2012年数学建模竞赛A题答案参考 - 图文

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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日期： 年 月 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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A题：葡萄酒的评价

一、摘要

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格） 附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格） 附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格）

本文针对灾情巡视路线问题，通过分块的方法，建立了动态规划模型，成功的解决了分组数，最短时间和最佳巡视路线问题。

对于问题一：我们先通过Prime算法求出了最小生成树，通过初步观察将其分为三块，在每块中寻找最优回路，并计算出每条回路的长度。同时我们建立了巡视路线均衡度评估体系和动态规划模型，通过均衡度的大小来对每个回路及回路之间的顶点进行调整，最终求解出最佳的三条巡视路线，并求出了巡视路线的均衡度a?0.0785。 分组巡视路线如下：

L1:O?1?B?A?34?35?32?31?33?A?R?29?Q?30?Q?28?27?24?23?N?26?P?OL2:O?M?25?21?K?17?16?22?K?18?1?15?14?13?J?19?L?20?25?M?OL3:O?C?3?D?4?8?E?9?F?10?F?12?H?G?11?E?7?6?5?2?O

对于问题二：在考虑了巡视人员在各乡镇及村停留的时间，还有汽车行驶速

min?24m，度的基础上，我们确定了组数和最短巡视路程的约束关系17T?35t?V采用了逐步讨论法，先对m?3的情况进行了检验，得知不满足条件，再对m?4的情况进行了讨论，最终我们确定了最小组数为4，并求出了最佳的四条巡视路线及每条巡视路线所需要的时间，其中巡视时间的均衡度为：b?0.088。

对于问题三：我们通过MATLAB软件编程求出了所有的点到点O的距离，分析得出单独访问点H所需要的时间最长，此时间即是完成此次巡视的最短时间，时间为Tmin=6.43。求出最小生成树后，在分块时，我们采用了模型一即动态规划模型，最终确定了组数m?23，并求出了最佳的23条巡视路线及每条巡视路线的长度及所需要的时间。

对于问题四：我们采用了控制变量法，逐一改变变量T,t,V，其中T,t每次的改变度为1, V每次的改变度为5。通过巡视时间的均衡度的改变量的大小来判断T,t,V对最佳巡视路线选择的影响，若巡视时间的均衡度较大，则说明影响很大，反之，则影响很小。通过观察与计算，我们发现最短巡视时间min与T,t,1/V近似成线性关系。

关键字：均衡度 最小生成树 动态规划模型 Prime算法

一、 问题重述

1.1问题背景

今年夏天某县遭受水灾，为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。题中附录给出了巡视路线图，此图包含了乡（镇）、村公路网及每路段的公里数等信息。

1.2需要解决的问题

根据题目中的相关信息及巡视路线图，我们需要通过采用数学建模的方法来帮助解决以下问题：

问题一：若巡视人员分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

问题二：假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

问题三：在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

问题四：若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。

二、问题分析

2.1 问题一的分析

若巡视人员只有一组，那么巡视路线就是从县政府出发，走遍每个乡（镇），村，又回到县政府所在地的路线。这样我们就可以将巡视路线图抽象为一个赋权无向连通图，然后在图中找到一条至少经过每个顶点一次，总路程最短的回路，即求Hamilton回路。现在巡视人员分为三组，我们可以先用Prime算法求出巡视路线图的最小生成树，然后将最小生成树分解为三部分，在分解的过程中使每个子图的顶点数尽量相等，子图内部尽量形成回路，一个子图内的顶点尽量聚集在一起。分解后对每个子图的路程求解比较，我们建立了均衡度评估体系，若均衡度的值较大，则对子图的顶点进行调整，若某图的路程较长，此将其靠近附近子图的顶点调整到附近子图中，多次比较调整后，可求解出最佳路线，根据最佳路线我们可以求出每条回路的长度，通过均衡度的的大小来判断巡视路线是否均衡，此时均衡度包括巡视路线均衡度。

2.2 问题二的分析

问题二在问题一的基础上，假定了巡视人员在各乡（镇）及各村的停留时间为2小时和1小时，汽车的行驶速度为35公里/小时，而且要求必须在24小时内完成巡视，问题一中我们将路线分为了三组，这样我们可以先计算出当有三组路线时，每组回路所通过的乡镇，以及村的个数，这样就能求出每个回路的总停留时间，再由回路的长度和汽车的速度可以求出行驶时间，它们的和就是每组回路所需要的时间，通过时间是否小于24来判断三组巡视路线是否满足条件，若不满足则加组重复问题一中所述的过程，再进行求解。求出最佳回路后，通过均衡度的大小来判断巡视路线是否均衡，此时均衡度包括巡视时间的均衡度和巡视

