安徽省池州一中、铜陵三中2013-2014学年高一联合测试数学(文)试

安徽省池州一中、铜陵三中2013-2014学年高一联合测试数

学（文）试卷（重点班）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试用时120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．设,,a b c R ∈，且a b >，则 （ ）

A ．ac bc >

B ．1

1a b < C ．33a b > D ．22

a b > ⒉设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则5a =（ ）

A ．6-

B ．4-

C ．2-

D ．2

3．在ABC V 中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 的形状为（ ）

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定 ⒋已知变量x ，y 满足约束条件1

110 x y x y x +≤??-≤??+≥?，则2z

x y =+的最小值为（ ）

A ．3

B ．5-

C ．1

D ．6-

5．在等比数列{}n a 中，若2n n a =，则7a 与9a 的等比中项为（ ）

A ．8a

B ．8a -

C ．8a ±

D ．前3个选项都不对

6．关于x 的不等式2260x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2110x x -=，则a =（ ）

A ．2

B ．5

C ．52

D ．32

⒎已知向量(,1)x =-a ，()

31y =-b ，（0,0x y >>），若a ∥b ，则1

1t x y x y =+++的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8

8．ABC V 的内角A 、B 、C 的所对的边a 、b 、c 成等比数列，且公比为q ，则sinC sin q A

+的取值范围为（ ）

A ．()0,+∞ B

．(1,2 C ．()1,+∞ D

．)1 ⒐已知()cos 3f x x πω??=+ ???

的图像与1=y 的图象的两相邻交点间的距离为,π要得到()y f x =的图像，只需把sin y x ω=的图像（ ）

A ．向左平移

56π个单位 B ．向右平移56π个单位 C ．向左平移712π个单位 D ．向右平移712

π个单位 10．数列{}n a 满足()21sin 2n a n n π

π??=-?+ ???，则它的前2014项和等于（ ） A ．2015- B ．2014- C ．2014 D ．2015

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.

11．已知α为锐角，且有()2tan 3cos 502ππαβ??--++= ???

，()()tan 6sin 10παπβ+++-=，则αs i n 的值是__________.

12．若非零向量a 、b ，满足+=a b b ，()λ⊥+a a b ，则λ= ．

13．若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为11,23??- ???

，则不等式220ax bx -+>的解集为 ．

示a 、b 的夹角．给出下列命题：

①?=?a b b a ； ②()()λλ?=?a b a b ；

③()+?=?+?a b c a c b c ； ④⊥??=?a b a b a b ；

⑤若()11,x y =a ，()22,x y =b ，则1221x y x y ?=-a b ．

其中所有叙述正确的命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.

16．（本小题满分12分）

已知等比数列{}n a 中，1a a =，2a b =，3a c =，,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边，且3cos 4B =

. （1）求数列{}n a 的公比q ；

（2）设集合{}22A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式.

17．（本小题满分12分）

在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos b c A a C -?=?

（1）求角A 的大小；

（2）若2,b c =，求AB AC +.

18．（本小题满分12分）

已知21()1f x x a x a ??=-++ ???

. （1）当12a =时，解不等式()0f x ≤；

（2）若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤.

19．（本小题满分13分）

已知数列{}n a 满足：12n n a a a n a +++=-，其中*n N ∈.

（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；

（2）令(2)(1)n n b n a =--，求数列{}n b 的最大项.

20．（本小题满分13分） 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装

饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛

的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，

并求出x 为何值时，y 取得最大值？

21.（本小题满分13分）

已知函数()()sin f x a x ωθ=+的部分图象如下图，其中π0,,2

ωθ>

（1）求()f x 的解析式； （2）若ABC V 中角B 所对的边1b =，cos 2C C f ??= ???， 求ABC V 的面积S .

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 题号 ⒈ ⒉ ⒊ ⒋ ⒌ ⒍ ⒎ ⒏ ⒐ ⒑ 答案

C

D

A

B

C

A

B

B

D

B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.

题号 ⒒

⒓

⒔

⒕

⒖ 答

案

2

11,,32????

-∞-+∞ ? ?

????

