2015年奉贤区调研测试高三数学一模试卷（附答案）

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2015年奉贤区调研测试高三数学试卷(附答案)

一、填空题（每空正确3分，满分36分）

1．已知全集U?R，集合P?{x|x?2?1}，则P? .

2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中A种型号产品有16件，那么此样本的容量

n? .

3．设?:1?x?4，?:x?m，若?是?的充分条件，则实数m的取值范围是 .

y2?1的一个焦点是(3,0)，则实数k? . 4．若双曲线x?k25．已知圆C:x2?y2?r2与直线3x?4y?10?0相切，则圆C的半径r? . 6．若1?i是实系数一元二次方程x2?px?q?0的一个根，则p?q? . 7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是 . 8．函数y?sinx,x???????,?的反函数为 . ?22?9．在?ABC中，已知AB?4,AC?1，且?ABC的面积S?3，则为 .

AB?AC的值

?sin?10．已知??0?0?????、??,??，?an(??)?? . 为单位矩阵，且则t??2??2cos???11．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB?1，BC?2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧EB、EC（E在线段AD上）.由两圆弧

DEACEB、EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何

体的体积为 .

?34?8x???212．定义函数f(x)???1f(x)??221?x?2，则函数g(x)?xf(x)?6在

Bx?2区间?1,8?内的所有零点的和为 .

二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）

13．正方体中两条面对角线的位置关系是 （ ）

A．平行 B．异面

C．相交 D．平行、相交、异面都有可能

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14

．下（ ）

列命题中正确的是

A．任意两复数均不能比较大小 B．复数z是实数的充要条件是z?z C．复数z是纯虚数的充要条件是Imz?0 D．i?1的共轭复数是i?1 15．与函数y?x有相同图像的一个函数是 （ ）

A．y?x B．y?alogax(a?0且a?1)

x2xC．y? D．y?logaa(a?0且a?1)

x16．下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ）

y?cosx B．y?2x C．y?sinx D．y?tanx A．

17．在空间中，设m、n是不同的直线，?、?是不同的平面，且m??，n??，则下

??列命题正确的是 （ ）

A．若m//n，则?//? B．若m、n异面，则?、?平行

C．若m、n相交，则?、?相交 D．若m?n，则???

18．设P(a,b)是函数f(x)?x3图像上任意一点，则下列各点中一定在该图像上的是 （ ） ．．

A．P1(a,?b) B．P2(?a,?b) C．P3(?a,b) D．P4(a,?b)

x2y2B，若19．设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为

ab则该椭圆的方程为 （ ） BF2?F1F2?2，x2y2x2x2x222?1 B．?y?1 C．?y?1 D．?y2?1 A．?32443620．在二项式?2x?1?的展开式中，系数最大项的系数是 （ ）

A．20 B．160 C．240 D．192 21．已知数列{an}的首项a1?1，则下列结论正确的是 （ ） an?1?3Sn(n?N*)，

A．数列是{an}等比数列 B．数列a2，a3，???，an是等比数列

C．数列是{an}等差数列 D．数列a2，a3，???，an是等差数列

BC22．在?AsinA?sinB?sinC?sinBsinC，中，则角A的取值范围是 （ ）

222?????????????23．对于使f(x)?M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的上确界，若

12a、b?R?且a?b?1，则??的上确界为

2abA．?0，? B．?,?? C．?0，? D．?,??

6633???????（ ）

991?4 B． C． D．

242xy24．定义两个实数间的一种新运算“?”：x*y?lg(10?10)，x、y?R。对于任意实数a、b、c，给出如下结论：①a?b?b?a；②(a?b)?c?a?(b?c)；③(a?b)?c?(a?c)?(b?c)．其中正确结论的个数是 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）(写出必要的解题步骤)

?A．

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25．判断函数f(x)?lg

1?x的奇偶性． 1?xP

26．如图，四棱锥P?ABCD的侧棱都相等，底面ABCD是正方形，O为对角线AC、BD的交点，PO?OA，求直线PA与面ABCD所成的角的大小．

27．已知函数f(x)?3cosx?sinx?cosx?区间??

28．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．设an、bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设Sn、Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。

（1）求Sn、Tn，并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn； （2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．

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2D C

O

B

A 3，求f(x)的最小正周期，并求f(x)在2????,?上的最大值和最小值． ?64? 中学个性化教育专家

29．曲线C是平面内到直线l1:x??1和直线l2:y?1的距离之积等于常数k2(k?0)的点的轨迹，设曲线C的轨迹方程f(x,y)?0． （1）求曲线C的方程f(x,y)?0；

（2）定义：若存在圆M使得曲线f(x,y)?0上的每一点都落在圆M外或圆M上，则称圆M为曲线f(x,y)?0的收敛圆．判断曲线f(x,y)?0是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．

30．对于正项数列{an}，若成立是真命题．

an?1?q对一切n?N*恒成立，则an?a1?qn?1对n?N*也恒an1?(3c)n，求证：数列{an}前n项和Sn?；

1?3ca1（1）若a1?1，且n?1?3(cc?,c?1)an?0，

an3（2）若x1?4，xn?

222xn?1?3(n?2,n?N*)，求证：3?()n?1?xn?3?()n?1．

3331．设f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数??(0,1)以及D中的任意两数x1、x2，恒有f??x1?(1??)x2???f(x1)?(1??)f(x2)，则称f(x)为定义在D上的C函数．

（1）证明函数f1(x)?x2是定义域上的C函数；

1(x?0)是否为定义域上的C函数，请说明理由； x（3）若f(x)是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明f(x)不是R上的C函数．

（2）判断函数f2(x)?

