2.1.2求动点的轨迹方程常用方法

2.1.2求曲线的方程 (求动点的轨迹方程)

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

点M

按某中规律运动几何意义

曲线C

坐标(x, y )

x, y的制约条件

“数形结合” 数学思想的 基础

代数意义

方程f ( x, y) 0

数学中，用坐标法研究几何图形的知识形 成的学科叫做解析几何。解析几何主要研究的 问题是： (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质。

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点 M属于集合：.

P M |MA | | MB |

由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：

( x 1)2 ( y 1)2 ( x 3)2 ( y 7)2将上式两边平方，整理得：

x+2y-7=0

求曲线的方程 (轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系 二、设曲线上任一点的坐标，及相关点的坐标 三、找(限)制条件(一般是几何关系) 四、条件中(代)入坐标 五、化简整理到最简 . 证明所得方程(可以省略 )为所求的曲线方程.

以上步骤用一句话概括就是:建设现 ( 限 ) 代化 . ... . . . ..

1.直接法：根据已知等量关系可直接列出方程的 方法；例 1 :已 知 圆 C的 方 程 为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过 原 点 O作 任 一 弦 OA, 求 弦OA的 中 点 M的 轨 迹 方 程 .练习1:已知动点P到直线x=-5和定点A(1,0)等距离， 求动点P的轨迹方程。 练习2已知A(-a,0),B(a,0) (a>0)若动点M与两定点A,B构 成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。

2.代入法(相关点法):先用所求轨迹上的动 点坐标(x,y)表示出已知曲线上的动点的坐标 (x0,y0)再代入已知曲线方程而得到所求的轨 迹方程.例 1 :已 知 圆 C的 方 程 为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过 原 点 O作 任 一 弦 OA, 求 弦OA的 中 点 M的 轨 迹 方 程 .

练习1.已知定点A(0,-1)和曲线y=2x2+1上的动点B, 求线段

AB的中点P的轨迹方程.

3.定义法:先判断并证明轨迹形状,再根据特殊曲 线定义写出方程.例1 :已知圆C的方程为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过原点O作任一弦OA, 求 弦OA的中点M的轨迹方程.

练习 已知A(-a,0),B(a,0) (a>0)若动点M与两定点A,B构 成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。

求动点轨迹方程方法选择小结：1.五步法：是通法，适用性强，但要尽量避免复杂 计算. 2. 直接法：要能迅速找到几何关系.

3.定义法：要准确判断轨迹形状. 4.代入法(相关点法):要有双动点和已知其一动 点轨迹方程.

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