小学 数学趣谈

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数字趣谈——“0--13”

我是“零”。我是有理数，是整数，是没有数的数。我是无中的有，又是有中的无，我是内在的有，我是特定的无，我最贫寒，贫寒的一无所有，但我又最富足，多少数能填满我的空腹？我是有的循环，是无的显露，有位哲人说，描示零的本质，需要深奥的思考，因为零比任何数内容都丰富，我虽然小于任何一位正数，但是我有我的哲学，拼命发挥长处。

我首先是万数之奴，我心甘情愿地为一切数的运动与发展服务。不然我的存在有何用途？我又是万数之王，零乘任何数都为零，我可用乘法否定一切数，

外在的我，含蓄又充实，内在的我，热情又质扑；我发挥我不可取代的作用，勤劳、忠诚、严肃，在平面与立体坐标系中，我隐居中心，一切尽从我这儿去表演奇幻多彩的魔术。我是数论的基础，是任何等量算式的保姆，我是出色的软工具，在计算机世界里，我顶半边天，我又为图论方程当支柱，我把度量带进数学。为极限、为导数、为函数、为无穷幂级数作公仆。称重量，求长度，我毫不含糊，我在小数点前后，

精确地 察看，模糊地近似，成为宏观与微观世界的施主， 用我的有与无，可论证一般与特殊。

我是现实的有，是无价的财富，在有关领域显示我的有，勤勤恳恳，献上我的全身解数，我用圆圆的眼睛观天测地，我走向厂矿、农村、市场，默默地提供交换的媒介，义无反顾。我限定水的形态，是沸腾还是凝固，我平衡物体的地位，我标示力的静态与起伏，就是聪明的耗散理论，也以我为出发点和归宿，在人间竟争的交响乐中，我是报有恩情的音符，我为攀登成为兴奋的开始，我为实物筑一座悔叹的陵墓。月转星稀，我忙碌，人事沧桑，我关注。时间推移，我是新旧文的替点，新的白昼，从我这儿醒来，旧的黑夜，在我这儿结束。

圆的太阳毕竟是辉煌的闪光的，还有那谜一样的亿万星宿。每一个谜都是一个无，我虽日趋成熟，却还打着多层埋伏，就如宇宙里还有“黑洞”。零的无限世界里，每一个层次与结构都有需破译的密码与天书，谁能打开我更深一层的暗箱，找到我的新的功能和用途。谁一定惊奇欢呼，零的方法，原来是点金术。

我是智慧之母，我第一个高喝，用我们的智慧筑起我们新的长城，我是开拓之斧。头一个将空无变为有鲜花与粮粟，探索里只有乐趣，奥秘中只有内幕，谁能爱没有，我却偏探无，我为直觉搭起阶梯，为创造点亮蜡烛。每一个空白里都堆满

珍珠，我钟情于探索者，期待着您的“悟”，我祭起法宝，否定束缚。君不见，在零的基础已站起并正在站起多少风流人物，从零开始，对挫折，不能服输，新的光荣，属于新的智能结构，新的未知，需要新的武器与头脑去征服，整数的零次幂都为“1”，方法对头人皆可为梁柱。啊1，我赞美你

啊1，开口数数，首先数到的便是你。你是最基本的数量单位。只要有了你，进行运算就能得到一系列数，你用加法可得到任意自然数，你用加减法可得到任意整数，你用加减乘除四则运算可得到任意有理数，你用六种基本的代数运算可得到任意实数。你能衍生一切，你是数字的本源，万事的开端，高楼的基底，希望的萌芽，大千世界不就是由无数个一草一木，一山一水，一人一物，一时一秒，一滴水，一把土等聚集而成的吗？没有一人，就组不成人类群体，没有一木就形不成片片绿色森林，没有一星，我们就看不到群星璀灿的夜晚，没有一滴一滴的水珠，就不会有浩瀚无边的大海……

在用数表示量的多少时，你是单位，在用数表示顺序时，你是最前元素，而一个自然数是同时具有“多少”和“顺序”两种意义的。你既是单位，又是最前元素，你是最简单的数，但又能作为某些领域的标准。当我

们需要的东西在数量上只有一个时，我们变毫不犹豫地选择，当我们进行任何第一次尝试的时候，我们总是兴奋悠悠。 “多”包含着1，这是显然的，因为任何表示“多”的数都是由你与某些运算构成的，这里你是“多”的一个部分，你包含于“多”中，另外，1是单位，“多”则是若干个单位之和，若采用某整体作单位时，“多”就转化为你。十多亿人口只是“一”个中国；千千万万个H2O分子只是一滴水，许许多多的物品只是一个集合。1000是“多”吧，但如用吨为单位，1000公斤才是“1”吨。1也包含着“多”，如在用较小单位时，你就包含“多”，一片森林；包含千万树木，一片花园，会开出千万枝花朵；一个单位，有几百个职工。1公里不算多，但用毫米作单位，1公里就是1000000毫米，正如恩格斯所说；“一和多是不能分离的，相互渗透的两个概念，而且多包含于一中，正如一包含于多中一样。”