U

①③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答

写在答题卡上的指定区域内. ⒗ （本小题满分12分）

解：（1）依题意知2

b a

c =， ……………………………………………………1分 由

余

弦

定

理

得

222113c

o s ()

2224a c b a c

B a c c a +-==?+-= ………………………3分 而2c q a =，则22q =或2

12

q =； …………………………………………………5分

又∵在△ABC 中，,,0a b c >， ∴q =

2

q =

…………………6分

（2）∵2

2x x <，∴4240x x -<，即()

2240x x ?-<，∴22x -<<且0x ≠， (8)

分

又x N ∈，∴{}1A =，∴11a =， (10)

分

从而∴1n n a -=或1

(2

n n a -=。

………………………………………………12分 ⒘ （本小题满分12分）

解：（1）因为(2)cos cos b c A a C -?=?，根据正弦定理得

(2sin sin )cos sin cos B C A A C -?=? ..................2分 即2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B ?=?+?=+= (4)

分

又sin 0B ≠，∴1cos 2A =

，而(0,)A π∈，∴3

A π= ………………6分

（2）由（1）知1cos 232AB AC AB AC π?=??=?= ………………8分

而222()27AB AC AB AB AC AC +=+??+=+ …………………………10分 则7AB AC += ………………………………………12分

⒙（本小题满分12分）

解: （1）当1

2a =时，有不等式25()102

f x x x =-+≤， ………………2分 ∴()1202x x ??--≤ ???，∴不等式的解集为122x x ??

≤≤????

……………4分 （2）∵不等式()1()0f x x x a a ??=--≤ ??? 当1

a a >时，有01a <<，∴不等式的解集为1x a x a ??≤≤????； ……………7分 当1a a <时，有1a >，∴不等式的解集为1x x a a ??≤≤????

； ……………10分 当1a a =时，有1a =，∴不等式的解集为{}1． ……………………………12分

⒚（本小题满分13分）

证：（Ⅰ）当1n =时，111a a =-，∴112a =

， ……………………………1分 又12111n n a a a n a +++++=+- ……………………………2分

∴111n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=+，∴111(1)2

n n a a +-=

- ……………4分 又1112a -=-，∴数列{}1n a -是首项为12-，公比为12

的等比数列；………6分 （2）由（1）知，11111()()()222n n n a --=-?=- ∴2(2)(1)2n n n n b n a -=-?-=， ∴1111223222n n n n n n n n b b ++++----=-= ………8分

当3n <时，10n n b b +->，即123b b b << …………………………………9分 当3n =时，43b b = ……………………………10分 当3n >时，10n n b b +-<，即456b b b >>>

……………………………11分 ∴数列{}n b 的最大项为4318b b ==

……………………………13分

⒛（本小题满分13分）

解:（1）扇环的圆心角为θ，则30(10)2(10)x x θ=++-，所以10210x x θ+=

+， …………3分 （2）花坛的面积为()()()()2221

105105500102x x x x x x θ-=+-=-++<<． ………… 6分

装饰总费用为()()91081017010x x x θ++-=+， ……………… 8分

所以花坛的面积与装饰总费用的()

22550550170101017x x x x y x x -++--==-++， ………… 10分 令17t x =+，则3913243101010

y t t ??=-+≤ ???，当且仅当t=18时取等号，此时121,11x θ==…12分

答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． ………………13分

21.（本小题满分13分）

（1）因为0a >,由图像可知max ()f x a == …………………2分

函数()f x 的最小正周期2π7π3π2()π88T ω=

=-=，得 2.ω= ……………3分

由3π3π(

))88f θ=?+=得3πsin()1,4θ+= …………………4分 因为ππ3π5π,2444θθ<

<+<，3πππ,.424θθ∴+==- …………………5分

故π()2.4f x x ??=- ??

? …………………………………………6分

（2）由cos ()2C C f =得，πsin c s os o 4c C C C C ??-=- ??

?=， …………………7分 即1cos 2

sin .C C = ………………………………8分

又22sin cos 1C C +=，得24sin ,sin 5C C == …………………………10分

由0πC <<得，sin C = ……………………………11分

1sin 2S ab C == …………………………………………13分

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