路线的均衡度。

2.3 问题三的分析

若巡视人员足够多，那么完成巡视的时间由离县政府最远的乡（镇）或村决定，因为汽车行驶速度为35公里/小时，在乡（镇）及各村的停留时间分别为2小时和1小时，由图中信息可知，任意两个乡（镇）和村的距离不超过35公里，那么最短时间由离县政府最远的乡（镇）决定，我们只需要计算出离县政府最远的乡（镇），再由题目中的相关信息计算出此组巡视路线所需的的时间即是最短时间。确定最短时间后，我们需要寻找最优路径。根据题目信息，一共有17个乡镇，35个村，总的停留时间是一定的，即是17?2?35?1?69个小时，这样我们所要确定的是分成m组后，行驶完巡视路线的最短总路程所需要的时间不能超过m个最短时间减去停留时间的值。求出最小生成树后我们可以对每个结点进行遍历，这样可以求出最小的巡视路程，若分成53组，则从县政府点O出发每组只到一个乡镇或村进行巡视，这样虽然满足条件，但资源浪费较严重，通过一一巡视的方法，可以求出最大的巡视路程。通过最大和最小的巡视路程，可以确定m的最大和最小值。在求解最佳回路时，可以运用问题一中所用的方法。

2.4 问题四的分析

当巡视组数已定，比如确定分为3组，要求尽快完成巡视，即巡视所需的时间最短。当T,t,V改变时，最佳巡视路线将会随着改变。我们可以运用控制变量法对问题进行分析，因为T,t都是停留时间，我们可以将它们归为一类，放在一起讨论，当T,t不变时，V对巡视路线的影响，当V不变时，T,t对巡视路线的影响。

三、模型假设

1）巡视过程中无任何意外出现，如公路完好不会误车； 2）邻县村可以经过但不停留； 3）每条路可以不止一组走过； 4）巡视途中只考虑巡视乡（镇）、村，只与巡视路线、时间有关

四、符号说明

G?V,E?：赋权连通图 Gi：G?V,E?的第i个子图 Vi：G?V,E?的第i个子图的顶点数

Vik：第i个回路中停留的乡镇的个数?k?1?，村的个数?k?2?

Li：子图Gi的最佳回路

dij：相邻顶点i到顶点j的距离即权值 li：Li的权值之和

Ti：巡视第i个回路所需要的时间

T：巡视时在每个乡镇停留的时间 t：巡视时在每个村停留的时间 V：汽车的行驶速度

m：分组的数目即子图的数目 min：巡视路线的最短总路程 a：巡视路程的均衡度 b：巡视时间的均衡度

A,B,......,R：乡镇（其中是点O代表县政府） 1,2,3,......,35：村

五、模型的建立与求解

5.1 模型一的建立与求解 5.1.1 模型一的建立

根据题目信息，我们将巡视路线图抽象为一个赋权无向连通图G?V,E?，现要分三组进行巡视，则需要将G?V,E?分成三个子图Gi?i?1,2,3?，在每个子图Gi中寻找最佳回路Li?i?1,2,3?。因为最小生成树包含了图G?V,E?的所有顶点，且最小树的边权是相邻两顶点之间的距离，故可以利用最小生成树初步分块。 除去县政府点O，其余的点的总数为52,分组时每组需要访问的点的个数为（52/3=17.33）,对于每组所走的路程，我们建立了均衡度评估体系，通过均衡度的大小来指导路线的调整。

最小生成树的分块原则：（1）以点O为中心（2）每个子图Gi所包含的顶点数在17个左右（3）尽量使位置集中的点分在一个子图中 目标函数为：min??li

i?13?3?Vi?53??i?1 约束条件：?