啊1，你可以用多种形式表示，多一种形式，都意味着产生你的方式。被除数与除数相等的商是多少？不为零的任何实数的零次幂是多少？底数的对数是多少？全取组合数的值是多少？偶素数又有多少？它们都是1，是你的灵魂的各种显现。

1啊，有多少恒等式，方程式的右端是你哟。不论角度X是多少度，总有sin2x+cos2x =1，只要n趋于无穷无穷大，1/2+1/4+1/8+…+1/2n+…=1，只要

x2/a2+y2/b2=1，点A（x，y）就会沿着椭圆的轨道运行。数学中有了你，才使数学令人着迷，一道运算题的结果若是你，人们便立即欣赏感叹。你在数学中太重要了，有许多数列的极限是你，你的任何实数幂仍然是你，你同任何数相乘仍为任何数，你除以任何数还是任何数，任何数〈除零外〉除你就变成它的倒数。在许多运算中，你是变换的桥梁，简洁算法的关键，逻辑推理的灵魂，有了你五彩缤纷的变化，也就有了数学那丰富多彩的内容。

1，你又是对数系统的界限，当底数大于你时，一切大于你的数的对数是负数，当底数小于你时，又恰恰相反。而以任何意义所允许的数为底，你的对数都是零。在解析几何中，你是圆锥曲线分类的标准，据离心率大于等于或小于1，分别是双曲线，抛物线和椭圆。在三角函数中，正弦函数，余弦函数的最大值是你，最小数是你的相反数，啊1，你有时是那样地高高在上，遇到你也就达到正余弦函数值的最高峰了。

啊1，你太小了，太少了，再没有什么东西看起来比你这个数量单位更简单了，但是，只要把你和相应的多联系起来，并且按照你从相应的多中产生出来的各种方式加以研究，我

们就会知道，再没有什么比你更多样化了。由你到多构成了一个完美无缺的整体，美就是你的永恒的光辉，透过物质现象的朦胧显现。啊1，我们赞美你！ 2 隐藏在事物背后的神秘数字

自从人类产生起，我们的祖先为了自身的生存和社会的发展，在劳动中创造了语言；为了计数，表示多少个劳动产品，又在漫长的社会发展中发明了数字，他们根据人的左右耳，对称的眼睛和一双勤劳的手，两只不畏严寒的足，抽象出了这个隐藏在万事万物背后的特殊数字

——“2”。其实他们哪里知道这只是“2”的初次显圣，随着社会的加速发展，它那神奇而特异的功能越来越显示出巨大的威力。看起来极为变通而简单，却包含着无穷无尽的奥妙。

今天，让我们揭开它那神奇的面纱，看看它的真实面目。二千多年以前，我国劳动人民为了研究自然变化的规律，便采用了天干，地支，“2”种顺次成双成对相结合的方法记载年和日，它以六十年〈或日〉为一个周期。在自然现象中，天与地一对，阴与阳成双，还有风与雨，雷与电，高与低，长与短，宽与窄，深与浅，大与小，多与少，轻与重，无生命物质与有生命物质，植物与动物等等，它们都是“2”在不同现象中的化身，也构成了对称式的事物的性质进行比较的不同方式。

在空间中，过两个定点只能确定唯一的一条直线；同一平面内，两条直线只有两种位置关系，它们或者平行或者相交；平行给人以平稳，宁静，宽广等美感，相交的两条直线中，如果规定了各自的正方向，原点及各自的单位，则它是一个二维射影坐标系，它能使抽象的射影变换具体化，直观化；如果这两条相交线互相垂直，正方向，原点不变，两条直线上的单位长度相同，那么这两条相交线就摇身一变成了特殊的二维射影坐标系，即二维欧氏空间——笛卡尔坐标系，这是一个多么神圣的十字架啊！它使人类变得越来越聪明，而不象基督教中那种迁腐的十字架，使人们走向岐途与无知。它巧妙地使平面点集与有序实数对建立了一一对应关系，更使人意想不到的是为代数与几何搭起了鹊桥，使解析几何得以产生和发展，又可建立复平面，使有关的向量的运算变得简单而易行，也为数学的统一美增添了新的风采。 作为自然数中的一个成员——“2”，在数学天地里都有着别具一格的优点和令人难以捉摸的规律。它是自然数“1”的唯一邻居，后继数是第一个奇素数“3”；后继数的后继数“4”又是第一个不是素数的偶数，而“2”却是一个唯一的既是偶数又是质数的自然数。二加二，二乘以二，二的二次方，神斧天工竟有共同的结果4；一个实数的平方总是非负数，一个正数的平方根总是绝对值相等，符号相反的一对

