《概率论与数理统计》期末试题答案(2011)

南京大学工程管理学院 2010 级 专业

2011—2012 学年第一学期

《概率论与数理统计》期末试卷A答案

注：?(1)?0.8413，?(1.5)=0.9332，?(3.1)?0.999，t0.05(16)?1.7459，

t0.025(16)?2.1199，F0.05（2,25）=3.39，F0.025（2,25）=4.29

以下每题10分。

1. 病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8。若浇水，

则死去的概率为0.15，有0.9的把握确定邻居会记得浇水。（1）求主人回来树还活着的概率。（2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。 解：（1）记A为事件“树还活着”，记W为事件“邻居记得给树浇水”，即有

P(W)?0.9, P(W)=0.1，P(A|W)=0.85，P(A|W)?0.2,

P(A)?P(A|W)P(W)?P(A|W)P(W)?0.85?0.9?0.2?0.1?0.785

(2) P(W|A)?

[1?P(A|W)]P(W)0.8?0.1??0.372.

1?P(A)0.2150,x??a??2. 设随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsin(x/a),?a?x?a，（1）求A和B；（ 2）

?1,x?a?X的密度函数。

解：（1）因为F(x)在x??a处右连续，而F(a?0)?1，F(?a?0)?A?π?B/2。且由题设条件F(a)?A?π?B/2，F(?a)?0，于是，由分布函数的右连续性得

A?π?B/2?1，A?π?B/2?0，解之得，A?1/2，B?1/π。

（2）在(?a,a)内求导得，密度函数F?(x)?

3. 设X、Y相互独立，分别服从N(0,1)，试求Z?X/Y的密度函数。 解：由题设条件，有

1πa?x22，其他地方为0.

fZ(z)??|y|????1?(z2y2?y2)/2edy 2π1

2???y2(1?z2)/211?yedy??2π?0π1?z2???0?d(e?y2(1?z2)/2)

11?y2(1?z2)/2?1???e|?， ???z???。X/Y服从哥西分布。 0π1?z2π(1?z2)

4. 设随机变量X1，，Xm?n（n?m）相互独立，同分布且均值为零，方差有限非零，记

S?X1??Xn，T?Xm?1??Xm?n，求S和T的相关系数?ST。

2 解：EXk?0，DXk??2，则EXk?DXk??2。由于相互独立，故当k?l时，

nm?nE(XkXl)?EXk?EXl?0，DS?D(?Xk)?n?k?12， DT?D(l?m?1n?X)?n?lk2，

cov(S,T)?E[(?Xk)(?Xl)]??k?1l?k?1nm?nnm?nk?1l?m?1?E(XkXl)?k?m?1?EX??E(XX2kll?k)?(n?m)?2

从而?STcov(S,T)(n?m)?2n?m。 ???22nDSDTn?n?

5. 某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率各为0.6, 开工时每台车床需耗电5千瓦。问供电所至少需要供给这个车间多少电力，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？

解：把一台车床工作与否看作一次贝努里试验。要得出恰当的用电量，我们应求出某时刻车间里同时工作的车床台数r，使 P{?200?r}??Ck?0rk200?0.6k?0.4200?k?0.999

P{?200?r}?P{0??200?r}??(r?200?0.60?200?0.6)??()

200?0.6?0.4200?0.6?0.4??(r?120r?120)??(?17.32)??()?0.999，查表得?(3.1)?0.999，故应有 4848 (r?120)/?48，所以3.1r?141。因此至少供应141?5?705千瓦的电力，车间

由于供电不足而影响生产的可能性小于0.001.

)随机抽一容量为5的样本X1,X2,X3,X4,X6. 在总体N(12,4中.求概率

P{max{X1,X2,X3,X4,X5}?15}，P{min{X1,X2,X3,X4,X5}?10}。

2

解：因Xi的分布为?(x?12)，故M?max{X1,X2,X3,X4,X5}的分布函数为 2 FM(x)?[?(x?125)]，因而，P{max{X1,X2,X3,X4,X5}?15}?P{M?15} 215?125?1?P{M?15}?1?FM(15)?1?[?()]?1?0.93325?0.2923。

2记N?min{X1,X2,X3,X4,X5}，则N的分布函数为

FN(x)?1?[1??(x?12510?125)]，故P{N?10}?1?[1??()]?1?[1??(?1)]5 22?1?[?(1)]5?1?0.84135?0.5785。

?2(a?x)/a2,0?x?a7.对容量为n的子样，求密度函数f(x,a)??中参数a的矩估计量；

其他?0,解：（1）由EX??a0?/3?X，所以a的x?2(a?x)/a2dx?a/3，得矩估计方程为a??3X。 矩估计量为a

8. 设X1,X2,X3,X4是来自均值为?的指数分布总体的样本，其中?未知。设有估计量

11T1?(X1?X2)?(X3?X4)63T3?，

1T2?(X1?X2?2X3?X4)5，

1(X1?X2?X3?X4)。（1）指出T1,T2,T3中哪几个是?的无偏估计量。（2）在上述?4的无偏估计中指出哪一个较为有效。

2解：已知对于均值为?的指数分布总体X，有E(X)??，D(X)??，于是，

E(Xi)??,D(Xi)??2，i?1,2,3,4，所以

E(T1)??/3?2?/3??， E(T2)??，E(T3)??， 112?22?252D(T1)?D(X1?X2)?D(X3?X4)????

369369183

D(T2)?17(3?2?4?2)??2 25251441D(T3)??D(Xi)??2??2

16i?1164统计量T3最有效。

9. 为了寻找飞机控制板上仪器表的最佳布置，试验了三个方案，观察领航员在紧急情况的

反应时间（以0.1秒计）随机地选择28名领航员，得到他们对于不同布置方案的反应时间如下： 方案I 方案II 方案III 14 10 11 13 12 5 9 7 9 15 11 10 11 8 6 13 12 8 14 9 8 11 10 7 13 9 10 9 试给出方差分析表，并在显著性水平0.05下检验各个方案的反应时间有无显著差异。 解：记第i种方案为Ai，i?1,2,3。各个方案构成的总体平均反应时间为?1，?2，?3。则所述问题为：在显著性水平??0.05下，检验假设

H0:?1??2??3， H1: ?1,?2,?3不全相等。

T?1?100，T?2?120，T?3?64，本题中，n1?8,n2?12， n3?8，n?28，s?3，

2T???284，ST???xij?T??2/n?3052?2842/28?171.43，

j?1i?13ni2SA??T?2j/nj?T??/n?2962?2880.57?81.43， SE?ST?SA?90，

j?13方差分析表为 方差来源 因素A 误差E 总和T 平方和 81.43 90 171.43 2 25 27 自由度 均方 40.715 3.6 F比（?=0.05） SA/SE?11.3 （2,25）=3.39， F比=11.3>3.39。故在显著性水平??0.05下拒绝H0，认为差异是因F0.05显著的。

4

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