?a?lmax?lmin?0.1?l/3?5.1.2 模型一的求解

根据Prime算法，利用MATLAB软件编程，我们求解出最小生成树，按照

程序运行的结果，画出了最小生成树如图1：

根据最小生成树的分块原则，我们将图G?V,E?初步分块成三个子图

Gi?i?1,2,3?，如图2所示：

这样我们就初步将区域划分为三部分，再通过计算调整，我们最终确定了巡视路线为：

L1:O?1?B?A?34?35?32?31?33?A?R?29?Q?30?Q?28?27?24?23?N?26?P?OL2:O?M?25?21?K?17?16?22?K?18?1?15?14?13?J?19?L?20?25?M?OL3:O?C?3?D?4?8?E?9?F?10?F?12?H?G?11?E?7?6?5?2?O

每条回路的长度分别为：

l1=6.0+5.9+12.2+11.5+8.2+14.1+8.1+7.3+7.4+8.8+7.9+7.2+7.7 +7.7+8.3+7.9+18.8+8.9+7.9+10.5+10.5+10.1=202.9

l2=19.8+12+7.8+4.1+9.8+8.8+8.8+6.7+10.1+9.2+8.2+8.8+7.2 +7.8+8.6+5.2+4.6+8.1+8.3+6.5+12.0+19.8=202.2

l3=11.5+7.9+12.7+8.1+12.3+8.0+7.8+5.6+10.8+10.8+12.2+18 +6.8+14.2+7.2+7.3+9.7+8.3+8.2=187.4 最小巡视路线为：

min?l1?l2?l3=592.5

此时的均衡度只包括巡视路程的均衡度：

l?ll?la?maxmin?13?0.0785

min/3min/3此路程均衡度较小，说明回路L1,L2,L3较符合题目要求。

5.2 模型二的建立与求解 5.2.1 模型二的建立

根据题目中的信息，巡视人员在各乡镇，村停留的时间分别为2小时和1小时，汽车行驶速度为35公里/小时，每组的巡视时间必须低于24个小时。现在我们要求解的是最少的组数m，其中m必须满足的条件为：

min17T?35t??24m

V

5.2.2 模型二的求解

在问题一中我们讨论了分三组巡视的情况即m?3，我们将min?592.5，

min?85.93?24?3?72 T?2,t?1，m?3带入条件式可知17T?35t?V进一步分回路验证：

L1:O?1?B?A?34?35?32?31?33?A?R?29?Q?30?Q?28?27?24?23?N?26?P?OL2:O?M?25?21?K?17?16?22?K?18?1?15?14?13?J?19?L?20?25?M?OL3:O?C?3?D?4?8?E?9?F?10?F?12?H?G?11?E?7?6?5?2?O

（红色标明的字体表示经过却不停留的乡镇或村）

可知：V11=6，V12=13，V21=5，V22=11，V31=6，V32=11，将这些数据代入方程：

Ti?Vi1?T?Vi2?t?li中，可求得每条回路所需要的时间： Vl1?30.7971?24VlT2?T?5?t?11?2?26.7771?24

VlT3?T?6?t?11?3?28.3543?24VT1?T?6?t?13?即三组是不能满足条件的。

现在我们讨论巡视人员分为四组的情况。按照模型一的方法，我们先根据Prime算法，利用MATLAB软件编程，我们求解出最小生成树，按照程序运行的结果，画出了最小生成树如图1：

根据最小生成树的分块原则，我们将图G?V,E?初步分块成四个子图Gi?i?1,2,3,4?，如图3所示：

这样我们就初步将区域划分为四部分，再通过计算调整，我们最终确定了巡视路线为：

L1:O?1?B?A?34?35?32?31?33?A?R?29?Q?30?Q?28?P?OL2:O?M?25?20?25?K?17?16?17?22?23?24?N?26?27?28?P?OL3:O?2?5?6?7?E?9?F?10?F?9?E?8?4?D?3?C?OL4:O?2?5?6?L?19?J?18?I?15?14?H?12?G?13?G?11?E?7?D?3?C?O

（红色标明的字体表示经过却不停留的乡镇或村） 每条回路的长度分别为：

l1=6.0+5.9+12.2+11.5+8.2+14.1+8.1+7.3+7.4+8.8+7.9+7.2+7.7 +7.7+8.3+12.1+10.1=150.5

l2=19.8+12.0+6.5+6.5+7.8+4.1+9.8+6.8+6.7+10+7.9+10.5+7.8 +7.9+12.1+10.1=146.3

l3=8.2+8.3+9.7+7.2+7.8+5.6+10.8+10.8+5.6+7.8+8.0+20.4+12.7+7.9+11.5=142.3

l4=8.2+8.3+9.7+11.8+7.2+8.1+8.2+8.2+8.8+15+9.9+10.2+7.8 +8.6+8.8+6.8+14.2+7.2+15.1+8.2+7.8+11.5=209.6 最小巡视路线为： min?l1?l2?l3?l4=648.7