数；两个正数的和除以2称作算术平均数；两个正数的积的平方根称为几何平均数；一个一元二次方程总是有2个根，或实或虚，或等或不等，可由判别式判断。在这里都有“2”的神秘影子，它起着某种奇妙的作用；如果成对的自然数的积顺次构成的列1×2，2×3，3×4……（n-1）n……，变成由每一项的倒数构成的倒数列1/1×2，1/2×3，1/3×4，1/（n-1）n……，那么要求它的前几项和似乎很困难，但是如果发现每项都有一个共同点，即1/n（n-1）=1/（n-1）-1/n时，那就是每项可以写成分为两个数的倒数之差，这样，前几项和的求法就变得非常简单，其结果为Sn=1-1/n，在这里，“2”既是秩序美的潜因，又起化繁为简的作用。

在现代社会中，我们采用十进制进行计量，采用六十进制计时，而谁又能想到最有发展前途的是二进制，它只有两个元素0，1，它的四则运算简单而明了，如1+1=10，它与八进制、十进制、十六进制互化极其方便。数理逻辑就是在二进制的基础上产生的。逻辑式的化简，解逻辑方程都离不开二进制作向导，如果说没有二进制，那么电子计算机至少不会象今天这样飞速发展，信息时代也不可能在当今的社会中实现，卫星上天也是一句空话。可见“2”的某些规律给人们带来了多么有意义的启示和灵感，更为数学迷宫

笼罩了一层神妙而朦胧的面纱。

“2”在代数的世界里留下了神奇的足迹。有一位数学家风趣地说；“象评演员一样，如果在中学数学里评最佳定理，我就选勾股定理，二次三项式根的定理和棣莫佛定理。”在这里二次三项式，勾股定理，棣莫佛定理都显现着2的光彩。勾股定理的整数解是最为独特的、典型的。因为对于“an+bn=cn的不定方程，当n≥3时，找不到任何一组整数解，在这里2是神秘的荣幸者。棣莫佛定理是复数知识中最重要的定理，这里实部、虚部，复平面上的数组，都蕴含着“2”的本质。二次三项式根的定理确实是一个引人注目，运用最多的定理，即就是二次三项式以及与之有关联的一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，也是整个中学数学的重要核心内容之一，各类考试无把它作为命题的重要内容。我国数学家杨乐，曾在一次讲话中专门论述了为什么二次三项式的内容受到高考命题的青睐，可见二次三项式及其影响极为深远，人们对其爱好不同寻常，进而人们对“2”产生了更加神秘而奇特的想象。

二元二次方程，几乎占据了中学解析几何中大部分内容，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，它们的方程是二次方程，它们通称为二次曲线，这些曲线都是简洁的二元二次方程。二次曲线漂亮优美，二元二次方程对称优美。而其中的

“2”则更为蕴意深刻，奇美无比了。 在数学王国里，二项式定理是一个完美的定理。我们说以“2”成双，成双为对，成对才能闪耀对称的光辉，而二项式定理的展开式就显现出了奇美对称的特点。从杨辉三角上看就会显明地看到这种美的形式的壮丽，然而，“一分为二”是一种认识事物的观点，而一个线段可以一分为二，我国古代就有人研究数列的极限问题，最典型的问题就是“一日之棰，日取其半，万世不揭”。

在各门学科中，许多问题常归结为“二”个方面或两个问题，而且多数都在某种意义上具有对立而又统一的关系。一方面的存在而往往是另一方面存在的前提。离开了其中一方，另一方就无从谈起。在哲学上，对立统一规律是宇宙中最为普通的规律，它正是“二”和“一”的深奥组合，它囊括万物，包罗万象，是照耀人类社会不断发展的一盏明灯；量变与质变又是事物发展变化的基本规律；事物总是在矛盾中发展的，它有共性与个性，主要与次要之分；同一矛盾也有主要方面和次要方面之分；感性认识与理性认识都有是认识的两个深浅不同的阶段；在事物发展变化中，内因起着决定作用，外因通过内因起作用；主观与客观也是一对矛盾关系。美学上存在着真与假、善与恶、美与丑，总是有着对立面的两个方面。物理学

