??????时，级数收敛 （2）当??????时，级数发散 三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分) 2、(本小题4分)

级数

?(nn?1)??

验证f(x)?x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性

?n?n?1?2 n?1是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题5分)

???1?n1010n

??3??x???,??22?时，f?x??x。设f?x?是以2?为周期的函数，当又设S?x?是f?x?的

以2?为周期的Fourier级数之和函数。试写出S?x?在???,??内的表达式。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

2、(本小题2分) 3、(本小题4分)

x3?12x?16求极限　lim3x?22x?9x2?12x?4

求?(ex?1)3exdx.求?2 14、(本小题7分)

5、(本小题8分)

x2?1dx．x

求?x dx.试将函数

y?1x2在点x0?0处展开成泰勒级数。

五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

如果幂级数n?0在x??2处条件收敛，那么该 级数的收敛半径是多少? 试证之. 六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

?axn?n如图要围成三间长都为 y , 宽都为 x 的长方形屋围 , 其墙的总长度为a,问x,y各等于多少时 , 所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)

2、(本小题9分) 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

求由曲线y?e2x,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.

八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

?chx，x?0，设　f(x)??,试讨论f(x)的可导性并在可导处求出f?(x)?ln(1?x)，x?0

计算limx?0九、解答下列各题

( 本 大 题12分 )

b??x02x0(at?bt)dtln(1?t)dt，(a?0，b.?0)．

设函数f(x)在?a，b?上有连续导数(a?0)，又设x?rcos?，f(x)?rsin?．试证明：2?f(x)dx??r(?)d??bf(b)?af(a) ,a??2其中??arctan

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

f(a)f(b)，??arctan．ab

C 1、答：2、B

3、答　　(B) 4、(A) 5、

10分 10分 10分

C因dE?1(dm)v22　　?1?1dr?(?r)22r　　?1?22rdr　E??L1?202rdr　?14?2L2二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

?27x?9x31、?95x75x?7?c.

2、

(0，1)　(答?0，1?不扣分) 3、???1时收敛

???1时发散

三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分)

证明 : f(x)?x2在[2 , 3]上连续 , 在(2 , 3)可导 即f(x)在[2 , 3]上满足拉格朗日中值定理的条件 又f'(x)?2x令f'(?)?2??f(4)?f(2)4?2?6

得到(2 , 3)内有解??3

即存在??3 , 使f'(?)?f(4)?f(2)4?2

这就验证了拉格朗日中值定理对函数f(x)?x2在[2 , 3]上的正确性

2、(本小题4分)

un?n?1?n10n10n???1?2 记10n?

10n

un?1?1?n???由于 un10 ……6分

故原级数绝对收敛，从而收敛 ……10分

3、(本小题5分) 对

f?x??x,??2?x?3?2作周期为2?的延拓，f?x?在???,??内

的表达式为

10分10分4分

8分

10分

??x?2?,???x??,?2???f?x????x,??x?0,2?x,0?x??,??? (3分)

f?x?满足Fourier级数收敛的充分条件。 (5分)

故

??x?2?,???x????2,S?x?????,x????2,??x,???x?0,??x,02?x??, 分)

注：只要写出S?x?的表达式即可得10分。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

解:原式?lim3x2?12x?26x2?18x?12

　?lim6xx?212x?18

　?2

2、(本小题2分)

?(ex?1)3exdx

??(ex?1)3d(ex?1)

?14(ex?1)4?c.

3、(本小题4分)

令　x?sect ?原式??3tan20tdt

?3 ??0(se2ct?1)dt

?(tatn?t)?03

?3??

3

4、(本小题7分)

(10

5分 8分 10分5分 10分4分 6分 8分 10分

?x2??c1　　xxdx????2?0,????x22?c2　x?0.

由原函数的连续性,得x2x?o?2?c?x2lim(1)xlim(?o??2?c2)　　?c1?c2　　令c1?c2?c

???xdx??x2??2?c,　x?0,?x?x????x22?c.2?c,　x?0

5、(本小题8分)

因为

1?1??x2????x??111x?x?01?x?x0 x

0 ……3分

1n??而 1?x???1?xnx???1,1?n?0 ……5分

1n?1所以 xx????1??x?x0?nnx??0,2x0?0n?0x0 1n?1n?x?x0?n?12?

????1? xn?0xn?1x??0,2x0?0 ……10

分

五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

由题意,知:

当

x?2时, 级数绝对收敛； ……4分

当x?2时, 级数不可能收敛. ……8分 故收敛半径是2. ……10分 六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

如图　4y?6x?a　　y?a4?32x 总面积为A?3xy?3x(a34?2x)

5分

10分3分

dAdx?3a4?9x　　当x?a12时,dAdx?0　　d2Adx2??9?0

故当x?a12时,A取得唯一极大值也是最大值

此时　　y?a3aa4?2?12?8故当x?aa12，y?8时,所求总面积最大

2、(本小题9分)

解:y??2e2x.　　设切点(tt0,e20),?切线y?2e2t0x,　　???y?e2t0,1??y?2e2tt　　0t0?02 切线y?2ex,　　　切点(12,e)