由巡视路线可知：V11?5,V12?8,V21?3,V22?11,V31?4,V32?9,V41?5,V42?7,将这些数据代入方程：

Ti?Vi1?T?Vi2?t?li中，可求得每条回路所需要的时间： Vl1?22.3?24VlT2?T?3?t?11?2?21.18<24V

l3T3?T?4?t?9??21.0657?24VlT4?T?5?t?7?4?22.9886?24VT1?T?5?t?8?由于T1,T2,T3,T4都小于24,所以当m=4时满足条件。

此时均衡度分为两个方面，一是巡视时间的均衡度，二是巡视路程的均衡度。

l?ll?l其中巡视路程的均衡度为：a?maxmin?41?0.415

min/3min/3 巡视时间的均衡度为：b?T4?T3?0.088

?T1?T2?T3?T4?/4此时巡视时间的均衡度较小，说明选择的回路较符合题目要求。巡视路程的均衡度虽然比模型一的大，但考虑到题目中所要求的是尽量减少时间，在满足巡视时间均衡度较小的前提下，还是可以接受的。

5.3 模型三的建立与求解 5.3.1 模型三的建立

完成巡视的最短时间由离县政府点O最远的点所需要的时间决定，时间包括停留时间和汽车到此点所需要的行驶时间。通过观察我们初步确定点15，14， H，16，利用MATLAB软件和Floyd函数我们求出了县政府点O到所有点的距离，最终确定离点O最远的点，就可以计算出最短时间。进一步根据我们对问题二的分析，在求解所需组数m及巡视路线时，我们可以运用模型一求解。

5.3.2 模型三的求解

利用MATLAB求解可得，点O到点H的距离最远，dOH=76.5,可求得

TOH?77.5?277.5?2?T??2?6.43，即最小时间为：Tmin=6.43 V35在求分组时，先利用MATLAB编程求出了点O到每个点的距离，最后将点

O到每点的距离求和，即最大的行驶路程为：lmax?3862.4，再通过最小生成树求解出了最小的行驶路程为 ：

lmin=2*(10.1+8.2+(4.8+2*7.8+8.2+12.7)*2+8.3+9.7+9.5*2+7.3+7.2++8*2+7.8+5.6+10.8+6+5.9*2+10.3+(7.4+7.3+8.1)*2+(11.5+8.2)*2+8.8+7.9+7.2+7.7*2+8.3+7.9+7.8+10.5+(7.9+8.9)*2+8.8+(7.8+4.1+9.8+6.9*2+10.1)*2+6.5+5.5+7.2+8.1+4.2*2+(15.8

+8.8)*2+9.8+(8.6+2*(6.8+7.8))*2+8.6+8.6)=1401.2。 巡视路程l与组数m有以下的约束关系： 2?17?1?35?l/35?6.43m

将所求的lmax和lmin带入方程，我们可以初步确定m的范围是18?m?28。 运用模型一的方法，对最小生成树进行分块，通过观察和主观判断，我们最终确定m?23。

23条回路为：

L1:O-2-5-6-7-E-F-12-H-12-F-9-E-7-6-5-2-O L2:O-2-5-D-4-D-5-2-O L3:O-2-3-D-7-E-7-6-5-2-O L4:O-2-5-6-7-E-8-E-7-6-5-2-O L5:O-2-5-6 -7-E-9-F-9-E-7-6-5-2-O L6:O-2-5-6-L-19-L-6-5-2-O L7:O-2-5-6-L-19-J-18-K-21-25-M-O L8:O-2-5-6-7-E-11-G-11-E-7-6-5-2-O L9:O-2-5-6-L-E-9-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O L10:O-2-5-6-L-19-J-13-14-13-J-19-L-6-5-2-O L11:O-P-26-N-24-N-26-P-O L12:O-M-25-20-25-M-O L13:O-M-25-21-K-21-25-M-O L14:O-M-25-21-K-17-22-23-N-26-P-O L15:O-M-21-K-18-I-18-K-21-25-M-O