上有宏观与微观、引力与斥力、作用与反作用力、电场与磁场、正电荷与负电荷之分，伟大的物理学家爱因斯坦的相对论也有狭义与广义之分。医学上也有中医与西医，内科与外科之分，生物学有同化与异化之分，化学上有有机物与无机物、金属与非金属、化合与分解、树枝的聚合与石油的裂化等。在语言文学上则更是不胜枚举，就拿方位词来说有上下、左右、前后、内外之分。这些事物中，都无不存在两个方面，可见2处处存在，时时出现，“2”以某种天使般的能耐使事物显示出对称统一、和谐美的特征。 “2”给了我们许许多多的深刻启示，使人类不断开创了美好的世界，然而它仍然是神秘的，也许它还会有更多的严谨和均衡的内在美尚未被人发现，这就给我们留下了探索神秘的完美的目标和追求的信心神秘的“3”

我们在三维空间里自由自在地生活，对于“3”一定应感受最深，认识最多了，从一开始数数，数2后就是3，但3对于2来说已不仅仅是“差一个数量级了，它的蕴意变化万千，给我们以神秘的、无穷的感受。 “道生一，一生二，二生三，三生万物”，道家一言道出了3的真谛，3为什么竟能衍生万物，这确是我们百思不能求解的问题。2确实不多，但加1成3便为多，三人为众，三木为森，三石为磊，三车轰隆有声，三日晶晶闪

烁，三火焱焱燃烧。

物理学中的三棱镜可将太阳光折射出七色光芒；画家可将三种原色按比例掺配，画出“五彩缤纷”的图画；三个臭皮匠，就可以胜过诸葛亮；三人同行，必有我师；三人同心黄土变金。一个单位只要有三个党员，就可以组成一个党支部。可见3已是一个足够大的数字了，有了3就具备了足够的原料，奠定了扎实的基础。

三如果意味多的话，则一就意味少了，因此 对联常在上下联中分别嵌入三和一，使对联工整有趣，如“千程怀抱三杯酒，万里千山一水搂”，“三顾频频天下计，一番唔对古今情”。

在数学中，2和3的差距简直太大了，使人不可想象，苦思费解，如任意两点总在一条直线上，而三点却可以不在一条直线上，两点只能确定一条直线，而不在一条直线的三个点可以确定一个平面，两条直线无法组成闭合多边形，但有了恰当的三条线，可以构成一个三角形。方程xn+yn=gn，当n=3时或者n>3时就没有一组整数解，圆规二等分一个角是极容易的事，而圆规三等分一个角，我们却无法做到。谈到这里，我们不禁想问，为何3只多了一个数量单位，就使有关 3的数学问题结论截然不同，可见3在数学领域里是一个极神秘的。数学中三是对立统一的和谐整体，三的构造是一种很美丽的宝塔形，所以它普遍得到艺术家的偏爱，画家

作画爱画三件物（或人）；作家著书爱写三部曲——上，中，下集；诗人作诗爱用“三”这个数字，如唐代大诗人李白在《望庐山瀑布》中留下了“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的光辉诗句。我国计划生育提倡一对夫妻只生一个孩子，一家三口人，包含三种关系，形成稳定的结构，3成了每个家庭偏爱的数字。

自然数中3是个最小的不是偶数的质数，3的平方是9，而9是个奇妙无比的数字，一个数是否能被3整除，只要它的各位数字和能被3整除，则这个数就一定能被3整除。如123、1356、2421它们的和分别是6、15、21都能被3整除，则可断定它们都能被3整除。

平面几何中，三角形简直是一个三的世界，任何一个三角形都有三条边，三个角，三条角平分线，三条中线，三条中位线和三条高。直角三角形的勾股数是三个和谐的整数，代数中，三角函数知识包括着许多许多的奇妙的公式和有趣的恒等式，形式多样，变化万千，给学习者以无限的乐趣，立体几何中的三垂线定理，应用广泛，可解许多不可直观想象的问题。

三在汉语中，也有其丰富的含意。汉语常用“三”及其倍数“九”表示多数。清人王中在《 三九》中说：“一奇，二偶，一二不可为数，2加1为3，故三者，数之成积而为十则复归一，十不可以为数，

故九者为数之也”，还说“生人三措辞凡一、二所不能尽者，则约之三，以见其多，三之所以不能尽者，则约之九，以见其多，此语言之虚数也”。以三表示多数，古已有之，翻开典籍比比皆是。《左传，十八年》中“楚有三施，我有三怨，怨已多，将何以战”，是说楚国有三件恩惠，我却有三件怨恨，怨既已众多了，怎能战呢？三件怨恨便认为是多了，《左传，定公十三年》说；“三折肱，知为良友”，“三折”是指多次折断胳臂。

