简单的线性规划问题 - 教案

简单的线性规划问题（1）

三维目标

知识与能力：了解线性规划的常用术语、掌握确定二元一次不等式所表示的平面区域得方法

过程与方法：通过实例介绍线性规划的常用术语，利用二元一次方程将平面分成两部分进而确定二

元一次不等式所能表示的平面区域

情感态度与价值观：通过学习，激发学生探索欲望、热爱数学学习的激情，引导正确的价值观、人

生观，使学生不断建立信心，成为自主学习的真正主体。

教学过程： 一．创设情景

我们先考察生产中的遇到的一个问题：

某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲种产品需要A种原料4吨、B种原料12吨，产生的利润为2万元；生产1吨乙种产品需要A种原料1吨、B种原料9吨，产生的利润为1万元。现在库存A种原料10吨、B种原料60吨，如何安排生产才能使利润最大？ 为理解题意，可将已知数据整理成下表： 甲种产品（1吨） 乙种产品（1吨） 现在库存（吨） A种原料（吨） B种原料（吨） 4 12 1 9 10 60 利润（万元） 2 1 设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x,y，利润为P（万元）。根据题意，A,B两种原料分别不得超过10吨和60吨，又常量不可能是负数，于是可得二元一次不等式组

?4x?y?10?12x?9y?60? 即 ??x?0??y?0?4x?y?10?4x?3y?20? ??x?0??y?0因此，上述问题转化为如下的一个数学问题：

?4x?y?10?4x?3y?20?在约束条件? 下，求出x,y（满足约束条件的变量x,y，称为可行解），

?x?0??y?0使得利润P?2x?y（含有两个变量x,y的函数，称为：目标函数）达到最大（满足条件的x,y称为最优解）

●如何解决这个问题？ 二．教学生成

我们分两步求解上面的问题：

第一步 研究问题中的约束条件，确定数对(x,y)的范围；

第二步 在第一步得到的数对(x,y)放入范围中，找出是的目标函数P达到最大的数对(x,y) 今天，我们先讨论解决这个问题的第一步。

如图1，直线l:4x?y?10将平面分成上、下两个半平面区域，直线l上的点的坐标满足方程4x?y?10，

1

即y?10?4x，直线l上方的平面区域中的点的坐标满足不等式y?10?4x，直线l下方的平面区域中的点的坐标满足不等式y?10?4x。 图1 图2 1412108642-5510152025-2-4-6-8-10因此，4x?y?10在平面上表示的是直线l及直线l下方的平面区域，即图2中的阴影部分（包括边界直线l）。

生成知识：

一般地，直线y?kx?b把平面分成两个区域，如图3

-12642y?kx?b表示直线上方的平面区域； y?kx?b表示直线下方的平面区域。

-5510-2-4思考探究：对于二元一次不等式Ax?By?C?0(A2?B2?0),如何确定它所表示的平面区域？ -8一般地，

ACx?）表示直线Ax?By?C?0上方的平面区域；BBACAx?By?C?0（即y??x?）表示直线Ax?By?C?0下方的平面区域；

BBC当B?0时，若A?0，Ax?By?C?0（即x??）表示直线Ax?By?C?0的右方区域；

AC 若A?0，Ax?By?C?0（即x??）表示直线Ax?By?C?0的左方区域；

AAC当B?0时，Ax?By?C?0（即y??x?）表示直线Ax?By?C?0下方的平面区域；

BBACAx?By?C?0（即y??x?）表示直线Ax?By?C?0上方的平面区域；

BB总结规律：B大大上，B小小上，B小大下，B大小上！ （第一个大指B的正负；第二个大指不等号的方向）

当B?0时，Ax?By?C?0（即y??

三．例题讲解

例1 画出下列不等式所表示的平面区域：

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（1）y??2x?1 （2）x?y?2?0

例2 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（图中的区域不包括y轴）

确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种是“选点法”：

任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式。若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域。 四．练习巩固 书本P74:1,2,3,4,5

五．课后作业

六．教学反思

简单的线性规划问题（2）

三维目标

知识与能力：

掌握确定二元一次不等式组所表示的平面区域的方法 过程与方法：

通过复习确定二元一次不等式所表示的平面区域得方法，以及集合交运算的思想，在类比学习的指导下，让学生发现并掌握确定二元一次不等式组所表示的平面区域的方法 情感态度与价值观：