L16:O-M-25-21-K-18-I-15-I-16-17-K-21-25-M-O L17:O-C-B-1-O

L18:O-1-A-34-35-34-A-1-O

L19:O-R-29-Q-28-P-O

L20:O-1-A-33-31-32-30-Q-29-R-O L21:O-P-28-27-26-P-O

L22:O-2-5-6-7-E-9-F-12-G-11-E-7-6-5-2-O L23:O-P-29-9-R-O

（红色标明的字体表示停留的乡镇或村） 每条回路的长度为：

l1?2*(9.2+8.3+9.7+7.3+7.2+7.8+5.6+12.2+10.2)=155 l2?2*(9.2+8.3+11.3+12.7)=83

l3?9.2+4.8+8.2+15.1+7.2+7.2+7.3+9.7+8.3+8.2=85.2 l4?2*(9.2+8.3+9.7+7.3+7.2+8.0)=99.4 l5?2*(9.2+8.3+9.7+7.3+7.2+7.8+5.6)=110.2 l6?2*(9.2+8.3+9.7+11.8+7.2)=92.4

l7?9.2+8.3+9.7+11.8+7.2+8.1+8.2+9.2+4.1+7.8+12.0+19.8=115.4 l8?2*(9.2+8.3+9.7+7.3+7.2+14.2+6.8)=125.4 l9?2*(9.2+8.3+9.7+7.3+7.2+7.8+5.6+10.8)=131.8 l10?2*(9.2+8.3+9.7+11.8+7.2+8.1+4.6+5.2+8.6)=145.4 l11?2*(10.1+10.5+10.5+9.2=80.6 l12?2*(19.8+12.0+6.5)=76.6 l13?2*(19.8+12.0+7.8+4.1)=87.4

l14?19.8+12.0+7.8+4.1+9.8+6.7+10.0+7.9+10.5+10.5+10.1=109.2 l15?2*(19.8+12.0+7.8+4.1+9.2+8.2)=122.2

l16?19.8+12.0+7.8+4.1+9.2+8.2+8.8+8.8+11.8+6.8+9.8+4.1+7.8+12.0+19.8=150.8

l17?11.5+11.0+5.9+6.0=34.4 l18?2*(6.0+10.3+11.5+8.2)=72 l19?12.9+7.9+7.2+8.3+12.1+10.1=58.5

l20?6.0+10.3+7.4+7.3+8.1+10.3+7.7+7.2+7.9+12.9=85.1 l21?10.1+12.1+7.9+7.8+10.5+10.1=58.5

l22?2*(9.2+8.3+9.7+7.3+7.2)+7.8+5.6+12.2+7.8+6.8+14.2=137.8 l23?10.1+15.2+7.9+12.9=46.1 由方程Ti?Vi1?T?Vi2?t?l1=6.43 35lt2?2+2+2?6.31

