金融工程第二版-郑振龙第六章

第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型

期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它涉及到随机过程等较为复杂的概念。我们将由浅入深，尽量深入浅出地导出期权定价公式，并找出衍生证券定价的一般方法。

第一节 证券价格的变化过程

由于期权定价用的相对定价法，即相对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格的变化过程。目前，学术界普遍用随机过程来描述证券价格的变化过程。本节将由浅入深地加以介绍。

一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程

1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。

效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。

半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。

强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。

效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分析。结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。

弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。所谓随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时间是否连续随机过程可分为离散时间和连续时间随机过程，前者是指变量只能在某些分离的时间点上变化的过程，后者指变量可以在连续的时间段变化的过程。根据变量取值范围是否连续划分，随机过程可分为离散变量和连续变量过程，前者指变量只能取某些离散值，而后者指变量可以在某一范围内取任意值。从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程，但我们仍可把它近似为连续变量的连续时间的随机过程。

马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。

如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。

二、布朗运动

布朗运动（Brownian Motion）起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述，以发现这种现象的英国植物学家罗伯特?布朗（Robert Brown）命名。然而真正用于描述布朗运动的随机过程的定义是维纳（Wiener）给出的，因此布朗运动又称维纳过程。

（一）标准布朗运动

设?t代表一个小的时间间隔长度，?z代表变量z在?t时间内的变化，遵循标准布朗运动的?z具有两种特征：

特征1：?z和?t的关系满足（6.1）：

?z=??t （6.1）

其中，?代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。

特征2：对于任何两个不同时间间隔?t，?z的值相互独立。

从特征1可知，?z本身也具有正态分布特征，其均值为0，标准差为?t，方差为?t。 从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。 现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T中的变化情形。我们用z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量，它可被看作是在N个长度为?t的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/?t，因此，

z(T)?z(0)???i?t （6.2）

i?1N其中?i(i=1，2，??N）是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，?i是相互独立的，因此z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N?t=T，标准差为T。

由此我们可以发现两个特征：?在任意长度的时间间隔T中，遵循标准布朗运动的变量的变化值服从均值为0、标准差为T的正态分布。?对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。

当?t?0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：

dz??dt （6.3）

（二）普通布朗运动

为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂移率（Drift Rate）是指单位时间内变量z均值的变化值。方差率（Variance Rate）是指单位时间的方差。

标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。漂移率为0意味着在未来任意时刻z的均值都等于它的当前值。方差率为1.0意味着在一段长度为T的时间段后，z的方差为1.0?T。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动：

dx?adt?bdz （6.4）

其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。

从式（6.1）和（6.4）可知，在短时间?t后，x值的变化值?x为：

?x?a?t?b??t

因此，Δx也具有正态分布特征，其均值为a?t，标准差为b?t，方差为b?t。同样，在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为bT，方差为b2T。

2三、伊藤过程

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤1过程（Ito Process）：

dx?a(x,t)dt?b(x,t)dz （6.5）

其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。

四、证券2价格的变化过程

证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为?S2的伊藤过程来表示：

2dS??Sdt??Sdz

两边同除以S得：

dS??dt??dz （6.6） S

其中S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率）3，? 表示证券收益率单位时间的方差，?表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz表示标准布朗运动。公式（6.6）又被称为几何布朗运动。

从（6.6）可知，在短时间?t后，证券价格比率的变化值

2?S为： S?S???t????t S可见，句话说

?S2也具有正态分布特征，其均值为??t，标准差为??t，方差为??t。换S?S~?(??t,??t) （6.7） S 12

伊藤（K.Ito）是一位数学家，它在1951年提出伊藤过程及下文的伊藤引理。

这里的“证券”专指无收益证券，证券收益对证券价格和期权定价影响将在下文专门讨论。 这是因为，当?=0时，公式（6.6）变为

3

dS??dt。解得：St?Se?t。显然，?S是连续复利收益率。

其中?(m,s)表示均值为m，标准差为s的正态分布。

在式（6.6），我们涉及两个符号：?和?，其大小取决于时间计量单位。在本书中，若无特别申明，我们通常以年为时间的计量单位。

根据资本资产定价原理，?值取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此?的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率（?）是无关的。相反，证券价格的波动率（?）对于衍生证券的定价则是相当重要的。证券价格的波动率可理解为证券价格的“脾气”，我们可以通过历史数据来观察各种证券“脾气”的大小，然后通过公式（6.6）来确定其未来价格的概率分布。应该注意的是，公式（6.6）把?当作常数，实际上，证券价格的脾气是会变的。?会随时间变化而变化。因此用历史数据估计?值时，应尽量用最新一段时间的数据，而且要注意这只是一种近似。

例6.1

设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。

在本例中，?=0.20，?=0.18，其股价过程为：

dS?0.20dt?0.18dz S在随后短时间时隔后的股价变化为：

?S?0.20?t?0.18??t S由于1周等于0.0192年，因此

?S?100(0.00384?0.0249?)

?0.384?2.49?

上式表示一周后股价的增加值是均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽

样值。

应该注意的是，由于比例变化不具有可加性（例如股价先增长10%，再增长15%，其总增长幅度不是25%，而应该是26.5%），因此我们并不能象以前一样推导出在任意时间长度T后证券价格比例变化的标准差为?T。

五、伊藤引理

在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：

?G?G1?2G2?GdG?(a??b)dt?bdz （6.8） 2?x?t2?x?x

?G?G?G1?2G2b都是x和t的函a??b其中，dz是一个标准布朗运动。由于 和?x?x?t2?x2?G?G1?2G2数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为：a??b，方差率为

?x?t2?x2(?G22)b。 ?x公式（6.8）就是著名的伊藤引理4。 从式（6.5）中，我们可得：

dS??Sdt??Sdz （6.9）

其中，?和?

为常数。我们知道，衍生证券的价格是标的证券价格S和时间t的函数。

根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：

?G?G1?2G22?GdG?(?S???S)dt??Sdz （6.10）

?S?t2?S2?S

比较式（6.9）和(6.10)可看出，衍生证券价格G和标的证券价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。

六、证券价格自然对数变化过程

我们可用伊藤引理来推导证券价格自然对数lnS变化所遵循的随机过程。 令G?lnS，由于

?G1?2G1?G?,2??2,?0 ?SS?S?tS

代入式（6.10），我们就可得出证券价格对数G所遵循的随机过程为：

dG?(???22)dt??dz

由于?和?是常数，所以上式说明证券价格对数G也遵循普通布朗运动，它具有恒定的漂移率???/2和恒定的方差率?。由前面的分析可知，在当前时刻t和将来某一时刻T之间G的变化都是正态分布的，其均值为(???/2)(T?t)，方差为?(T?t)。 令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：

2222 4

伊藤引理的证明过程请参见Hull，J.C.，Options，Futures， and Derivative Securities , 5th ed., Prentice Hall，2002。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lvvf.html