08. 一次分式型函数学案

·高一数学“初、高中衔接”教学内容·

2016届自主招生数学教学内容

08．一次分式型函数学案

【教学目标】

1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象． 2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 【教学重点】

用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 【教学难点】

用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 【教学过程】 一、复习

1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数．

k2．学生谈对反比例函数y?(k?0)的认识．

x二、基本函数作图 例1．作下列函数图象

3（1）y?；

x2（2）y??．

x

归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称点；对于（1），点(3,3)是该双曲线的一个顶点．

k归纳2：一般地，函数y?(k?0)的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中

x心对称点．当k?0时图象分布在一、三象限，图象与直线y?x的交点是双曲线的顶点；当k?0时图象分布在二、四象限，图象与直线y??x的交点是双曲线的顶点．

三、利用平移作图

1

例2．类比函数y?x2的图象到函数y?(x?1)2?2的图象的变换，指出y?由的图象到

x

11y??2的图象的变换，并作出函数y??2的图象．

x?1x?1

归纳：x?x?1图象向右平移1个单位；y?f(x)?y?f(x)?2图象向下平移2个单位，

等等．

2练习：指出函数y?1?的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数

x?32的图象． y?1?x?308．一次分式型函数学案 第 1 页 共 2 页

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例3．作函数y?数y?3?2xax?bab的图象，并归纳一次型分式函数y?(?)图象与函数函x?1cx?dcdk(k?0)的图象的关系． xax?bab归纳：一次型分式函数y?(?)本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相

cx?dcdy差一个平移．

x?1练习：作函数y?的图象．

x?21四．“二线一点”法作图探究 2x?3Ox2例4．已知函数y?． 2x?4（1）作函数的图象；

（2）并指出函数自变量x的取值范围（即函数的定义域）；因变量y的取值范围（即

函数的值域）．

1

（3）x的取值范围x?2，y的取值范围y?反映在图象上的特点是什么？

2

11（函数图象与直线x?2, y?没有交点，即x?2, y?是对应双曲线的渐近线）

22（4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、

x?3三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数y?2x?4的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定）

ax?bab（5）对于一般的一次型分式函数y?(?)如何来确定渐近线，即确定x与

cx?dcdy的取值范围？

（6）观察例4、例3，发现与系数a,b,c,d关系．

3x?2例5．作函数y?的图象．

x?1ax?bab归纳：对于一次型分式函数y?(?)的作法：

cx?dcddada

（1）先确定x与y的取值范围：x??，y?，即找到双曲线的渐近线x??，y?；

cccc

（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”； （3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．

2?3x练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数y?的图象．

x?1五．小结与作业

1．一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．

ax?babda2．作函数y?(?)的图象可用平移法，也可用“二线一点”法．x??，y?

cx?dcdccda是双曲线的两条渐近线，点(?,)是图象的中心对称点．

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