2015年中考数学必做36道压轴题（四）含变式训练

2015年中考数学必做36道压轴题（四）含变式训练

第16题-第20题

第16题 精确草图获思路，勾股相似构方程

【例题】（2013上海，25题，10分）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图1）．已知AD?13，

AB?5，设AP?x，BQ?y．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；

（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF?EC?4，求x的值．

【变式一】（改编题）在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点O在线段AD上． （1）如图1，连接OB、OC，求证：△BDO≌△CDO；

（2）已知O与直线AB、AC都相切，切点分别为E、F，当AD=12，CD=5，OD?求证：O与直线BC相切．

10时，3

【变式二】已知：如图1，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线l，交BC边于点E． 当点P运动到点P1位置时，直线l恰好经过点B，此时直线的解析式是y?2x?1． （1）求BC、AP1的长；

（2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；

（3）以点E为圆心作E与x轴相切．系？并求出AP相应的取值范围．

探究并猜想：P和E有哪几种不同的位置关

第17题 “正笔侧锋”细解读，“拨云见日”明“指向

【例题】（2012广东广州，24题，14分）如图，抛物线y??B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标；

（2）设点D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

323x?x?3与x轴交于A、84

【变式一】（2013山东淄博，23题，9分）△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）．

（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；

（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；

（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C（0，?23）时，求∠ODB的正切值．

【变式二】（原创）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC平行于x轴，AB=6，点A的横坐标为2，反比例函数y?18?x?0?的图象经过点A、C. x（1）求点A的坐标；

（2）求点B、D所在直线的函数关系式； （3）若点P（p，?3p?12），是否存在实数p，使得S△PAB=12？若存在，请直接写出所2有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.

第18题 “圆的折叠”来探究，发现“等圆”能破题

【例题】（2012江西南昌，28题，12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

（1）①折叠后的AB所在圆的圆心为O′ 时，求O′A的长度； ②如图2，当折叠后的AB经过圆心为O时，求AOB的长度； ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

①如图4，当AB∥CD，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；

②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

【变式】（2011湖南常德，25题，10分）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O1、O2，P是AB的中点．

（1）如图，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在AC、 BC上分别取点E、F，使

?AO1E??BO2F，则有结论①?PO1E??FO2P.②四边形PO1CO2是菱形．请给出结论②

的证明；

（2）如图，若（1）中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；

（3）如图，若PC是⊙O1的切线，求证：AB2?BC2?3AC2．

第19题 “强化条件”要看清，思路生成有“源头”

【例题】（2011上海，25题，14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin?EMP?12． 13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

【变式一】（2012安徽，22题，12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长； （2）求证：DG平分∠EDF;

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

【变式二】（2012上海，24题，12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

2

1，EF⊥OD，垂足为F． 2

第20题 “相似”与“∽”有区别，“参数运算”需细心

【例题】（2012湖北黄冈，25题，14分）如图，已知抛物线C1:y??1?x?2???x?m??m?0?m与x轴相交于点B、C，与y轴相交于E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，并求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

【变式一】（2013湖南永州，25题，10分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD．

(1)若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；

(2) 若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

(3) 若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

(4) 若AB=m，CD=n，BD=l，请问在m、n、l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点? 两个P点? 三个P点?

ACBPD

【变式二】（2011山东临沂，26题，13分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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