集合的定义及其表示教案

第一节 集合的定义及其表示教案

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

（3）掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征； 教学重点：（1）集合的基本概念与表示方法；

（一）集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到

这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），

也简称集。

3. 关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 4. 元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A（或a ? A）

5. 常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

（二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，?；

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 （2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，?； 强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（3） 图示法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈）， 用它的内部表示一个集合。用这种图可以形象的表示出集合之间的关系，其被称之为韦恩图。

二、典型例题

例1、观察下列实例： ①小于11的全体非负偶数； ②整数12的正因数；

2y?x?1图象上所有的点； ④所有的直角三角形； ③抛物线

⑤高一（1）班的全体同学； ⑥班上的高个子同学；

回答下列问题：

⑴哪些对象能组成一个集合；

⑵用适当的方法表示它；

⑶指出以上集合哪些集合是有限集；

例2、用适当的方法表示以下集合： ⑴平方后与原数相等的数的集合；

a⑵设a,b为非零实数，a

?bb 可能表示的数的取值集合；

⑶不等式2x?6的解集；

⑷坐标轴上的点组成的集合；

?x?y?5?x?y?1⑸第二象限内的点组成的集合； ⑹方程组?的解集。

例3、已知集合A??x|ax2?2x?1?0?

⑴若A中只有一个元素，求a及A；⑵若A??,求a的取值范围。

例4、用符号?与?填空：

4⑴0 N* ；3 Z；0 N；(?1)0 N*；3?2 Q； 3 ⑵3?2,3?；3??2,3??；?2,3? ??2,3??； ?3,2? ??2,3??

例5、（1）已知A??x2?x?5?，a?7，b??判断a、b是否属于A？，

（2）已知

A??a,a2?,B??1,b?.A?B,求a,b

一、知识巩固

1． 集合与元素

（1）一般地，研究对象统称为 ，一些元素组成的总体叫 ，也简称 。 （2）集合元素的三个特征： 、 、 。

（3）元素与集合的关系是 或 关系，用符号 或 表示。

Q。

（4）集合的表示法： 、 、 。

（5）常见数集的记法

集合 符号 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

二、拓展提高

（1）下列集合中表示同一集合的是

A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{2,3}，N＝{3,2}

C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}

b??

（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，则b－a等于

?

?

( )

( )

A．1 B．－1 C．2 D．－2

（3）用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数 （4）集合A＝{x|

4∈Z，x∈N}，则它的元素是 。 x?32（5）已知集合A＝{x|-3

（6）已知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x－6x＋5=0}，用∈或?填空： 4 A，4 B，5 A，5 B

（7）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属A且属B的元素集合。 （8）若集合A?{?1,3}，集合B?{x|x2?ax?b?0}，且A?B，则a= ， b= 。

2

1．用符号“?”或“?”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，

印度_______A，英国_______A； （2）若A?{x|x?x}，则?1_______A； （3）若B?{x|x?x?6?0}，则3_______B；

（4）若C?{x?N|1?x?10}，则8_______C，9.1_______C．

222．用符号“?”或“?”填空： （1）322_______Q； （2）3______N； （3）?_______Q； 7（4）2_______R； （5）9_______Z； （6）(5)2_______N． 3．已知A?{x|x?3k?1,k?Z}，用 “?”或“?” 符号填空： （1）5_______A； （2）7_______A； （3）?10_______A．

4．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x?9?0的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数y?x?3与y??2x?6的图象的交点组成的集合； （4）不等式4x?5?3的解集．

5．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数；

（2）A?{x|(x?1)(x?2)?0}； （3）B?{x?Z|?3?2x?1?3}．

6．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数y?x?4的函数值组成的集合；

222的自变量的值组成的集合； x（3）不等式3x?4?2x的解集．

（2）反比例函数y?

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