35lt3?2+2+3?6.43

35lt4?3+4?5.84

35lt5?2+1+5?6.17

35lt6?2+1+6?5.64

35lt7?2+1+7?6.30

35lt8?2+8?5.58

35lt9?1+9?4.76

35lt10?2+10?6.15

35lt11?2+1+11?5.30

35lt12?2+2+12?6.19

35lt13?2+1+13?5.50

35lt14?3+14?6.12

35li可知，每个回路所需要的时间为： Vt1?2+

l15?5.49 35lt16?2+16?6.31

35lt17?4+1+17?5.98

35lt18?2+2+18?6.06

35lt19?4+19?5.67

35lt20?4+20?6.43

35lt21?3+21=4.67

35lt22?2+22?5.94

35lt23?3+23?4.32

35t15?2+

由以上数据可知Ti(i?1,2,......23)?6.43，说明路线是正确可行的。

5.4 模型四的建立与求解

运用控制变量法，我们分别讨论了当T,t不变时，V的变化对选择巡视路线的影

响以及当V不变时，T,t的变化对选择巡视路线的影响。我们以巡视人员分为三组为例进行讨论。

我们将时间每次减少1,速度每次减小5，每次都只变化一个变量，求出巡视时间的均衡度，若均衡度变化较大则说明T,t,V的变化对路线的选择有较大的影响。

(1)T?2,t?1,V?35时

T1?30.7971,T2?26.7771,T3?28.3543 b?Tmax?Tmin=0.1402

T?T?T/3?123?(2)T?1,t?1,V?35时

T1?24.7971,T2?21.7771,T3?22.3543 b?Tmax?Tmin=0.1277

T?T?T/3?123?（3）T?2,t?1,V?40时

T1?30.06,T2?26.06,T3?27.69

b?Tmax?Tmin=0.1432

?T1?T2?T3?/3（4）T?2,t?1,V?30时

T1?31.75,T2?27.74,T3?29.95 b?Tmax?Tmin=0.1356

?T1?T2?T3?/3(5）T?0,t?0,V?35时

T1?5.8,T2?5.78,T3?5.35 b?Tmax?Tmin=0.08

?T1?T2?T3?/3min随由以上数据可知，总的最短巡视时间min与T,t,1/V近似成线性关系，

着T,t的减少而减少，随着V的增大而增大。

特殊情况：当T?0,t?0时，V对选择路线无影响，只是V越大，行驶的时间越短。

六、模型的改进与推广

6.1 模型的改进

模型一中先利用Prime算法计算出最小生成树，再进行分块，在分块的过程中，没有明确的算法，只是通过主观判断来将子图的顶点进行调整。其实在求解此问题时，我们可以建立神经网络模型，图G?V,E?的顶点数为M，若分为m组，则添加m?1个虚拟点，所有的虚拟点到点O的距离设为无穷，这样m组成员就分别从m个点中的任意一个出发，最终回到m个点的任意一个即可，他们所到的顶点之和等于M?m?1即可，再用?M?m?1???M?m?1?的换位矩阵表示各点的位置，用?M?m?1?个神经元建立一个Hopfiled网络模型，将神经元的输出状态与城市的位置相对应，建立一个能量函数E，其最小值与最优路径相对应，求解出迭代公式后，再通过多次迭代，最终可以求出结果。神经网络模型解决

2MTSP问题效果较好。

6.2 模型的推广

这种设计最佳路线的问题在实际生活中有很多，所以此模型在日常中发挥了很重要的作用。在解决多路旅行商，车辆路线组织和作业调度等方面的问题时可以用这些方法来解决。

七、模型的优缺点

7.1 模型的优点

（1）在模型一中求出了最小生成树，再对最小生成树进行分块，并建立了均

衡度评估体系，较好的确定了最佳巡视路线；

（2）在模型四中，采取了控制变量法进行讨论，减少了问题的难度；

（3）在模型的求解时，先进行了主观判断，再利用计算机进行求解，大大减少了计算量。

7.2 模型的缺点

（1）我们没有对模型进行模拟仿真；

（2）在模型四中，没有对T,t,V进行变化时，路线该如何调整进行求解。

八、参考文献

[ 1 ] E.米涅尔 《网路和图的最优化算法》 中国铁道出版社 [ 2 ] 党建武《神经网络方法在MTSP中应用》 [ 3 ] 王朝瑞《图论》北京工业学院出版社

[ 4 ] 王树和《数学模型基础》中国科学技术大学出版社

九、附录

%O点到各点的距离求法

a=[0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf10.3 5.9 11.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 6 Inf Inf Inf; Inf 0 4.8 Inf 8.3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8.2 Inf Inf Inf; Inf 4.8 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.8 8.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf 20.4 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 12.7 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf;

Inf 8.3 Inf Inf 0 9.7 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 11.3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 11.4 Inf Inf Inf Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf 9.7 0 7.3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 11.8 9.5 Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf 7.3 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 15.1 7.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 14.5 Inf Inf Inf Inf Inf Inf;

Inf Inf Inf 20.4 Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.8 5.6 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 10.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 14.2 Inf 6.8 Inf Inf 13.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 12.2 7.8 10.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 8.6 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8.6 Inf 16.4 9.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8.6 0 15 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 9.9 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 15 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 5.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 11.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 5.8 0 Inf Inf Inf Inf 6.7 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 9.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8.2 8.2 9.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 9.3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8.1 Inf 7.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 9.3 0 7.9 Inf Inf Inf 6.5 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 5.5 Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.9 0 Inf 9.1 Inf 7.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 4.1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 6.7 Inf Inf Inf Inf 0 10 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 10.1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 9.1 10 0 8.9 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.9 Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8.9 0 Inf Inf 18.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 13.2 Inf Inf Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 6.5 7.8 Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 12 8.8 Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 7.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 10.5 Inf 10.5 Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 18.8 Inf 7.8 0 7.9 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.9 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 12.1 8.3 Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 15.2 7.2 7.9; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf 10.3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.7 Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 8.1 7.3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 9.2; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 10.3 8.1 0 18.2 Inf 14.1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.3 18.2 0 Inf 20.3