在谚语及成语中“三”更是大放异彩，“一日三秋”，“一正避三邪”，“三变斯言”，“韦编三绝”，“无风三尺浪”，“秀才造反，三年不成”，“学善三年，受恶一朝”，“一盘家棋下三天”——“棋逢对手”。“三思而行”、“三下五除二”、“不管三七二十一”等把三用得活灵活现，妙到好处。 3确实是一个神秘的数字，生活中3与我们亲密相关，科学领域里，3给我们留下一串串的问号，汉语中，用三可以成妙语，数量上3是一个够大的数字，数学中，3成了数学问题的精灵，面对三维空间的世界，我们苦思冥想，也难以了解3给我们留下的深奥无穷的种种问题。啊！圣洁的四

“创造诸神和人类的神圣的数啊！愿你赐福我们！啊！圣洁的、圣洁的四啊！你孕育着永流不息的创造源泉！因为你起源于纯洁而深奥的1，渐渐达到圣洁的四，然后走出圣洁的十，它为天下之母，无所不 无所不包 ，首出名世，永不偏倚，永不倦怠，成为万物之锁钥”。

这就是毕达哥拉斯学派对“圣四”的祷文，提起四，人们便能想起许多与四有关的事情，如一年有四季，春夏秋冬，地理有四方：东南西北；汉语拼音中有四声：阴平，阳平，上声，去声；扑克牌有四个花样：红桃，黑桃，方块，梅花；人体有四肢，建筑上有四合院，动物中有四不象，古有四书，四大古典小说，民间有四大传说，汉字书法有四体。这些无不说明四在人类生活中应用之广泛，联系之密切。 横向两直线与纵向两直线必然构成一个矩形，也就是两条具有广阔的宁静的水平线，与两条具有上腾和挺拔美的纵线，可以构成一个方方正正、整整齐齐，四方对称的图形，这也许是长方形被人们喜欢的缘故吧，长方形具有四条边，四个角，而这四个角都是直角，而用长方形可以无缝隙的铺满地面，将许多长方面排在一起，又是那样的整齐好看，人们生活中创造出了许多与长方形有关的作品，如国旗、办公桌、书本、象棋盘等，看来数四与直角的关系特别亲近，是因为周角的四分之一为直角吗？或是国为具有四个角的矩形有

四个直角？在直角坐标系中，有四个坐标轴，四个象限，这是直角与四在平面坐标系下共同创造了一种和谐的美。 4，作为自然数在数学领域里，有其独特的性格与规律，4居3之后，居5之前，4的在邻右舍3与5都是质数，而4却是自然数中第二个平方数，它有三个约数：1，2，4，是一个等比数列，所以4是一个合数，又是一个最小的不是质数的偶数，2作为它的因数，与它有着天生的不解之缘，4的一半是2，2加2，2乘2，2的2次幂其结果都是4，4还与它的左邻右舍3与5有一次最佳的合作：即；32+42=52，被人们赞美不已，它是发现勾股定理的线索、萌芽及启示。 我们来看这三个数“4，6，10，它们有一种内在的奇妙的联系，当然最明显的一点是4+6=10，可它们还有一些潜在的联系会使人们感到惊奇，比如，前四个数之和为10，即：1+2+3+4=10，而4前面的三个数之和为6，即；1+2+3=6，在下列式中：42=16，242=576，

6242=389376……，我们看到，

四个直角？在直角坐标系中，有四个坐标轴，四个象限，这是直角与四在平面坐标系下共同创造了一种和谐的美。 4，作为自然数在数学领域里，有其独特的性格与规律，4居3之后，居5之前，4的在邻右舍3与5都是质数，而4却是自然数中第二个平方数，它有三个约数：1，2，4，是一个等比数列，所以4是一个合数，又是一个最小的不是质数的偶数，2作为它的因数，与它有着天生的不解之缘，4的一半是2，2加2，2乘2，2的2次幂其结果都是4，4还与它的左邻右舍3与5有一次最佳的合作：即；32+42=52，被人们赞美不已，它是发现勾股定理的线索、萌芽及启示。 我们来看这三个数“4，6，10，它们有一种内在的奇妙的联系，当然最明显的一点是4+6=10，可它们还有一些潜在的联系会使人们感到惊奇，比如，前四个数之和为10，即：1+2+3+4=10，而4前面的三个数之和为6，即；1+2+3=6，在下列式中：42=16，242=576，

6242=389376……，我们看到，

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