通过本课的学习，让学生体会数学学习是循序渐进的，有规律可循的，且数学学习可能为我们的生活服务，从而不断增强学生学习数学的兴趣。

3

教学过程： 一．创设情景

上面一节课，我们学习了确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法 （1）

一般地，直线y?kx?b把平面分成两个区域，如图1

y?kx?b表示直线上方的平面区域； y?kx?b表示直线下方的平面区域。

（2）

对于二元一次不等式Ax?By?C?0(A2?B2?0),如何确定它所表示的平面区域？ 一般地，

ACx?）表示直线Ax?By?C?0上方的平面区域；BBACAx?By?C?0（即y??x?）表示直线Ax?By?C?0下方的平面区域；

BBC当B?0时，若A?0，Ax?By?C?0（即x??）表示直线Ax?By?C?0的右方区域；

AC 若A?0，Ax?By?C?0（即x??）表示直线Ax?By?C?0的左方区域；

AAC当B?0时，Ax?By?C?0（即y??x?）表示直线Ax?By?C?0下方的平面区域；

BBACAx?By?C?0（即y??x?）表示直线Ax?By?C?0上方的平面区域；

BB总结规律：B大大上，B小小上，B小大下，B大小上！ （第一个大指B的正负；第二个大指不等号的方向）

当B?0时，Ax?By?C?0（即y??

所以，我们可以知道，二元一次不等式4x?y?10表示的是直线4x?y?10及直线下方的平面区域。

?4x?y?10　　　①那么，二元一次不等式组?表示怎样的几何意义呢？

4x?3y?20　　　②?根据前面的讨论，①和②在平面直角坐标系中分别表示两个平面区域，因此，同时满足这两个不等式的点(x,y)的集合就是这两个平面区域的公共部分（如图2）

如果再加上约束条件x?0,y?0，那么它们的公共区域为图3中的阴影区域（包括边界）。 二．教学生成

由于不等式组的解集是各个不等式解集的交集，于此相对应，若把平面区域看成是平面上的点集，则

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二元一次不等式组表示的平面区域实际上是构成不等式组的各个不等式所表示的平面区域的交集。

（*）要确定不等式组的整数解，可以画出网格，然后按照顺序找出在不等式组所表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解。

三．例题讲解

例1 画出下列不等式所表示的平面区域

?x?0y?2x?1?? (2)?y?0 (1)?x?2y?4??4x?3y?8?0?

思考: 如何寻找满足例1（2）中不等式组的整数解

例2 如图，?ABC三个顶点坐标为A(0,4),B(?2,0),C(2,0)，求?ABC内任一点(x,y)所满足的条件。 解：写出?ABC三边所在的直线方程：AB:2x?y?4?0，AC:2x?y?4?0，BC:y?0

?ABC内任意一点(x,y)都在直线AB,AC在下方，且在直线BC的上方，故(x,y)满足的条件为

?2x?y?4?0??2x?y?4?0 ?y?0?四．练习巩固 书P77 1-4

五．课后作业

六．教学反思

课题: §3.3.2简单的线性规划

【教学目标】

1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】

利用图解法求得线性规划问题的最优解；

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【教学难点】

把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。 【教学过程】

1.课题导入 [复习引入]：

1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）

2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解: 3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

2.讲授新课 1．线性规划在实际中的应用：

a)

在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

2．课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？

若实数x，y满足

?1?x?y?3 求4x+2y的取值范围． ???1?x?y?1错解：由①、②同向相加可求得：

0≤2x≤4 即 0≤4x≤8 ③ 由②得 —1≤y—x≤1

将上式与①同向相加得0≤2y≤4 ④ ③十④得 0≤4x十2y≤12 以上解法正确吗?为什么?

(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．

(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4x≤8及0≤2y≤4是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定4x十2y的最大(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确． (3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解? 正解：

因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)

且由已有条件有： 3?3(x?y)?9 （5） ?1?x?y?1 （6） 将（5）（6）两式相加得 2?4x?2y?3(x?y)?(x?y)?10

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所以 2?4x?2y?10

3.随堂练习1 ?x?y?2?1、求z?x?y的最大值、最小值，使x、y满足条件?x?0

?y?0??x?4y??3?2、设z?2x?y，式中变量x、y满足 ?3x?5y?25

?x?1?

4.课时小结 [结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.

[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．

5. 作业 课本第93页习题3.3[A]组的第4题

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