1?s??2??e2xdx?12?12?e

12x1211 ?2e???4e?4e. 七、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

f(0)?1，f(0?0)?xlim?0?0ln(1?x)?0f(0?0)?xlim?0?0coshx?1 f(x)在x?0处不连续,故不可导 ?sinhx，x?0，f?(x)?????1?1?x，x?0，

八、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

原式?limax?bxx?02ln(1?2x) ax?limlna?bxlnbx?04 1?2x

?14lnab

九、解答下列各题 ( 本 大 题12分 )

6分 8分

10分

3分 6分 8分 10分

3分 5分

10分

5分

10分

因为r2?x2?f2(x)，??arctan?bf(x)xf?(x)?f(x)，d??2dx2xx?f(x)

4分 6分

于是　?r2(?)d????xf?(x)?f(x)?dx?a??xf?(x)dx??f(x)dxaabb

ba?xf(x)ba??f(x)dx??f(x)dxab 8分

?bf(b)?af(a)?2?f(x)dxab

10分

所以　2?f(x)dx??r(?)d??bf(b)?af(a)ab?2?一、 一、 填空

1.

?cosx,x?0??x?2f(x)??(a?0)?a?a?x,x?0?x?1. 设当a= 时，

x=0是f(x)的连续点。

解：

1cosx1a?a?x1lim?lim?2x?0?x?22x?0?x2a故a?1时x?0是连续点，a?1时x?0是间断点。

dy设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x),求dx＝ 。 2．

y?1?y21?y???0y??221?yy解：

f(0)?1?acos2x?bcos4xlimx43． x?0 ＝A，则a= ，b= ， A= 。

解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，

于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限A＝8/3 4．函数y?x2的极小值点为 。

解：y??2?1?xln2?驻点驻点为极小值点。

5．设f (x) = x lnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则 f (x0)= 。

xxx??1x2ln2,y???2(2ln2?x(ln2))在驻点处y’’>0,故

f(x0)?e. 解：f?(x)?lnx?1,由f?(x0)?2知x0?e,于是有6.设limx?0f?x??f?0???1,x2则f(x)在x=0取得 （填极大值或极小值）。

解：

?lim二、

f?x??f?0?f?x??f?0?＝－1,由极限的保号性有?0,有f?x??f?0??022x?0xx即在x?0的某邻域内有f?x??f?0?,由极值定义知x?0是极大值点。　 ?1?x?1?x?0函数f(x)??x?x?0 是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。 ?0,解：当x>0及x<0时，，f(x)为初等函数，连续。

1?x?1x?lim?0x?0?x?0?x?0?x1?x?1limf(x)?0?limf(x)?f(0)?f(x)在???,??连续。limf(x)?limx?0?x?0?当x?0时，f?(x)?1?x?1,当x?0时，f?(x)?03/22x1?x1?x?1?0f(x)?f(0)1xlim?lim?lim??x?0?x?0?x?0?xxx(1?x?1)?1?x?1??f(x)在x?0不可导，　f?(x)??2x3/21?xx?0,?x?0?0三、 1．x?0三、 解下列各题

?1?2x?2x?1limx2limx?01

?1?2x?2x??2ln?1?2x???解：原式＝2．x??解：原式＝

1x?4x??1?2x?2x?1?2?2?4.

limx2(3x?3x?2)1x；

1x?1x11?3?3?2ln33?3ln3lim?lim??limln3(3x?3x)??ln3?2x??x??2112x??xx2

?x?t?2?sint设曲线方程为??y?t?cost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及3．

d2ydx2x?2。

x?2时y?1,t?0y??y???解：

sint?cost?1?1?cost?31?sint11y?t?0?切线方程：y?1??x?2?1?cost22sin0?cos0?11y??x?2???4?1?cos0?3

四、 四、 试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在

x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。 解：

五、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角

形。

解：设所给直角边为x,斜边与其之和为L，则

y??3x2?2ax?b,y??0??0?b?0,y(0)?1,c?1.y???6x?2a,y??(1)?6?2a?0,a??3.y?x3?3x2?1,y??3x2?6x?3x(x?2)y??0时，驻点：　　x1?0,x2?2,y???0??6?0.?极小值y(2)??3。

1x2x?L?x?2?x2?L?2Lx22?LL?3x1?xs???L2?2Lx???22?L?2Lx?2L2?2LxL令s??0?x?这是唯一驻点，且最大值存在，故3??L?L2s???为最大面积，此时x边与斜边夹角为3 ?3?63??六、 六、 证明不等式：???,?e?????.

lnx1?lnx证：令f(x)?则f?(x)??0(x?e)2xxln(?)ln(?)?f(x)在(a,??)上单减，f(?)?f(?),　　即　????ln(?)??ln(?)?ln???ln????????. s??2?limnf??.n???n? 七、 七、 y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限

解：f(0)?sin(0)?0.f?(0)??sinx??x?0?cos0?1,?当x?0时f(x)与x是等价无穷小，2f?2/n??2?　　limnf???lim?2n??n??n2/n??

八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.

八、

证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ; (2)???R ，存在??(0,?)，使得f’(?)-?[f(?)-?]=1 证：（1）令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续，在(0,1)可导， F（1/2）=f(1/2)-1/2>0

F(1)=f(1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点?，使F（? ）=0,即f (?)=?.。 (2) 证：

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