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2015年1月奉贤区高三数学调研测试参考解答

一、填空题（每题3分）

1．???,1???3,??? 2．80 3．m?4 4．8

2 6．0 7． 8．y?arcsinx,x???1,1? 5．

9．?2 10．1 11．

132?21 12． 32二、单项选择题（每题3分）

13．D 14．B 15．D 16．A 17．C 18．B 19．A 20．C 21．B 22．C 23．A 24．D

三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）

25．?1?x?0， 1分 1?x所以函数f(x)的定义域是(?1,1)， 2分 定义域关于原点对称， 3分

f(?x)?lg1?(?x) 4分

1?(?x)?11?x1?x?1?x? ?lg， ) 5分 ?l?g??lg??fx(?1?x1?x?1?x?11111而f()?lg，f(?)?lg3，?f()?f(?)， 6分

23222所以f(x)是奇函数不是偶函数。 7分

26．

ABCD为正方形，?O为AC、BD的中点，

又

PA?PC,PB?PD,?PO?AC,PO?BD， 2分

因为AC与BD交于一点O，

?PO?平面ABCD， 4分 ??PAO为直线PA与平面ABCD所成的角， 5分

在Rt?PAO中，PA?PO ??PAO?45?， 6分 所以直线PA与平面ABCD所成的角为45?． 7分

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27．解：f?x??3cos2x?sinx?cosx?3 23(cos2x?1)13 2分 ?sin2x?222??sin(2x?)?3， 4分

3 ??T?因为?2??? 5分 2?6?x???4，所以0?2x??5??， 6分 36当2x?当2x?

?3?2时，即x??12时，f(x)的最大值为1?3， 7分 时，f(x)的最小值为3． 8分

?3?0时，即x???628．（1）设an、bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，

依题意知，数列{an}是首项为128、公比为1?50%?3的等比数列； 1分 2数列{bn}是首项为400、公差为a的等差数列， 2分

3128[1?()n]2?256[(3)n?1]， 4分 所以数列{an}的前n和Sn?321?2n(n?1)a， 6分 数列{bn}的前n项和Tn?400n?2所以经过n年，该市更换的公交车总数

3n(n?1)Fn?Sn?Tn?256[()n?1]?400n?a； 7分

22（2）因为256[()?1]、400n?32nn(n?1)a(a?0)是关于n的单调递增函数， 9分 2 因此Fn是关于n的单调递增函数， 10分

所以满足a的最小值应该是F7?10000， 11分 即256[()?1]?400?7?32730827?6a?10000，解得a?， 12分

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又a?N，所以a的最小值为147． 13分

29．（1）设动点为(x,y)，则由条件可知轨迹方程是x?1?y?1?k2； 3分 （2）设P为曲线C上任意一点，可以证明

则点P关于直线x??1、点(?1,1)及直线y?1对称的点仍在曲线C上 6分 根据曲线C的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆，

则该收敛圆的方程是(x?1)2?(y?1)2?r2(r?0) 7分

2??(x?1)(y?1)?k (1)讨论：x??1,y?1时?最多一个有一个交点r满足条件 8分 222??(x?1)?(y?1)?r(2)*k42（1）代入（2）得r?(x?1)? 10分 ?2k2(x?1)22曲线f(x,y)?0存在收敛圆 11分 收敛圆的方程是(x?1)2?(y?1)2?r2(0?r?2k) 13分

30．（1）?an?1n?1?3c,?an?a1??3c?， 2分 anan??3c?n?1?a2?3c,a3?9c2,Sn?a1?a2?n， 4分

n?1?an?1?3c?9c2??3c?， 6分

1??3c?； 7分 ?Sn?1?3c(2)xn?3? ?xn?3?2xn?1?3?3??2xn?1?3?3??2xn?1?3?32xn?1?3?3??2xn?1?32xn?1?3?3， 10分

2xn?1?3， 11分 3n?1?2??xn?3?x1?3????3??2??xn?3????3?n?1， 12分

13分

n?1?2??3????3?n?1?2??xn?3????3?。 14分

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31．（1）证明如下：

对任意实数x1,x2及???0,1?，

有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2????x1??1???x2???x12??1???x22 2分

2????1???x12???1???x22?2??1???x1x2????1????x1?x2??0， 4分

即f2??x??1???x???f?x???1???f?x?， 5分

1212∴f1?x??x2是C函数； 6分 （2）f2?x??1?x?0?不是C函数， 7分 x1， 212说明如下(举反例)： 取x1??3，x2??1，??则f12??x??1???x???f?x???1???f?x?

?f??2??即f111111f??3??f??1??????0， 22262212??x??1???x???f?x???1???f?x?，

1?x?0?不是C函数； 10分 x∴f2?x??（3）假设f?x?是R上的C函数， 11分

若存在m?n且m,n??0,T?，使得f?m??f?n?。 （i）若f?m??f?n?， 记x1?m，x2?m?T，??1?那么f?n??f12n?m，则0???1，且n??x1??1???x2， T12??x??1???x???f?x???1???f?x?

??f?m???1???f?m?T??f?m?，

这与f?m??f?n?矛盾； 13分 （ii）若f?m??f?n?， 记x1?n，x2?n?T，??1?n?m，同理也可得到矛盾； 14分 T微课堂 电话：39546735

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∴f?x?在?0,T?上是常数函数， 15分 又因为f?x?是周期为T的函数，

所以f?x?在R上是常数函数，这与f?x?的最小正周期为T矛盾. 16分

所以f?x?不是R上的C函数。

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