7.4 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 8.2 11.5 17.6 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 14.1 20.3 8.2 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf;

10.3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.4 11.5 Inf 0 12.1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8;

5.9 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 17.6 Inf 12.1 0 11 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf;

11.2 Inf 7.8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 11 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 11.5 Inf Inf Inf;

Inf Inf 8.2 12.7 11.3 Inf 15.1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.2 8 7.8 Inf 14.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 5.6 10.8 Inf 12.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 6.8 7.8 8.6 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 10.2 Inf 9.9 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 16.4 Inf 8.8 11.8 Inf 8.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.6 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 13.2 Inf 9.8 Inf Inf Inf Inf 8.2 8.1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 4.6 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 9.8 9.2

Inf Inf 4.1 10.1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; Inf Inf Inf Inf Inf 11.8 14.5 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.2 5.5 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf 11.4 9.5 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 12 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 14.2 19.8 Inf Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.9 13.2 8.8 10.5 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 14.2 0 Inf Inf Inf Inf;

6 8.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 11.5 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 19.8 Inf 0 10.1 Inf 12.9;

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 10.5 Inf 12.1 15.2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 10.1 0 Inf Inf;

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8.3 7.2 7.7 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7.9 Inf 9.2 Inf Inf Inf Inf 8 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 12.9 Inf Inf 0; ];

function [d,path]=floyd(a,sp,ep) n=size(a,1); D=a;

path=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n

if D(i,j)~=inf

path(i,j)=j; %jê?iμ?oóD?μ? end end end

for k=1:n for i=1:n for j=1:n

if D(i,j)>D(i,k)+D(k,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); path(i,j)=path(i,k); end end end end p=[sp]; mp=sp; for k=1:n if mp~=ep

d=path(mp,ep); p=[p,d]; mp=d; end end

d=D(sp,ep); path=p; p=[]; for i=1:53

p=[p floyd(w,50,i)]; end p,sum(p)

运行后的结果： v = 6

p =50 1 v =9.2000 p = 50 2 v =14

p =50 2 3 v =34.9000

p =50 2 3 39 v =17.5000

p =50 2 5 v =27.2000

p =50 2 5 6 v =34.5000

p = 50 2 5 6 v =49.7000

p = 50 2 5 6 v =49.5000

p =50 2 5 6 4 7 7 40 7 40 8 9

v =65.9000

p =50 2 5 6 7 40 9 41 10 v =55.9000

p =50 2 5 6 7 40 11 v =67.3000

p =50 2 5 6 7 40 9 41 12 v =64.1000

p =50 2 5 6 47 19 45 13 v =72.7000

p =50 2 v =67.7000

p = 50 2 v =59.3000

p =50 48 v =53.5000

p =50 48 v =52.9000

p =50 48 v =46.2000

p =50 2 v =38.3000

p = 50 48 v =39.6000

p =50 48 v =49

p =50 51 v =39

p =50 51 v =44.3000

p =50 51 v =31.8000

p =50 48 v =20.6000

p =50 51 v =28.4000

p = 50 51 v =22.2000

p =50 51 v =20.8000

p = 50 53 v =35.7000

p =50 53 v =22.1000

p = 50 53 5 6 5 6 25 21 25 21 25 21 5 6 25 20 25 21 26 49 26 49 26 49 25 26 26 27 28 29 29 52 31

47 19 47 19 46 17 46 1 46 18 47 19 23 22 23 24 30 45 13 45 44 16 14 15

v =30.2000

p =50 53 31 32 v =23.7000

p =50 1 36 33 v =27.8000

p =50 1 36 34 v= 36

p = 50 1 36 34 35 v =16.3000

p =50 1 v = 11.9000

p = 50 1 v =11.5000 p = 50 38 v =22.2000

p =50 2 v =41.7000

p =50 2 v =55.1000

p =50 2 v = 62.7000

p =50 2 v =77.5000

p =50 2 v =58.9000

p =50 2 v =54.3000

p = 50 2 v =43.7000

p =50 48 v =39

p =50 2 v = 19.8000 p =50 48 v =31.1000

p = 50 51 v = 0 p = 50 v =10.1000 p = 50 51 v = 28

p = 50 53 v = 12.9000 p = 50 53

36 37 3 39 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 25 21 5 6 26 49 29 52 7 40 7 40 7 40 7 40 47 19 47 19 46 47 9 41 11 42 9 41 45 44 45 43 12

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